(共29张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.命题及相关概念
命题
2.充分条件与必要条件
一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分 条件.
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 必要 条件.
微提醒1.充分条件、必要条件的判断讨论的是“若p,则q”形式的命题.若不是这种形式,则需将命题改写成“若p,则q”的形式.
2.不能将“若p,则q”与“p q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p q”.
微训练“a=b”是“ac=bc”的 条件.(用“充分”“必要”填空)
答案:充分
课堂·重难突破
一 充分条件、必要条件的判定
典例剖析
1.下列各题中,p是q的充分条件吗 p是q的必要条件吗
(1)p:x>1,q:x>1或x<-1;
(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
(3)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),p:与函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程的判别式Δ=b2-4ac>0,q:函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点.
解:(1)由x>1可以推出x>1或x<-1,因此p是q的充分条件;由x>1或x<-1不一定有x>1.
因此p不是q的必要条件.
(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p不是q的充分条件;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此p是q的必要条件.
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当对应方程的判别式Δ>0时,其图象与x轴有交点,因此p是q的充分条件;反之,若函数的图象与x轴有交点,则对应方程的判别式Δ≥0,不一定是Δ>0,因此p不是q的必要条件.
规律总结 充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p q和q p是否成立,最后得出结论.
(2)命题判断法:
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
显然,p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,即p q,只是说法不同而已.
学以致用
1.在下列各题中,p是q的充分条件的有 (填序号).
①p:x=1,q:x2-2x+1=0;
②设a,b是实数,p:a+b>0,q:ab>0;
③已知a,b为正实数,p:a>b>1,q:a2>b2>0.
答案:①③
解析:①当x=1时,x2-2x+1=0,故p q,所以p是q的充分条件.
②由a+b>0不能推出ab>0,故p不是q的充分条件.
③因为a>b>1 a2>b2>0,所以p是q的充分条件.
2.在下列各题中,q是p的必要条件的有 (填序号).
①p:x-5=0;q:(x-5)(x-1)=0;
②p:两个三角形相似;q:两个三角形全等;
③p:m<-2;q:关于x的方程x2-x-m=0无实数根.
答案:①③
解析:①∵x-5=0 (x-5)(x-1)=0,
∴q是p的必要条件.
②∵两个三角形相似推不出两个三角形全等,
∴q不是p的必要条件.
③∵关于x的方程x2-x-m=0无实数根,
∴Δ=1-4×1×(-m)=1+4m<0,
二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
典例剖析
2.(1)已知p:关于x的不等式 (m>0),q:0
(2)已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0,m∈R}, p:x∈A,q:x∈B,并且q是p的必要条件,求实数m的取值范围.
互动探究
(变条件)本例(1)中,若将“若p是q的充分条件”改为“若p是q的必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解得m≥3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≥3}.
规律总结
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的思路
先将条件p,q等价转化为相应的集合,再根据充分条件、必要条件转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)求解.
学以致用
3.(1)若“x2或x<1”的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)已知集合M={x|a-1解:(1)记集合A={x|x>2,或x<1},B={x|x由题意,可得B A,在数轴上分别表示出集合A,B,如图.
由图可知,m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M N.
故实数a的取值范围为{a|-2≤a≤7}.
随 堂 训 练
1.已知x∈R,则x>2的一个必要条件是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
答案:A
解析:因为x>2 x>1,所以选A.
答案:B
3.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是
( )
答案:AC
4.“x2=2x”是“x=0”的 条件,“x=0”是“x2=2x”的 条件(用“充分”“必要”填空).
答案:必要 充分
解析:因为x=0 x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.(共30张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
素养·目标定位
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课堂·重难突破
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素养·目标定位
课前·基础认知
1.充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 p q ,又有q p,就记作p q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 充分必要 条件,简称为 充要 条件.
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p q,那么p与q互为 充要 条件.
2.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p q,则p是q的充要条件.
(3)若p q,且q p,则称p是q的 充分不必要 条件.
(4)若p q,且q p,则称p是q的 必要不充分 条件.
(5)若p q,且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
3.“ ”的传递性
若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p q,q s,则有p s,即p是s的充要条件.
课堂·重难突破
一 充要条件的判断
典例剖析
1.(1)(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的为( )
A.p:x>0,y<0,q:xy<0 B.p:a>b,q:a+c>b+c
C.p:x>5,q:x>10
(2)设A,B,U是三个集合,且A U,B U,则“x∈( UA)∩( UB)”是“x∈ U(A∪B)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:(1)BD (2)C
解析:(1)对于A选项,p q,但q p,故p不是q的充要条件;对于B选项,p q,且q p,即p q,故p是q的充要条件;对于C选项,p q,但q p,故p不是q的充要条件;对于D选项,p q,且q p,即p q,故p是q的充要条件.故选BD.
(2)∵( UA)∩( UB)= U(A∪B),
∴“x∈( UA)∩( UB)”是“x∈ U(A∪B)”的充要条件.故选C.
规律总结
判断p是q的充要条件的两个角度
(1)命题角度:判断p是q的充要条件,需判断p q及q p两个方面.
(2)集合角度:当不容易判断p q及q p时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
学以致用
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.“ab=0”是“a2+b2=0”的充要条件
B.“xy≥0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件
C.“m>0”是“方程x2-x-m=0有实数根”的充分不必要条件
D.“|x-1|>2”是“x<-1”的必要不充分条件
答案:BCD
二 充要条件的探求与证明
典例剖析
2.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
规律总结
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”和“若q,则p”均为真.
(2)可以利用集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.
学以致用
2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件.
解:当a=0时,原方程为一元一次方程,其根为 ,符合要求.
当a≠0时,Δ=4-4a.
①当Δ=4-4a=0,即a=1时,方程有两个相等的负根-1;
②当Δ=4-4a>0,
综上所述,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件是a≤1.
三 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围
典例剖析
3.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .
答案:{m|m≥9}
解析:因为p是q的充分不必要条件,
所以p q且q p,
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,
解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.
互动探究
1.(变条件)若将本例条件“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围.
解:因为p是q的必要不充分条件,所以q p,且p q.
则{x|1-m≤x≤1+m,m>0} {x|-2≤x≤10},
解得0即实数m的取值范围是{m|02.(变条件)若将本例条件“p是q的充分不必要条件”改为“是否存在实数m,使得p是q的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.”其他条件不变.
解:不存在.
因为p是q的充要条件,所以p q.
则{x|-2≤x≤10}={x|1-m≤x≤1+m},
即不存在实数m,使得p是q的充要条件.
规律总结
利用充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p,q.
(2)根据p与q的关系(充分条件、必要条件、充要条件)转化为集合间的关系.
(3)利用集合间的关系建立不等式.
(4)求解参数范围.
学以致用
随 堂 训 练
1.“两个三角形的面积比等于对应边长比的平方”是“两个三角形相似”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
2.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由“x>0” “x≠0”,反之不一定成立.
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
3.“一次函数y=kx+b的图象经过第一、第三、第四象限”的一个必要不充分条件是( )
A.k>0,b<0 B.k<0,b>0
C.k>0,b>0 D.kb<0
答案:D
4.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分不必要条件,则m的最大值为 ,若p是q的必要不充分条件,则m的最小值为 .
答案:1 4
解析:条件p:|x|≤m(m>0),可得-m≤x≤m,条件q:-1≤x≤4.
若p是q的充分不必要条件,则-m≥-1,且m≤4,解得0若p是q的必要不充分条件,则-m≤-1且m≥4,解得m≥4,则m的最小值为4.
5.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 .
答案:m=-2
解析:函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,
则 ,即m=-2;
反之,若m=-2,则y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称.