(共32张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.一元二次不等式的概念
只含有 一个 未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
(1)ax2+bx+c>0(a,b,c均为常数,a≠0).
(2)ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).
3.二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 实数x 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
微思考二次函数y=x2-1的零点是什么
提示:x1=-1,x2=1.
4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
微训练不等式x2-x<0的解集是( )
A.{x|x>1} B.{x|x<0}
C.{x|0
答案:C
课堂·重难突破
一 解不含参数的一元二次不等式
典例剖析
1.解:下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)≤0;
(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.
结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1,或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)≥0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.
结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x≤-3,或x≥2}.
(3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,
即9x2-12x+4>0.
规律总结 解一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程没有实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
学以致用
1.解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-2x+3>0;
(3)-3x2+5x-2≥0.
二 解含参数的一元二次不等式
典例剖析
2.解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
解:将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,有aa2};
当a=0时,a=a2=0,所以不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};
当0a2,所以不等式的解集为{x|xa};
当a=1时,a=a2=1,所以不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};
当a>1时,有aa2}.
规律总结
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:解含参数的一元二次不等式时,需从三个方面讨论:(1)二次项系数a,(2)判别式Δ,(3)相应方程根的大小.
学以致用
2.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0(a>0).
三 三个“二次”之间的关系
典例剖析
3.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2互动探究
1.(变问法)本例中的条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
解:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|22.(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集为{x|x<2,或x>3}”,求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
解:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<2,或x>3}可知,a>0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根.
规律总结
已知以a,b,c为参数的一元二次不等式(如ax2+bx+c>0,a≠0)的解集,求解其他一元二次不等式的解集时,一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要求解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为不含参数的一元二次不等式求解.
学以致用
3.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
随 堂 训 练
1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为( )
A.{x|x≥6,或x≤-1} B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1} D.{x|x≤-6,或x≥1}
答案:D
解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1或x≤-6.故所求不等式的解集为{x|x≥1,或x≤-6}.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为( )
A.{x|x<-1,或x>2} B.{x|x≤-1,或x≥2}
C.{x|-1答案:D
解析:结合二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象(图略),可得不等式ax2+bx+c≥0(a<0)的解集为{x|-1≤x≤2}.故选D.
3.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:由题可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根,
4.当a>-1时,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集是 .
答案:{x|x<-a,或x>1}
解析:原不等式可化为(x+a)·(x-1)>0,
方程(x+a)(x-1)=0的两根为-a,1,
∵a>-1,∴-a<1,故所求不等式的解集为{x|x<-a,或x>1}.(共33张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的应用
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.简单的分式不等式的解法
主导思想:化分式不等式为整式不等式
提示:等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为熟悉的一元二次不等式.
2.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)不等式的解集为 的条件
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回归实际问题.
微拓展不等式ax2+bx+c>0的解集为 转化为不等式ax2+bx+c≤0的解集为R.
不等式ax2+bx+c<0的解集为 转化为不等式ax2+bx+c≥0的解集为R.
课堂·重难突破
一 解分式不等式
典例剖析
1.解下列不等式:
规律总结
简单的分式不等式的解法
学以致用
1.解下列不等式:
二 一元二次不等式的实际应用
典例剖析
2.某农贸公司按每担200元收购某农产品,且每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(单位:万元)与x的函数解析式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
解:(1)降低后的征税率为(10-x)%,
农产品的收购量为a(1+2x%)万担,
收购总金额为200a(1+2x%)万元.
化简,得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.
又0∴x的取值范围是0规律总结
求解一元二次不等式应用问题的步骤
学以致用
2.某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元.若按最低售价销售,则每天能卖出30盏;售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上(不含400元)的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售单价
解:设每盏台灯售价x元,
则x≥15,且日销售收入为x[30-2(x-15)]元.
由题意知,当x≥15时,有x[30-2(x-15)]>400,解得15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制订这批台灯的销售单价控制在集合{x|15≤x<20}.
三 不等式恒成立问题
典例剖析
互动探究
1.(变条件)若将本例条件“一元二次”去掉,其他条件不变,求实数k的取值范围.
解:当k=0时,显然成立;
当k≠0时,由例题知-3所以k的取值范围是-33.(变条件)若将本例条件“对一切x∈R恒成立”改为“解集为 ”,问是否存在k的值.
规律总结
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
学以致用
3.已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x都成立,求a的取值范围.
解:若a=0,则原不等式为-x-1<0,即x>-1,不符合题意,故a≠0.
令y=ax2+(a-1)x+a-1,∵原不等式对任意x∈R都成立,
∴二次函数y=ax2+(a-1)x+a-1的图象在x轴的下方,
∴a<0,且方程ax2+(a-1)x+a-1=0的判别式Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0,
随 堂 训 练
A.{x|-3B.{x|x>1}
C.{x|x<-3,或x>1}
D.{x|x<-1,或x>3}
答案:C
2.已知关于x的不等式ax2+2ax+3>0的解集为R,则a的取值范围为( )
A.0C.0≤a≤3 D.a≤0或a>3
答案:B
3.若产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数解析式是y=3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
答案:C
解析:由题意,得y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0,
即x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).
4.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 .
答案:-4≤a≤4
解析:欲使关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则对应方程x2+ax+4=0的判别式Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
5.某施工单位在对一个长800 m,宽600 m的空地进行绿化时,是这样想的:中间为矩形草坪,四周是等宽的花坛,如图所示.若要保证草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.
解:设花坛的宽度为x m,
则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,
根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥ ×800×600,
整理得x2-700x+60 000≥0,
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,
由题意知x>0,所以0故当0