素养提升课(一) 安培力作用下导体的运动
1．会分析安培力作用下导体的运动情况。
2．会将立体图形转换为平面图进行受力分析。
3．能分析通电导体在安培力作用下的平衡和加速问题。
安培力作用下导体的运动情况
1．判断安培力作用下通电导体的运动方向的思路
(1)首先应画出通电导体(或通电线圈)所在位置的磁感线方向。
(2)根据左手定则确定通电导体(或通电线圈)所受安培力的方向。
(3)由通电导体(或通电线圈)的受力情况判断通电导体(或通电线圈)的运动方向。
2．五种常用方法
电流元法 把整段导线分为许多段直电流元，先用左手定则判断每段电流元受力的方向，然后判断整段导线所受合力的方向，从而确定导线运动方向
等效法 环形电流可等效成小磁针，通电螺线管可以等效成条形磁铁或多个环形电流，反过来等效也成立
特殊位置法 通过转动通电导线到某个便于分析的特殊位置(如转过90°)，然后判断其所受安培力的方向，从而确定其运动方向
结论法 两平行直线电流在相互作用过程中，无转动趋势，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究 对象法 定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
【典例1】 如图所示，O为圆心，KN、LM是半径分别为ON、OM的同心圆弧，在O处垂直纸面有一载流直导线，电流方向垂直纸面向外，用一根导线围成如图KLMN所示的回路，当回路中沿图示方向通过电流时(电源未在图中画出)，此时回路( )
A．将向左平动
B．将向右平动
C．将在纸面内绕通过O点并垂直纸面的轴转动
D．KL边将垂直纸面向外运动，MN边垂直纸面向里运动
[思路点拨] (1)把整段电流等效为多段直线电流元。
(2)用左手定则判断出每小段电流元所受安培力的方向。
(3)判断整段电流所受合力的方向。
D [因为通电直导线的磁感线是以O为圆心的一组同心圆，磁感线与KN边、LM边平行，所以KN边、LM边均不受力。根据左手定则可得，KL边受力垂直纸面向外，MN边受力垂直纸面向里，故D正确。]
[跟进训练]
1．(2022·江苏卷)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
C [根据安培定则，可判断出导线a左侧部分的空间磁场方向斜向右上，右侧部分的磁场方向斜向下方，根据左手定则可判断出导线a左半部分所受安培力方向垂直纸面向外，右半部分所受安培力方向垂直纸面向里，故C正确。]
安培力作用下导体的平衡和加速
1．求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路
(1)选定研究对象——通电导线或通电导体棒。
(2)变三维为二维，作出如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出其平面内的受力分析图，其中安培力的方向要用左手定则来判断，注意F安⊥B、F安⊥I。
如图所示。
(3)列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
2．求解关键
(1)电磁问题力学化。
(2)立体图形平面化。
3．安培力作用下导体的分析技巧
(1)安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。
(2)安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。
【典例2】 质量为m＝0.02 kg的通电细杆ab置于倾角为θ＝37°的平行放置的导轨上，导轨的宽度d＝0.2 m，杆ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.4，磁感应强度B＝2 T的匀强磁场与导轨平面垂直且方向向下，如图所示。现调节滑动变阻器的触头，为使杆ab静止不动，通过ab杆的电流范围为多少？(g取10 m/s2)
[思路点拨] (1)首先将立体图转换成平面图，对杆受力分析。
(2)杆所受摩擦力方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下。
(3)杆静止不动的临界条件是摩擦力刚好达到最大静摩擦力。
[解析] 如图甲、乙所示是电流最大和最小两种情况下杆ab的受力分析图。
根据甲图列式如下：
F1－mgsinθ－=0
FN－mg cos θ＝0
＝μFN，F1＝BImaxd
解上述方程得：Imax＝0.46 A
根据乙图列式如下：
－mg sin θ＝0
FN－mg cos θ＝0
＝μFN，F2＝BImind
解上述方程得：Imin＝0.14 A
因此电流范围是0.14～0.46 A。
[答案] 0.14～0.46 A
[跟进训练]
2．(2022·重庆一中高二期中)如图所示，两根倾斜光滑金属导轨M、N与地面的夹角θ＝37°，两导轨间距为d＝1 m，金属棒ab的质量为m＝0.1 kg，接入电路部分电阻为r＝1 Ω，放在导轨上且与导轨垂直。导轨上端接一电阻，阻值R1＝1 Ω。磁场的磁感应强度大小为B＝1 T，方向垂直导轨平面向下，电源的电动势为E＝4 V，内阻不计，R为滑动变阻器，调节滑动变阻器，使金属棒在导轨上静止。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)
(1)滑动变阻器的阻值为多少？
(2)若将磁场方向改为竖直向下，刚改方向瞬间，金属棒的加速度大小是多少？
[解析] (1)根据题意，对金属棒ab受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示
由平衡条件可得mg sin 37°＝F安
设通过金属棒的电流为I，由于金属棒电阻和R1的电阻相等，则通过R1的电流也为I，通过滑动变阻器的电流为2I，由闭合回路欧姆定律有E＝IR1＋2IR
又有F安＝BId，联立代入数据解得R＝ Ω。
(2)若将磁场方向改为竖直向下，刚改方向瞬间，对金属棒ab受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示
由牛顿第二定律有mg sin 37°－F安cos 37°＝ma，代入数据解得a＝1.2 m/s2。
[答案] (1) Ω (2)1.2 m/s2
素养提升课(一) 安培力作用下导体的运动
1．会分析安培力作用下导体的运动情况。
2．会将立体图形转换为平面图进行受力分析。
3．能分析通电导体在安培力作用下的平衡和加速问题。
安培力作用下导体的运动情况
1．判断安培力作用下通电导体的运动方向的思路
(1)首先应画出通电导体(或通电线圈)所在位置的磁感线方向。
(2)根据左手定则确定通电导体(或通电线圈)所受安培力的方向。
(3)由通电导体(或通电线圈)的受力情况判断通电导体(或通电线圈)的运动方向。
2．五种常用方法
电流元法 把整段导线分为许多段直电流元，先用左手定则判断每段电流元受力的方向，然后判断整段导线所受合力的方向，从而确定导线运动方向
等效法 环形电流可等效成小磁针，通电螺线管可以等效成条形磁铁或多个环形电流，反过来等效也成立
特殊位置法 通过转动通电导线到某个便于分析的特殊位置(如转过90°)，然后判断其所受安培力的方向，从而确定其运动方向
结论法 两平行直线电流在相互作用过程中，无转动趋势，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究 对象法 定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
【典例1】 如图所示，O为圆心，KN、LM是半径分别为ON、OM的同心圆弧，在O处垂直纸面有一载流直导线，电流方向垂直纸面向外，用一根导线围成如图KLMN所示的回路，当回路中沿图示方向通过电流时(电源未在图中画出)，此时回路( )
A．将向左平动
B．将向右平动
C．将在纸面内绕通过O点并垂直纸面的轴转动
D．KL边将垂直纸面向外运动，MN边垂直纸面向里运动
[思路点拨] (1)把整段电流等效为多段直线电流元。
(2)用左手定则判断出每小段电流元所受安培力的方向。
(3)判断整段电流所受合力的方向。
[听课记录]
[跟进训练]
1．(2022·江苏卷)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
安培力作用下导体的平衡和加速
1．求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路
(1)选定研究对象——通电导线或通电导体棒。
(2)变三维为二维，作出如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出其平面内的受力分析图，其中安培力的方向要用左手定则来判断，注意F安⊥B、F安⊥I。
如图所示。
(3)列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
2．求解关键
(1)电磁问题力学化。
(2)立体图形平面化。
3．安培力作用下导体的分析技巧
(1)安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。
(2)安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。
【典例2】 质量为m＝0.02 kg的通电细杆ab置于倾角为θ＝37°的平行放置的导轨上，导轨的宽度d＝0.2 m，杆ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.4，磁感应强度B＝2 T的匀强磁场与导轨平面垂直且方向向下，如图所示。现调节滑动变阻器的触头，为使杆ab静止不动，通过ab杆的电流范围为多少？(g取10 m/s2)
[思路点拨] (1)首先将立体图转换成平面图，对杆受力分析。
(2)杆所受摩擦力方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下。
(3)杆静止不动的临界条件是摩擦力刚好达到最大静摩擦力。
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[跟进训练]
2．(2022·重庆一中高二期中)如图所示，两根倾斜光滑金属导轨M、N与地面的夹角θ＝37°，两导轨间距为d＝1 m，金属棒ab的质量为m＝0.1 kg，接入电路部分电阻为r＝1 Ω，放在导轨上且与导轨垂直。导轨上端接一电阻，阻值R1＝1 Ω。磁场的磁感应强度大小为B＝1 T，方向垂直导轨平面向下，电源的电动势为E＝4 V，内阻不计，R为滑动变阻器，调节滑动变阻器，使金属棒在导轨上静止。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)
(1)滑动变阻器的阻值为多少？
(2)若将磁场方向改为竖直向下，刚改方向瞬间，金属棒的加速度大小是多少？
素养提升课(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。
2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。
3．能利用几何知识求解圆周运动的半径。
4．会分析有界磁场中的临界、极值问题。
带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1．单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【典例1】 如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
[思路点拨] (1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。
(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
[解析] (1)做出两粒子的运动轨迹如图所示，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m，则r＝
故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝
粒子2圆周运动的圆心角θ2＝
粒子做圆周运动的周期T＝
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝。
[答案] (1) (2)
(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。
(2)解题过程中注意对称性的应用。
[跟进训练]
1．(2022·黑龙江哈九中高二期中)如图所示，在平板PQ上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。某时刻有a、b、c三个电子(不计重力)分别以大小相等、方向如图所示的初速度va、vb和vc经过平板PQ上的小孔O垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ上的位置到小孔O的距离分别是la、lb和lc，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置放在真空中。则下列判断正确的是( )
A．la＝lbC．ta＞tb＞tc D．ta＝tc＜tb
C [三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示，
垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度va和vc的方向与PQ的夹角相等，所以这两个电子的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离是相等的。而初速度vb的电子方向与PQ垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们的运动轨迹的半径均相同，所以速度为vb的距离最大，故A错误，B错误。从图中可得，初速度va的电子偏转的角度最大，初速度vc的电子偏转的角度最小，根据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系可得偏转角度最大的a运动的时间最长，偏转角度最小的c在磁场中运动的时间最短，故C正确，D错误。]
带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷。
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，磁感应强度B′为多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
[思路点拨] (1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。
(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。
[解析] (1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m，则粒子的比荷。
(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R′＝r
又R′＝，所以B′＝B
粒子在磁场中运动所用时间
t＝。
[答案] (1)负电荷 (2)B
[跟进训练]
2．(2022·黑龙江哈师大青冈实验中学高二期中)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为( )
A．v B．v
C．v D．v
B [带电粒子两次在磁场中的运动时间相同，圆心角都是60°；设圆形磁场的半径为R，粒子第一次在磁场中运动时，根据牛顿第二定律得qvB＝m，r1＝2R
粒子第二次在磁场中运动时，根据牛顿第二定律得qv2B＝m，r2＝R tan 60°，解得v2＝v，故B正确。
]
带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。
【典例3】 如图所示，匀强磁场宽度l＝4 cm，磁感应强度的大小B＝0.1 T，方向垂直纸面向里，有一质量m＝8×10-25 kg、电荷量q＝5×10-18 C的正离子，以方向垂直磁场的初速度v0从小孔C沿水平方向射入匀强磁场，转过圆心角θ＝60°后从磁场右边界A点射出(取π＝3)。
(1)求离子的初速度v0；
(2)求离子在磁场中的运动时间；
(3)只改变正离子的速度大小，使之无法从右边界射出，求离子速度的最大值(取＝1.73，结果保留两位有效数字)。
[解析] (1)由几何关系得r＝＝0.08 m
由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m
解得v0＝5×104 m/s。
(2)离子运动周期为T＝＝9.6×10-6 s
离子在磁场中的运动时间为t＝T＝1.6×10-6 s。
(3)若离子刚好不从右边界射出，则离子轨迹刚好和右边界相切，由几何关系得离子轨迹半径为R＝l
由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝m
解得vm≈4.3×104 m/s。
[答案] (1)5×104 m/s (2)1.6×10-6 s (3)4.3×104 m/s
(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
[跟进训练]
3．(2022·云南玉溪第三中学高二阶段练习)如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB长为2l，AD长为l。从AD的中点E以不同速率发射粒子，速度方向与AD成30°角；粒子带正电，电荷量为q，质量为m；不计粒子重力与粒子间的相互作用。求：
(1)从AB边离开磁场的粒子，出射点离A点的最远距离；
(2)要使粒子全部从AB边离开磁场，发射速率应满足的条件。
[解析] (1)如图所示当粒子的轨迹恰好与CD边相切时，根据几何关系，有R1(1cos 60°)，可得此时粒子半径R1＝l，距离A点的最大距离为sAM＝R1(1＋cos 30°)＝l。
(2)根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得R＝，可求出当粒子半径为R1＝l时有v1＝，设当粒子恰好从AB边的N点出射时即此时轨迹刚好和AB边相切于N点，粒子速度为v2，半径为R2，根据几何关系有R2，
解得R2＝，所以有[答案] (1)l (2) 素养提升课(二) 带电粒子在有界磁场中的运动
1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。
2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。
3．能利用几何知识求解圆周运动的半径。
4．会分析有界磁场中的临界、极值问题。
带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1．单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【典例1】 如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
[思路点拨] (1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。
(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
[听课记录]
(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。
(2)解题过程中注意对称性的应用。
[跟进训练]
1．(2022·黑龙江哈九中高二期中)如图所示，在平板PQ上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。某时刻有a、b、c三个电子(不计重力)分别以大小相等、方向如图所示的初速度va、vb和vc经过平板PQ上的小孔O垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ上的位置到小孔O的距离分别是la、lb和lc，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置放在真空中。则下列判断正确的是( )
A．la＝lbC．ta＞tb＞tc D．ta＝tc＜tb
带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷。
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，磁感应强度B′为多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
[思路点拨] (1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。
(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。
[听课记录]
[跟进训练]
2．(2022·黑龙江哈师大青冈实验中学高二期中)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为( )
A．v B．v
C．v D．v
带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。
【典例3】 如图所示，匀强磁场宽度l＝4 cm，磁感应强度的大小B＝0.1 T，方向垂直纸面向里，有一质量m＝8×10-25 kg、电荷量q＝5×10-18 C的正离子，以方向垂直磁场的初速度v0从小孔C沿水平方向射入匀强磁场，转过圆心角θ＝60°后从磁场右边界A点射出(取π＝3)。
(1)求离子的初速度v0；
(2)求离子在磁场中的运动时间；
(3)只改变正离子的速度大小，使之无法从右边界射出，求离子速度的最大值(取＝1.73，结果保留两位有效数字)。
[听课记录]
(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
[跟进训练]
3．(2022·云南玉溪第三中学高二阶段练习)如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB长为2l，AD长为l。从AD的中点E以不同速率发射粒子，速度方向与AD成30°角；粒子带正电，电荷量为q，质量为m；不计粒子重力与粒子间的相互作用。求：
(1)从AB边离开磁场的粒子，出射点离A点的最远距离；
(2)要使粒子全部从AB边离开磁场，发射速率应满足的条件。
素养提升课(三) 带电粒子在复合场中的运动
1．理解组合场和叠加场的概念。
2．会分析粒子在各种场中的受力特点。
3．掌握粒子在复合场中运动问题的分析方法。
带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。
2．基本思路
(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析。
(3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(4)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①直线运动：如果带电粒子在叠加场中做直线运动，则一定是做匀速直线运动，合力为零，根据受力平衡列方程求解。
②圆周运动：如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，则一定是做匀速圆周运动，则一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【典例1】 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从坐标原点出发，沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。重力加速度为g，不计一切阻力，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间t。
[解析] (1)微粒在到达A(l，l)之前做匀速直线运动，受力分析如图所示：
根据平衡条件，有qE cos 45°＝mg cos 45°
解得E＝。
(2)根据平衡条件，有qvB＝mg
电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示：
根据牛顿第二定律，有qvB＝m
由几何关系可得r＝l
联立解得v＝。
(3)微粒做匀速直线运动的时间为t1＝
做圆周运动的时间为t2＝π
在复合场中运动时间为
t＝t1＋t2＝。
[答案] (1) (2) (3)
复合场中运动问题的求解技巧
带电体在复合场中的运动问题仍是一个力学问题，求解思路与力学问题的求解思路基本相同，仍然按照对带电体进行受力分析，运动过程分析，充分挖掘题目中的隐含条件，根据不同的运动情况建立相应的方程。
[跟进训练]
1．(多选)(2022·广东卷)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
BC [由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；由于洛伦兹力一直和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合力相等，故D错误。]
带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2．“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝，tan θ＝ 牛顿第二定律、向心力公式r＝
【典例2】 如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限中分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的微粒，在A点(0，3 m)处以初速度v0＝120 m/s平行于x轴正方向射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且先后只通过x轴上的P点(6 m，0)和Q点(8 m，0)各一次。已知该微粒的比荷为＝102 C/kg，微粒重力不计。
(1)求微粒从A到P所经历的时间和加速度的大小；
(2)求出微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角，并画出带电微粒在电场和磁场中由A至Q的运动轨迹；
(3)求电场强度E和磁感应强度B的大小。
[解析] (1)微粒从平行x轴正方向射入电场区域，由A到P做类平抛运动，微粒在x轴正方向做匀速直线运动
由x＝v0t，得t＝＝0.05 s
微粒沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，
由y＝at2得a＝2.4×103 m/s2。
(2)vy＝at，tan α＝＝1，所以α＝45°
运动轨迹如图所示。
(3)由qE＝ma，得E＝24 N/C
设微粒从P点进入磁场以速度v做匀速圆周运动，
v＝ m/s
由几何关系可知r＝ m，由qvB＝m得
B＝＝1.2 T。
[答案] (1)0.05 s 2.4×103 m/s2 (2)45° 见解析图 (3)24 N/C 1.2 T
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
[跟进训练]
2．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电荷离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且竖直向上，最后离子打在G处，而G处距A点为2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D处运动到G处所需时间；
(3)离子到达G处时的动能。
[解析] (1)离子运动轨迹如图所示。
由几何知识可知离子做圆周运动的半径r满足d＝r＋r cos 60°，解得r＝d。
(2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有qv0B＝m，因为r＝d，代入解得v0＝
离子做圆周运动的周期T＝
由运动轨迹图知离子在磁场中做圆周运动的时间t1＝
离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间
t2＝
故离子从D处运动到G处的总时间t＝t1＋t2＝。
(3)设电场强度为E，则有qE＝ma，d＝，2d＝v0t2
由动能定理得qEd＝EkG－
解得EkG＝。
[答案] (1)d (2) (3)
素养提升练(三) 带电粒子在复合场中的运动
非选择题
1．(2022·黑龙江哈九中高二期中)在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为e的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上x＝2l处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角θ＝37°(不计粒子的重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。要使粒子不从PQ边界射出，求：
(1)粒子运动到A点的速度大小v0；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。
[解析] (1)粒子加速过程由动能定理得Uq＝
可得粒子运动到A点的速度大小v0＝。
(2)在第Ⅰ象限做类平抛运动，到达y轴的速度为v，有v cos θ＝v0
根据动能定理有2qEl＝，联立解得E＝。
(3)带电粒子进入磁场中洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
当粒子运动的轨迹刚好与边界PQ相切时，粒子不从PQ边界射出，根据几何关系可知虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d＝r(1＋cos 37°)，联立解得d＝。
[答案] (1) (2) (3)
2．(2022·湖南卷)如图所示，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为＋q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下极板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上极板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。
(1)求直流电源的电动势E0；
(2)求两极板间磁场的磁感应强度B；
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值E′。
[解析] (1)小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得qE＝mg，R2两端的电压U2＝Ed，根据欧姆定律得U2＝·R2，联立解得E0＝。
(2)运动轨迹如图所示：
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系(r－d)2＋2＝r2
解得r＝2d，根据qvB＝m，解得B＝。
(3)由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为60°，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得qE′＝mg cos 60°，解得E′＝。
[答案] (1) (2) (3)
3．(2022·湖北恩施高二阶段练习)如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向里；在x轴下方有一匀强电场，方向竖直向上；一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v＝v0开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：
(1)粒子的电性；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)匀强电场的电场强度大小；
(4)粒子从a点开始运动到再次经过a点的时间。
[解析] (1)带电粒子做逆时针偏转，该粒子带正电。
(2)根据题意可得粒子的运动轨迹如图所示：
由运动轨迹图可得r cos 45°＝h
粒子在磁场中做圆周运动，故由牛顿第二定律有qvB＝
结合题意联立可得r＝。
(3)分析可知，粒子在电场中做斜抛运动，即在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀减速直线运动，且到达b点时，竖直方向速度恰好为零，故在水平方向上有v sin 45°t1＝r＋r sin 45°，在竖直方向有qE＝ma，v cos 45°＝at1
联立可得t1＝。
(4)由粒子的运动轨迹图可知，粒子在磁场中从a点开始至再次经过a点运动的总圆心角为
θ＝rad＝ rad
故粒子在磁场中运动的总时间为t0＝
由对称性可知，粒子在y轴左侧和右侧电场中的运动时间相等，故粒子从开始运动至再次经过a点所用的总时间为t＝t0＋2t1＝。
[答案] (1)正电 (2) (3) (4)
4．(2022·福建龙岩第一中学高二阶段练习)如图所示，在x轴下方存在着正交的电场与磁场，电场沿x轴正方向，电场强度大小E1＝20 N/C，磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小B1＝5 T。一个质量m＝3 g、带电荷量q＝2×10-3 C的带电小球自y轴上的M点沿直线匀速运动到x轴上的N点，且已知OM＝4 m。在x轴上方存在正交的电场E2与磁场B2(图中均未画出)，小球在x轴上方做圆周运动，恰好与y轴相切，运动轨迹如图所示。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)，试求：
(1)小球运动的速率v；
(2)电场E2的大小与方向；
(3)磁场B2的大小与方向。
[解析] (1)小球从M向N做匀速直线运动，可知小球所受合外力为零，对小球受力分析如图，受到重力、电场力和洛伦兹力作用，由小球的受力可知小球带正电，有tan θ＝ θ＝53°
洛伦兹力的大小与电场力和重力的合力大小相等，
有qvB1＝
解得v＝5 m/s。
(2)小球在x轴上方做匀速圆周运动如图所示，
可知电场力与重力平衡，所以有E2＝＝15 N/C
因小球带正电，所以E2方向沿y轴正方向。
(3)设小球在x轴上方做匀速圆周运动的半径为R，由几何关系可得
R sin 53°＋R＝ON，ON＝OMtan 37°，解得R＝ m
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律有qvB2＝m
得B2＝4.5 T
因小球带正电，由左手定则可知磁感应强度B2的方向垂直纸面向里。
[答案] (1)5 m/s (2)15 N/C，沿y轴正方向 (3)4.5 T，垂直纸面向里素养提升课(三) 带电粒子在复合场中的运动
1．理解组合场和叠加场的概念。
2．会分析粒子在各种场中的受力特点。
3．掌握粒子在复合场中运动问题的分析方法。
带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。
2．基本思路
(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析。
(3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(4)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①直线运动：如果带电粒子在叠加场中做直线运动，则一定是做匀速直线运动，合力为零，根据受力平衡列方程求解。
②圆周运动：如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，则一定是做匀速圆周运动，则一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【典例1】 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从坐标原点出发，沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。重力加速度为g，不计一切阻力，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间t。
[听课记录]
复合场中运动问题的求解技巧
带电体在复合场中的运动问题仍是一个力学问题，求解思路与力学问题的求解思路基本相同，仍然按照对带电体进行受力分析，运动过程分析，充分挖掘题目中的隐含条件，根据不同的运动情况建立相应的方程。
[跟进训练]
1．(多选)(2022·广东卷)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2．“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝，tan θ＝ 牛顿第二定律、向心力公式r＝
【典例2】 如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限中分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的微粒，在A点(0，3 m)处以初速度v0＝120 m/s平行于x轴正方向射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且先后只通过x轴上的P点(6 m，0)和Q点(8 m，0)各一次。已知该微粒的比荷为＝102 C/kg，微粒重力不计。
(1)求微粒从A到P所经历的时间和加速度的大小；
(2)求出微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角，并画出带电微粒在电场和磁场中由A至Q的运动轨迹；
(3)求电场强度E和磁感应强度B的大小。
[听课记录]
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
[跟进训练]
2．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电荷离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且竖直向上，最后离子打在G处，而G处距A点为2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D处运动到G处所需时间；
(3)离子到达G处时的动能。
