(共34张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.不等关系
不等关系常用 不等式 来表示.
2.实数a,b的大小比较的基本事实
3.重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当a = b时,等号成立.
4.等式的基本性质
(1)性质1:如果a=b,那么b=a.
(2)性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
(3)性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
(4)性质4:如果a=b,那么ac=bc.
(5)性质5:如果a=b,c≠0,那么
5.不等式的基本性质
(1)性质1:a>b b < a.
(2)性质2:a>b,b>c a > c.
(3)性质3:a>b a+c > b+c.
(4)性质4:a>b,c>0 ac > bc;a>b,c<0 ac < bc.
(5)性质5:a>b,c>d a+c > b+d.
(6)性质6:a>b>0,c>d>0 ac > bd.
(7)性质7:a>b>0 an > bn(n∈N,n≥2).
微提醒1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提,不可强化或弱化成立的条件.
2.要注意每条性质是否具有可逆性.
课堂·重难突破
一 用不等式(组)表示不等关系
典例剖析
1.已知某列车的速度为v1(单位:km/h),这个速度的2倍再加上100 km/h,不超过民航飞机的最低速度v2(单位:km/h),可列车的速度已经超过了普通客车速度v3(单位:km/h)的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度关系.
解:由题意,得v1,v2的关系为2v1+100≤v2,
v1,v3的关系为v1>3v3.
规律总结
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
提醒:在用不等式(组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一.
学以致用
1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于100 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
解:由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,
所以0
二 比较两数(式)的大小
典例剖析
2.已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.
解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
∵x≤1,∴x-1≤0,而3x2+1>0,
∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.
规律总结
作差法比较两个实数大小的基本步骤
学以致用
2.(1)若a=3x2-x+1,b=2x2+x,则( )
A.a>b B.aC.a≥b D.a≤b
答案:C
解析:a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a≥b.
(2)已知x>y>0,试比较x3-2y3与xy2-2x2y的大小.
解:由题意,知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3
=x(x2-y2)+2y(x2-y2)=(x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y).
∵x>y>0,∴x-y>0,x+y>0,x+2y>0,
∴(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0,
即x3-2y3>xy2-2x2y.
三 利用不等式的性质判断或证明不等式
典例剖析
3.(1)设a>b>0,c答案:B
(2)已知a>b,e>f,c>0.求证:f-ac证明:∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.
∵f规律总结
1.利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,要利用不等式的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:
注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
2.利用不等式的性质证明不等式的思路
(1)利用性质对不等式进行变形,变形要等价.
(2)寻找欲证不等式成立的已知条件,利用相应的不等式性质证明.
提醒:利用性质时要注意性质适用的前提.
学以致用
四 利用不等式的性质求取值范围
典例剖析
4.已知1解:∵1∴8<2a+3b<32.
∵2又1即-7故8<2a+3b<32,-7互动探究
2.(变条件)若将本例条件“1-1≤a-b≤3”,求2a+3b的取值范围.
规律总结
同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.
学以致用
随 堂 训 练
1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,则用不等式表示为( )
答案:D
解析:“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”, ∴x≥95,y>380,z>45.
答案:C
3.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .
答案:-1≤a-b≤6
解析:∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,
又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.(共30张PPT)
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
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课前·基础认知
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素养·目标定位
课前·基础认知
两个不等式
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课堂·重难突破
一 用基本不等式判断不等关系
典例剖析
1.给出下面三个推导过程:
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
答案:B
规律总结
学以致用
1.下列不等式的推导过程正确的是 (填序号).
答案:②
二 利用基本不等式比较大小
典例剖析
2.已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是 .
答案:p>q
解析:∵ a,b,c互不相等,
∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.
∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
∴a2+b2+c2>ab+bc+ac,即p>q.
规律总结
运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即
成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b; a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.
学以致用
A.P>Q>M B.M>P>Q
C.Q>M>P D.M>Q>P
答案:B
三 利用基本不等式证明不等式
典例剖析
规律总结
1.条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑,比如本题通过“1”的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用基本不等式创造条件,另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系.
2.先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技能,也是证明不等式时的一种常用方法.
学以致用
3.已知x,y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
随 堂 训 练
1.已知a,b均为正实数,则下列各式中不一定成立的是( )
答案:D
答案:C
答案:①②③(共30张PPT)
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
素养·目标定位
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素养·目标定位
课前·基础认知
利用基本不等式求最值
(1)理论依据:
①已知x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当 x=y 时,积xy有最大值,且最大值为______;
②已知x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当 x=y 时,和x+y有最小值,且最小值为______.
(2)利用基本不等式求最值的条件:
①x,y必须是 正数 ;
②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 定值 ;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 定值 ;
③等号成立的条件是否满足.
课堂·重难突破
一 利用基本不等式求最值
典例剖析
规律总结
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立的条件,即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
学以致用
二 利用基本不等式解决实际问题中的最值
2.某房地产开发公司计划在一烛照小区内建造一个长方形公园ABCD,公园由休闲区(长方形A1B1C1D1)和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,环公园人行道的宽分别为4米和10米,如图所示.
(1)若设休闲区的长和宽的比 (x>1),
求公园ABCD的面积S关于x的表达式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计
规律总结
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
学以致用
2.某食品厂需定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元.每次购买面粉需支付运费900元及检验、保管等杂费9x(x+1)元.设该厂每x天购买一次面粉,当x为多少时,该厂平均每天的费用最少
三 利用基本不等式求条件最值
典例剖析
互动探究
规律总结
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
随 堂 训 练
1.已知a+b=t(a>0,b>0),t为常数,且ab的最大值为2,则t等于
( )
答案:C
答案:D
答案:C
答案:36
5.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
答案:5 8