(共27张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
微思考全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和存在量词
提示:存在量词命题一定含有存在量词,全称量词命题不一定含有全称量词.如:命题“正方形是特殊的菱形”,该命题中没有全称量词.
课堂·重难突破
一 全称量词命题与存在量词命题的判断
典例剖析
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些素数的和仍是素数;
(3)存在一个菱形,它的对角线不互相垂直;
(4)所有自然数的平方是正整数.
解:(1)命题可以改写为“所有凸多边形的外角和等于360°”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“存在一个”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
规律总结
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们要根据命题涉及的意义去判断.
学以致用
1.在下列命题中,是全称量词命题的有 ,是存在量词命题的有 (填序号).
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
答案:①②③ ④
二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
典例剖析
2.判断下列命题的真假:
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(2)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立;
(3)对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sin A=cos B;
(4) x∈R,x2-3x+2=0.
解:(1)假命题.如边长为1的正方形的对角线的长为 ,不是正有理数.
(2)假命题.因为Δ=12-4×1×8=-31<0,所以方程无实数解.
(3)真命题.根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sin A=cos B.
(4)真命题.当x=2或x=1时,有x2-3x+2=0成立.
规律总结
1.判断全称量词命题为真时,必须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使p(x)不成立即可.
2.判断存在量词命题为真时,只要在限定的集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可,否则这一命题就是假命题.
学以致用
2.有下4四个命题:①有些整数只有两个正因数;
② x∈{1,-1,0},2x+1>0;
③ x∈N,x2=x;
④偶数都可以被2整除.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
三 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围
典例剖析
3.若命题“ x∈{x|1≤x≤2},a≥x”是真命题,则a的取值范围是 .
答案:a≥2
解析:由已知得a≥xmax,所以a的取值范围是a≥2.
互动探究
(变条件)若将本例条件中的“ ”改为“ ”,其他条件不变,则a的取值范围是 .
答案:a≥1
解析:由已知得a≥xmin,所以a的取值范围是a≥1.
规律总结
求解含有全称量词或存在量词的命题中参数取值范围的方法
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或a
ymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或aymin(或a学以致用
3.已知命题“ x∈R,二次函数y=x2-x+a的图象在x轴上方”是真命题,则实数a的取值范围是 .
4.已知命题“ x∈R,使二次函数y=x2-x+a的函数值小于0”是真命题,则实数a的取值范围是 .
随 堂 训 练
1.下列命题中,不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘1都等于它本身
B.自然数都是正数
C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数
D.一定存在没有最大值的二次函数
答案:D
解析:D选项是存在量词命题.
2.下列命题中,存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析:命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④是全称量词命题.故有1个存在量词命题.
3.下列命题是全称量词命题且是真命题的是( )
A. x∈R,x2>0
B. x,y∈R,x2+y2>0
C. x∈Q,x2∈Q
D. x∈Z,使x2>1
答案:C
解析:首先D项是存在量词命题,不符合要求;A项不是真命题,因为当x=0时,x2=0;B项也不是真命题,因为当x=y=0时,x2+y2=0;只有C项是真命题,同时也是全称量词命题.
4.下列命题是存在量词命题且为真命题的是( )
A. x∈R,x2+2x+1=0
B.有的合数是奇数
C.任何一个平行四边形的对边都平行
D.存在一个直角三角形的三边相等
答案:B
5.若命题“对任意x>8,x>a”是真命题,则实数a的取值范围是 .
答案:a≤8
解析:∵对于任意x>8,有x>a恒成立,∴a≤8.(共25张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题
和存在量词命题的否定
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1.含有量词的命题的否定
一般地,对于含有一个量词的命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题p: x∈M,p(x),它的否定 p: x∈M, p(x) ;
存在量词命题p: x∈M,p(x),它的否定 p: x∈M, p(x) .
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
2.命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定,仍是一个命题,它和原命题只能是一真一假.
课堂·重难突破
一 全称量词命题的否定
典例剖析
1.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)等圆的面积相等;
(3)每个三角形至少有两个锐角.
解:(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.
因为当Δ=12-4×1×(-m)=1+4m<0,
即 时,一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以原命题的否定是真命题.
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否定形式是“存在一对等圆,其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题.
(3)这一命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”,由三角形的内角和为180°,知原命题的否定为假命题.
规律总结 1.对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
即:全称量词( ) 存在量词( ).
(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.
2.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题的真假性相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
学以致用
1.写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.
(1)一切分数都是有理数;
解:(1)原命题的否定为“存在一个分数不是有理数”,这个命题是假命题.
二 存在量词命题的否定
典例剖析
2.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)有一个奇数不能被3整除;
(2)有些三角形的三个内角都是60°;
(3) x∈R,使得|x+1|≤1.
解:(1)原命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”.这个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除.
(2)原命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”.这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是60°.
(3)原命题的否定为“ x∈R,有|x+1|>1”.这个命题为假命题,如x=0时,不满足|x+1|>1.
规律总结
1.对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
即:存在量词( ) 全称量词( ).
(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
2.存在量词命题否定后的真假判断方法
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题的真假性相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
学以致用
2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1) a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;
(2) x∈R,使x2+2x+2≤0;
(3)至少有一个实数x,使2x2+3=0.
解:(1)原命题的否定为“ a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点”.这个命题是假命题.
(2)原命题的否定为“ x∈R,x2+2x+2>0”.这个命题是真命题,
因为当x∈R时,x2+2x+2=(x+1)2+1>0.
(3)原命题的否定为“ x∈R,2x2+3≠0”.这个命题是真命题.
三 全称量词命题与存在量词命题否定的应用
典例剖析
3.已知命题“ x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题,求实数a的取值范围.
解:因为命题“ x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题,所以其否定“ x∈R,2x2+3x+a>0”是真命题,等价于方程2x2+3x+a=0无实根,
互动探究
1.(变条件)若将本例条件“假命题”改为“真命题”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
2.(变条件)若将本例条件改为:已知命题“ x∈R, 2x2+3x+a≤0”的否定是假命题,求实数a的取值范围.
规律总结
解决全称量词命题与存在量词命题否定的应用问题要注意等价命题的转化,当已知命题不好求解时,可转化为其命题的否定进行求解.
学以致用
3.已知命题“ x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.
解:原命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“ x∈R,使ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根.
即a=0,或a≤1,且a≠0,所以a≤1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤1}.
随 堂 训 练
1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A. x∈R,|x|+x2<0 B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0 D. x∈R,|x|+x2≥0
答案:C
2.命题“存在x∈R,x4≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x4≥0 B.存在x∈R,x4≥0
C.对任意的x∈R,x4≤0 D.对任意的x∈R,x4>0
答案:D
3.对下列命题的否定,其中说法错误的是( )
A.p: x≥3,x2-2x-3≥0;p的否定: x≥3,x2-2x-3<0
B.p:存在一个四边形为正方形;p的否定:任意一个四边形都不是正方形
C.p:有的三角形为直角三角形;p的否定:所有的三角形不都是直角三角形
D.p: x∈R,x2+2x+2≤0;p的否定: x∈R,x2+2x+2>0
答案:C
解析:若p:有的三角形为直角三角形,则p的否定:所有的三角形都不是直角三角形,故选项C中说法错误.
4.“有一个平行四边形,它的对角线不相等”的否定是
,是 命题.(填“真”或“假”)
答案:任意平行四边形的对角线相等 假
解析:“有一个平行四边形”中含有存在量词,因此这是一个存在量词命题,其否定应是全称量词命题,原命题是一个真命题,因此其否定是一个假命题.
5.若命题“ x∈{x|x≤1},x解:原命题的否定是: x∈{x|x≤1},x≥a,
又因为原命题的否定是真命题,
所以a≤xmax,所以a的取值范围是a≤1.