1．动量
1．了解生产生活中的各种碰撞现象。
2．经历寻求碰撞中不变量的过程，体会探究过程中猜想、推理和证据的重要性。
3．知道动量概念及其单位，会计算动量的变化量。
4．认识动量是描述物体运动状态的物理量，深化运动与相互作用的观念。
寻求碰撞中的不变量
实验探究(一) 质量不同小球的碰撞
如图所示，质量大的C球与质量小的B球碰撞后，质量小的B球得到的速度比质量大的C球碰撞前的速度大，两球碰撞前后的速度之和并不相等。
实验探究(二) 气垫导轨上小车的碰撞
(1)实验装置。
(2)实验原理。
两辆小车都放在滑轨上，用一辆运动的小车碰撞一辆静止的小车，碰撞后两辆小车粘在一起运动。小车的速度用滑轨上的数字计时器测量。
(3)记录并处理数据。
m1是运动小车的质量，m2是静止小车的质量，v是运动小车碰撞前的速度，v′是碰撞后两辆小车粘在一起的共同速度。
次数 m1/kg m2/kg v/(m· s-1) v′/(m· s-1)
1 0.519 0.519 0.628 0.307
2 0.519 0.718 0.656 0.265
3 0.718 0.519 0.572 0.321
(4)实验结论。
碰撞前后两车质量与速度的乘积之和基本不变。
在各种碰撞情况下都不改变的量，才是我们寻求的“不变量”。
2022年2月4日，第24届冬奥会在“北京—张家口”联合举办。冰壶运动是冬奥会的比赛项目之一。猜想一下两冰壶碰撞过程中的不变量可能是什么？
问题1 你能寻找出两冰壶碰撞过程中的不变量吗？
提示：两冰壶碰撞过程中的不变量可能是mv，也可能是mv2，还可能是等。
问题2 生活中发生的碰撞几乎都不是一维碰撞，一维碰撞是理想化模型吗？
提示：一维碰撞在生活中几乎见不到，所谓的一维碰撞是一种理想化模型。
问题3 碰撞可能有哪些形式？
提示：(1)两个质量相等的物体相碰撞；(2)两个质量相差悬殊的物体相碰撞；(3)两个速度大小相等方向相反的物体相碰撞；(4)一个运动物体与一个静止物体相碰撞；(5)两个物体碰撞时碰后可能不分开等。
寻找碰撞中的不变量
1．实验条件的保证
保证两个物体发生的碰撞是一维碰撞，即两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿同一直线运动。可用斜槽、气垫导轨等控制物体的运动。
2．实验数据的测量
(1)质量的测量——由天平测出。
(2)速度的测量——①光电门测速；②单摆测速；③打点计时器测速；④频闪照片测速；⑤平抛测速等。
3．误差来源的分析
(1)系统误差。
主要来源于装置本身是否符合要求，如气垫导轨是否水平，两球是否等大，长木板倾角是否合适等。
(2)偶然误差。
主要来源于质量m和速度v的测量和读数，实验中要规范测量和读数，尽量减小实验误差。
【典例1】 (2022·重庆南开中学期末)某同学利用气垫导轨做“寻求碰撞中的不变量”的实验，实验装置如图所示，所用的装置由气垫导轨、滑块、弹射架、光电门等组成。
实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③接通光电门电源；
④两滑块之间有一压缩的弹簧，并用细线连在一起(图中未画出)，开始时两滑块放在气垫导轨中央；
⑤烧断细线后，两滑块被弹簧弹开，分别向左、向右运动。左侧滑块通过左侧光电门，记录的遮光时间为0.040 s，右侧滑块通过右侧光电门，记录的遮光时间为0.060 s；
⑥测出遮光片的宽度d＝9 mm，测得左侧滑块的质量为100 g，右侧滑块的质量为150 g。
(1)实验中气垫导轨的作用：
a．__________________________________________________________________；
b．__________________________________________________________________。
(2)规定水平向右为正方向，则两滑块被弹开时左侧滑块的质量与速度的乘积m1v1＝________g·m/s，两滑块质量与速度的乘积的矢量和m1v1＋m2v2＝________g·m/s，说明两滑块在被弹开的过程中________不变。
[解析] (1)气垫导轨的作用：a.减小滑块与导轨间的摩擦引起的误差；b.保证两个滑块的运动在一条直线上。
(2)左侧滑块通过左侧光电门的速度为v1＝ m/s＝0.225 m/s
右侧滑块通过右侧光电门的速度为v2＝ m/s＝0.150 m/s
规定水平向右为正方向，则两滑块被弹开时左侧滑块的质量与速度的乘积m1v1＝－100×0.225 g·m/s＝－22.5 g·m/s
两滑块质量与速度的乘积的矢量和m1v1＋m2v2＝－22.5 g·m/s＋150×0.150 g·m/s＝0
说明两滑块在被弹开的过程中质量和速度的乘积之和不变。
[答案] 见解析
[跟进训练]
1．(多选)用如图装置做探究碰撞中的不变量实验，下列说法正确的是( )
A．在实验前，必须把长木板的一端垫高，使A能拖着纸带匀速下滑
B．小车速度v＝，Δx为任意两计数点间的距离
C．A、B碰撞后必须保证A、B以共同速度一起运动
D．小车A必须从紧靠打点计时器的位置无初速度释放
AC [本实验需要平衡摩擦力，故在实验前，必须把长木板的一端垫高，使A能拖着纸带匀速下滑，故A正确；小车速度v＝，Δx为两相邻计数点间的距离，故B错误；为了得出碰后的动量，必须保证A、B碰撞后以共同速度一起运动，否则碰撞后B的速度无法测得，故C正确；若要发生碰撞，小车A应具有初速度，应使小车A在手推动下开始运动，故D错误。]
动量及动量的变化量
1．动量
(1)定义：物体的质量和速度的乘积。
(2)公式：p＝mv。
(3)单位：千克米每秒，符号：kg·m/s。
(4)矢量性：方向与速度的方向相同，运算遵守平行四边形定则。
2．动量的变化量
(1)动量的变化量公式：Δp＝p2－p1＝mv2－mv1＝mΔv。
(2)矢量性：其方向与Δv的方向相同。
(3)特例：如果物体在一条直线上运动，分析计算Δp以及判断Δp的方向时，可选定一个正方向，将矢量运算转化为代数运算。
物体速度的大小不变而方向变化时，动量一定发生变化。
2022年10月30日，在2022新乡世界杯决赛中，我国运动员斩获乒乓球世界杯男单冠军，假设在某次对战中，乒乓球的来球速度大小v1＝10 m/s，运动员以v2＝15 m/s速度反向扣杀回去，乒乓球的质量m＝2.70 g。
问题1 乒乓球的来球动量大小p1为多大？乒乓球的回球动量大小p2为多大？二者的方向是什么关系？
提示：p1＝mv1＝2.70×10-2 kg·m/s，p2＝mv2＝4.05×10-2 kg·m/s，二者的方向相反。
问题2 过程中乒乓球的动量变化量Δp的大小为多大？方向如何？
提示：取v1的方向为正方向，Δp＝p2－p1＝－4.05×10-2 kg·m/s－2.70×10-2 kg·m/s＝－6.75 kg·m/s，负号说明Δp的方向与来球速度v1反向。
1．动量的性质
(1)瞬时性：通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，动量的大小可用p＝mv表示。
(2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同。
(3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关。
2．动量的变化量
(1)动量的变化量是过程量，分析计算时，要明确是物体在哪一个过程的动量变化。
(2)Δp＝p′－p是矢量式，Δp、p′、p间遵循平行四边形定则，如图所示。
(3)Δp的计算
①当p′、p在同一直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算；
②当p′、p不在同一直线上时，应依据平行四边形定则运算。
3．动量和动能的比较
比较项 动量 动能
物理意义 描述机械运动状态的物理量
定义式 p＝mv Ek＝mv2
标矢性 矢量 标量
换算关系 p＝，Ek＝
动量的理解
【典例2】 (2022·佛山一中月考)关于物体的动量，下列说法中正确的是( )
A．物体的动量越大，其惯性也越大
B．物体的速度方向改变，其动量不一定改变
C．动量相同的物体，运动方向一定相同
D．运动的物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的加速度方向
C [物体的动量是由速度和质量两个因素决定的，动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A错误；动量的方向与速度的方向相同，物体的速度方向改变，其动量一定改变，B错误；动量相同是指动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C正确；动量是矢量，它的方向与速度的方向相同，与加速度的方向不一定相同，故D错误。]
动量变化及动能变化的计算
【典例3】 羽毛球是速度最快的球类运动之一，假设羽毛球的速度为90 km/h，运动员将羽毛球以342 km/h的速度大小反向击回。设羽毛球的质量为5 g，试求：
(1)运动员击球过程中羽毛球的速度变化量和动量变化量；
(2)运动员的这次扣杀中，羽毛球的动能变化量。
[解析] (1)以羽毛球飞回的方向为正方向，则
羽毛球的初速度为v1＝－25 m/s
羽毛球的末速度为v2＝95 m/s
所以Δv＝v2－v1＝95 m/s－(－25 m/s)＝120 m/s
羽毛球的初动量为
p1＝mv1＝－5×10-3×25 kg·m/s
＝－0.125 kg·m/s
羽毛球的末动量为
p2＝mv2＝5×10-3×95 kg·m/s＝0.475 kg·m/s
所以羽毛球的动量变化量为
Δp＝p2－p1＝0.475 kg·m/s－(－0.125 kg·m/s)
＝0.600 kg·m/s
即羽毛球的速度变化量大小为120 m/s，方向与羽毛球飞回的方向相同；动量变化量大小为0.600 kg·m/s，方向与羽毛球飞回的方向相同。
(2)羽毛球的初动能：
Ek＝×5×10-3×(－25)2 J≈1.56 J
羽毛球的末动能：
Ek′＝×5×10-3×952 J≈22.56 J
所以ΔEk＝Ek′－Ek＝21 J。
[答案] (1)120 m/s，方向与羽毛球飞回方向相同 动量变化量 0.600 kg·m/s，方向与羽毛球飞回的方向相同 (2)21 J
[跟进训练]
2．(角度1)关于物体的动量，下列说法中正确的是( )
A．运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的速度方向
B．物体的动能若不变，则动量一定不变
C．动量变化量的方向一定和动量的方向相同
D．动量越大的物体，其惯性也越大
A [动量和速度都是矢量，由物体的动量p＝mv可知运动物体在任一时刻的动量的方向一定是该时刻的速度方向，故A正确；物体的动能若不变，则物体的速度大小不变，但速度方向可能改变，因此动量可能改变，故B错误；动量变化量的方向与动量的方向不一定相同，故C错误；质量是惯性大小的唯一量度，而物体的动量p＝mv，动量大小取决于质量与速度大小的乘积，因此动量大的物体惯性不一定大，故D错误。]
3．(多选)(角度2)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到变化规律如图所示的水平外力作用，下列说法正确的是( )
A．第1 s末质点的速度大小为2 m/s
B．第2 s末质点的动量大小为6 kg·m/s
C．第1 s内与第2 s内质点动量增加量之比为1∶2
D．第1 s内与第2 s内质点动能增加量之比为4∶5
BD [质点由静止开始运动，由牛顿第二定律可得，0～1 s内质点的加速度大小为a1＝ m/s2＝4 m/s2，1～2 s内质点的加速度大小为a2＝ m/s2＝2 m/s2，则第1 s末质点的速度大小为v1＝a1t1＝4×1 m/s＝4 m/s，第2 s末质点的速度大小为v2＝v1＋a2t2＝(4＋2×1) m/s＝6 m/s，因此第2 s末质点的动量大小为p＝mv2＝1×6 kg·m/s＝6 kg·m/s，选项A错误，B正确；第1 s内与第2 s内质点动量增加量之比为Δp1∶Δp2＝(mv1－0)∶(mv2－mv1)＝2∶1，选项C错误；第1 s内与第2 s内质点动能增加量之比为ΔEk1∶ΔEk2＝∶＝4∶5，选项D正确。]
1．(多选)(2022·安徽宣城高二期中)利用如图所示的装置探究碰撞中的不变量，则下列说法正确的是( )
A．悬挂两球的细绳长度要适当，且等长
B．由静止释放小球以便较准确地计算小球碰撞前的速度
C．两小球必须都是刚性球，且质量相同
D．悬挂两球的细绳的悬点可以在同一点
AB [两细绳等长能保证两球发生正碰，以减小实验误差，悬挂两球的细绳的悬点不能在同一点，A正确，D错误；计算小球碰撞前速度时用到了mgh＝，即当初速度为零时，能方便准确地计算小球碰撞前的速度，B正确；本实验中对小球是否有弹性无要求，两小球质量不一定相同，C错误。]
2．(2022·广东实验中学月考)下列运动中的物体或人，动量始终保持不变的是( )
A．绕地球匀速运行的同步卫星
B．小球碰到竖直墙壁被弹回，速度大小不变
C．用绳子拉着物体使其沿斜面做匀速直线运动
D．荡秋千的小孩(每次荡起的高度保持不变)
C [动量的表达式为p＝mv，动量是矢量，分析如下：绕地球匀速运行的同步卫星，速度大小不变，方向不断变化，所以动量改变，A错误；小球碰到竖直墙壁被弹回，速度大小不变，但方向改变，所以动量改变，B错误；用绳子拉着物体使其沿斜面做匀速直线运动，物体的速度大小和方向都不发生改变，所以动量不变，C正确；荡秋千的小孩，每次荡起的高度保持不变，在这个过程中速度大小和方向都发生周期性变化，所以动量改变，D错误。故选C。]
3．(2022·河南濮阳范县一中月考)如图所示，甲、乙两人在水平路面上沿相反方向运动。已知甲的质量为40 kg，速度大小v1＝5 m/s；乙的质量为80 kg，速度大小v2＝2.5 m/s。则以下说法正确的是( )
A．甲的动量比乙的动量大
B．甲、乙两人的动量相同
C．甲动量大小为200 kg·m/s2，方向水平向右
D．乙动量大小为200 kg·m/s，方向水平向右
D [根据公式p＝mv可知甲的动量大小为p1＝m1v1＝200 kg·m/s，方向水平向左，乙的动量大小为p2＝m2v2＝200 kg·m/s，方向水平向右，则甲、乙动量大小相等，但方向不同。选项D正确。]
4．关于“探究碰撞中的不变量”的实验，下列说法不正确的是( )
A．实验要求碰撞一般为一维碰撞
B．实验中的不变量是系统中物体各自的质量与速度的乘积之和
C．只需找到一种情境的不变量即可，结论对其他情境也同样适用
D．进行有限次实验找到的不变量，具有偶然性，结论还需要实践检验
C [该实验是在一维碰撞情况下设计的，其他非一维碰撞情况未做探究，A说法正确；系统中物体各自的质量与速度的乘积之和在碰撞前后为不变量，B说法正确；不变量应是在各种情境下都不变的量，具有普遍性，在一种情境下满足的不变量，对其他情境不一定适用，C说法错误；进行有限次实验找到的不
变量，具有偶然性，结论还需要在其他情境下进行检验，D说法正确。]
5．下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是( )
A．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同
B．两物体中动能大的物体，其动量也一定大
C．物体的速度大小不变时，动量的变化量Δp不一定为零
D．物体做曲线运动时，动量的变化量一定不为零
C [由动量p＝mv和动能Ek＝mv2可解得Ek＝，若两个物体的动量相同，而质量不同，则它们的动能不相同，A错误；两物体中动能大的物体质量可能小，由p＝知，其动量不一定大，B错误；当物体的速度大小不变、方向变化时，Δp≠0，C正确；当物体做曲线运动时，动量的变化量Δp可能为零，如做匀速圆周运动的物体运动一周时的Δp为零，D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．研究碰撞中的不变量中指的是什么不变？
提示：碰撞前后的总动量。
2．动量发生变化，动能一定变化吗？试举一例说明。
提示：不一定，如匀速圆周运动。
3．动量变化的计算一定遵循平行四边形定则吗？
提示：不一定，同一直线上可按代数运算。
动量概念的建立
最先提出动量概念的是法国科学家笛卡儿(R.Descartes，1596－1650)。他继承了伽利略的说法，把物体的大小(质量)与速率的乘积叫作动量，并认为它是量度运动的唯一正确的物理量。不过笛卡儿忽略了动量的方向性，尽管如此，他的工作还是给后人的继续探索打下了很好的基础。
1668年，惠更斯发表了一篇题为《关于碰撞对物体运动的影响》的论文，总结了他对碰撞问题在实验和理论上的研究成果。结论是：“每个物体所具有的‘动量’在碰撞时可以增多或减少，但是它们的量值在同一个方向的总和却保持不变。”他在这里明确指出了动量的方向性和守恒性。
后来，牛顿把笛卡儿的定义略做修改，不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就得到一个合适的量度运动的物理量。牛顿把这个量叫作运动量，现在叫作动量。
科学先驱们就是在追寻不变量的努力中，才逐渐建立起动量的概念。1．动量
1．了解生产生活中的各种碰撞现象。
2．经历寻求碰撞中不变量的过程，体会探究过程中猜想、推理和证据的重要性。
3．知道动量概念及其单位，会计算动量的变化量。
4．认识动量是描述物体运动状态的物理量，深化运动与相互作用的观念。
寻求碰撞中的不变量
实验探究(一) 质量不同小球的碰撞
如图所示，质量大的C球与质量小的B球碰撞后，质量小的B球得到的速度比质量大的C球碰撞前的速度________，两球碰撞前后的________之和并不相等。
实验探究(二) 气垫导轨上小车的碰撞
(1)实验装置。
(2)实验原理。
两辆小车都放在滑轨上，用一辆运动的小车碰撞一辆________的小车，碰撞后两辆小车粘在一起运动。小车的速度用滑轨上的____________测量。
(3)记录并处理数据。
m1是运动小车的质量，m2是静止小车的质量，v是运动小车碰撞前的速度，v′是碰撞后两辆小车粘在一起的共同速度。
次数 m1/kg m2/kg v/(m·s-1) v′/(m·s-1)
1 0.519 0.519 0.628 0.307
2 0.519 0.718 0.656 0.265
3 0.718 0.519 0.572 0.321
(4)实验结论。
碰撞前后两车质量与速度的乘积之和________。
在各种碰撞情况下都不改变的量，才是我们寻求的“不变量”。
2022年2月4日，第24届冬奥会在“北京—张家口”联合举办。冰壶运动是冬奥会的比赛项目之一。猜想一下两冰壶碰撞过程中的不变量可能是什么？
问题1 你能寻找出两冰壶碰撞过程中的不变量吗？
问题2 生活中发生的碰撞几乎都不是一维碰撞，一维碰撞是理想化模型吗？
问题3 碰撞可能有哪些形式？
寻找碰撞中的不变量
1．实验条件的保证
保证两个物体发生的碰撞是一维碰撞，即两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿同一直线运动。可用斜槽、气垫导轨等控制物体的运动。
2．实验数据的测量
(1)质量的测量——由天平测出。
(2)速度的测量——①光电门测速；②单摆测速；③打点计时器测速；④频闪照片测速；⑤平抛测速等。
3．误差来源的分析
(1)系统误差。
主要来源于装置本身是否符合要求，如气垫导轨是否水平，两球是否等大，长木板倾角是否合适等。
(2)偶然误差。
主要来源于质量m和速度v的测量和读数，实验中要规范测量和读数，尽量减小实验误差。
【典例1】 (2022·重庆南开中学期末)某同学利用气垫导轨做“寻求碰撞中的不变量”的实验，实验装置如图所示，所用的装置由气垫导轨、滑块、弹射架、光电门等组成。
实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③接通光电门电源；
④两滑块之间有一压缩的弹簧，并用细线连在一起(图中未画出)，开始时两滑块放在气垫导轨中央；
⑤烧断细线后，两滑块被弹簧弹开，分别向左、向右运动。左侧滑块通过左侧光电门，记录的遮光时间为0.040 s，右侧滑块通过右侧光电门，记录的遮光时间为0.060 s；
⑥测出遮光片的宽度d＝9 mm，测得左侧滑块的质量为100 g，右侧滑块的质量为150 g。
(1)实验中气垫导轨的作用：
a．_________________________________________________________；
b．_________________________________________________________。
(2)规定水平向右为正方向，则两滑块被弹开时左侧滑块的质量与速度的乘积m1v1＝________g·m/s，两滑块质量与速度的乘积的矢量和m1v1＋m2v2＝________g·m/s，说明两滑块在被弹开的过程中________不变。
[听课记录]
[跟进训练]
1．(多选)用如图装置做探究碰撞中的不变量实验，下列说法正确的是( )
A．在实验前，必须把长木板的一端垫高，使A能拖着纸带匀速下滑
B．小车速度v＝，Δx为任意两计数点间的距离
C．A、B碰撞后必须保证A、B以共同速度一起运动
D．小车A必须从紧靠打点计时器的位置无初速度释放
动量及动量的变化量
1．动量
(1)定义：物体的________和________的乘积。
(2)公式：p＝________。
(3)单位：____________，符号：________。
(4)矢量性：方向与________的方向相同，运算遵守____________定则。
2．动量的变化量
(1)动量的变化量公式：Δp＝p2－p1＝________＝________。
(2)矢量性：其方向与________的方向相同。
(3)特例：如果物体在一条直线上运动，分析计算Δp以及判断Δp的方向时，可选定一个正方向，将________运算转化为________运算。
物体速度的大小不变而方向变化时，动量一定发生变化。
2022年10月30日，在2022新乡世界杯决赛中，我国运动员斩获乒乓球世界杯男单冠军，假设在某次对战中，乒乓球的来球速度大小v1＝10 m/s，运动员以v2＝15 m/s速度反向扣杀回去，乒乓球的质量m＝2.70 g。
问题1 乒乓球的来球动量大小p1为多大？乒乓球的回球动量大小p2为多大？二者的方向是什么关系？
问题2 过程中乒乓球的动量变化量Δp的大小为多大？方向如何？
1．动量的性质
(1)瞬时性：通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，动量的大小可用p＝mv表示。
(2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同。
(3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关。
2．动量的变化量
(1)动量的变化量是过程量，分析计算时，要明确是物体在哪一个过程的动量变化。
(2)Δp＝p′－p是矢量式，Δp、p′、p间遵循平行四边形定则，如图所示。
(3)Δp的计算
①当p′、p在同一直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算；
②当p′、p不在同一直线上时，应依据平行四边形定则运算。
3．动量和动能的比较
比较项 动量 动能
物理意义 描述机械运动状态的物理量
定义式 p＝mv Ek＝mv2
标矢性 矢量 标量
换算关系 p＝，Ek＝
动量的理解
【典例2】 (2022·佛山一中月考)关于物体的动量，下列说法中正确的是( )
A．物体的动量越大，其惯性也越大
B．物体的速度方向改变，其动量不一定改变
C．动量相同的物体，运动方向一定相同
D．运动的物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的加速度方向
[听课记录]
动量变化及动能变化的计算
【典例3】 羽毛球是速度最快的球类运动之一，假设羽毛球的速度为90 km/h，运动员将羽毛球以342 km/h的速度大小反向击回。设羽毛球的质量为5 g，试求：
(1)运动员击球过程中羽毛球的速度变化量和动量变化量；
(2)运动员的这次扣杀中，羽毛球的动能变化量。
[听课记录]
[跟进训练]
2．(角度1)关于物体的动量，下列说法中正确的是( )
A．运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的速度方向
B．物体的动能若不变，则动量一定不变
C．动量变化量的方向一定和动量的方向相同
D．动量越大的物体，其惯性也越大
3．(多选)(角度2)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到变化规律如图所示的水平外力作用，下列说法正确的是( )
A．第1 s末质点的速度大小为2 m/s
B．第2 s末质点的动量大小为6 kg·m/s
C．第1 s内与第2 s内质点动量增加量之比为1∶2
D．第1 s内与第2 s内质点动能增加量之比为4∶5
1．(多选)(2022·安徽宣城高二期中)利用如图所示的装置探究碰撞中的不变量，则下列说法正确的是( )
A．悬挂两球的细绳长度要适当，且等长
B．由静止释放小球以便较准确地计算小球碰撞前的速度
C．两小球必须都是刚性球，且质量相同
D．悬挂两球的细绳的悬点可以在同一点
2．(2022·广东实验中学月考)下列运动中的物体或人，动量始终保持不变的是( )
A．绕地球匀速运行的同步卫星
B．小球碰到竖直墙壁被弹回，速度大小不变
C．用绳子拉着物体使其沿斜面做匀速直线运动
D．荡秋千的小孩(每次荡起的高度保持不变)
3．(2022·河南濮阳范县一中月考)如图所示，甲、乙两人在水平路面上沿相反方向运动。已知甲的质量为40 kg，速度大小v1＝5 m/s；乙的质量为80 kg，速度大小v2＝2.5 m/s。则以下说法正确的是 ( )
A．甲的动量比乙的动量大
B．甲、乙两人的动量相同
C．甲动量大小为200 kg·m/s2，方向水平向右
D．乙动量大小为200 kg·m/s，方向水平向右
4．关于“探究碰撞中的不变量”的实验，下列说法不正确的是( )
A．实验要求碰撞一般为一维碰撞
B．实验中的不变量是系统中物体各自的质量与速度的乘积之和
C．只需找到一种情境的不变量即可，结论对其他情境也同样适用
D．进行有限次实验找到的不变量，具有偶然性，结论还需要实践检验
5．下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是( )
A．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同
B．两物体中动能大的物体，其动量也一定大
C．物体的速度大小不变时，动量的变化量Δp不一定为零
D．物体做曲线运动时，动量的变化量一定不为零
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．研究碰撞中的不变量中指的是什么不变？
2．动量发生变化，动能一定变化吗？试举一例说明。
3．动量变化的计算一定遵循平行四边形定则吗？
动量概念的建立
最先提出动量概念的是法国科学家笛卡儿(R.Descartes，1596－1650)。他继承了伽利略的说法，把物体的大小(质量)与速率的乘积叫作动量，并认为它是量度运动的唯一正确的物理量。不过笛卡儿忽略了动量的方向性，尽管如此，他的工作还是给后人的继续探索打下了很好的基础。
1668年，惠更斯发表了一篇题为《关于碰撞对物体运动的影响》的论文，总结了他对碰撞问题在实验和理论上的研究成果。结论是：“每个物体所具有的‘动量’在碰撞时可以增多或减少，但是它们的量值在同一个方向的总和却保持不变。”他在这里明确指出了动量的方向性和守恒性。
后来，牛顿把笛卡儿的定义略做修改，不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就得到一个合适的量度运动的物理量。牛顿把这个量叫作运动量，现在叫作动量。
科学先驱们就是在追寻不变量的努力中，才逐渐建立起动量的概念。2．动量定理
1．能在恒力情况下进行理论推导，得出动量定理及其表达式。
2．知道冲量概念，知道动量定理及其表达式的物理意义。
3．知道动量定理适用于变力情况，领会求解变力冲量时的极限思想。
4．会用动量定理解释生活生产中的相关现象和解决实际问题。
冲量
1．定义 力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。
2．公式 I＝FΔt。
3．单位 牛秒，符号是N·s。
4．矢量性 力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同。
5．物理意义 反映力的作用对时间的累积效应。
动量和冲量的单位从表面上看不相同，但其实是一样的，由牛顿第二定律F＝ma知，1 N＝1 kg·m/s2，故1 N·s＝1 kg·m/s2·s＝1 kg·m/s。
如图甲所示，让两只鸡蛋从相同高处自由落下，分别落在海绵垫上和塑料盘中，用力传感器记录弹力随时间的变化关系，发现F t图线与坐标轴围成的图形的面积近似相等。
问题1 这个面积表示什么？
提示：力对时间的累积效果。
问题2 在碰撞过程中延长作用时间，作用力如何变化？
提示：作用力将变小。
1．冲量的特点
(1)冲量是过程量：冲量描述的是力对时间的累积效果，是一个过程量。研究冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量。
(2)冲量是矢量：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内动量的变化量的方向一致。
2．冲量的计算
(1)恒力冲量的计算。
恒力的冲量直接用公式I＝FΔt计算。
(2)变力冲量的计算。
①“平均力”法求变力的冲量：如图甲所示，力与时间成线性关系时，则I＝Δt＝(t2－t1)。
②“面积”法求变力的冲量：在F t图像中，图线与t轴所围的面积等于对应时间内力的冲量。图甲、乙中阴影部分的面积即为t1～t2时间内变力的冲量。
③利用动量定理求解，即I＝Δp。
(3)合冲量的计算。
①可分别求每一个力的冲量I1，I2，I3，…，再求各冲量的矢量和；
②如果各个力(均为恒力)的作用时间相同，可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。
【典例1】 如图所示的是某种儿童滑梯，其中间的滑道长度为2.2 m，假设可以看成倾角α＝37°的斜面，有一质量为15 kg的儿童沿中间滑道从顶端由静止滑下，该儿童与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，求滑下中间滑道的过程中，该儿童所受各力的冲量和合力的冲量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[思路点拨] (1)应用牛顿第二定律及位移公式求出儿童的下滑时间；
(2)应用公式I＝Ft计算儿童所受各力的冲量和合力的冲量。
[解析] 对儿童受力分析可知，下滑过程受重力、支持力及摩擦力的作用，由牛顿第二定律得
mg sin α－μmg cos α＝ma
又L＝at2
解得儿童的下滑时间t＝1 s
故重力的冲量I1＝mgt＝150×1 N·s＝150 N·s，方向竖直向下。
支持力的冲量I2＝mg cos α·t＝150×0.8×1 N·s＝120 N·s，方向垂直于滑道向上。
摩擦力的冲量I3＝μmg cos α·t＝0.2×150×0.8×1 N·s＝24 N·s，方向沿着滑道向上。
物体受到的合力F合＝mg sin α－μmg cos α＝150×0.6 N－24 N＝66 N；
故合力的冲量I＝F合t＝66×1 N·s＝66 N·s，方向沿着滑道向下。
[答案] 见解析
计算冲量的两点注意事项
(1)求冲量时，一定要注意是求解哪个力在哪一段时间内对哪个物体的冲量。
(2)求单个力的冲量或合力的冲量时，首先判断是否是恒力，若是恒力，可直接应用公式I＝FΔt计算；若是变力，要根据力的特点求解，或者利用动量定理求解。
[跟进训练]
1．(2022·河北唐山调研)关于力的冲量，下列说法正确的是( )
A．力越大，力的冲量就越大
B．一对作用力与反作用力的冲量一定大小相等、方向相反
C．冲量是矢量，冲量的方向一定与力的方向相同
D．F1与作用时间t1的乘积大小等于F2与作用时间t2的乘积大小，则这两个冲量一定相同
B [冲量是力对时间的累积效果，其大小等于力与力的作用时间的乘积，力大冲量不一定大，其大小还与力的作用时间有关，A错误；一对作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、同时产生、同时消失，因此一对作用力与反作用力的冲量总是大小相等、方向相反，B正确；冲量是矢量，在作用时间内力的方向不变时冲量的方向与力的方向相同，在作用时间内力的方向变化时冲量的方向与力的方向不一定相同，C错误；冲量是矢量，两个矢量相同必须满足大小相等、方向相同，故D错误。]
2．(多选)(2022·浙江宁波期末)如图所示，AB为固定的光滑圆弧轨道，O为圆心，AO水平，BO竖直，轨道半径为R，将质量为m的小球(可视为质点)从A点由静止释放，在小球从A点运动到B点的过程中，小球( )
A．所受合力的冲量水平向右
B．所受支持力的冲量水平向右
C．所受合力的冲量大小为m
D．所受重力的冲量大小为0
AC [小球从A到B的过程中，做圆周运动，在B点时的速度方向沿切线方向，水平向右，从A到B，根据动能定理得mgR＝mv2－0，解得小球在B点的速度v＝，方向水平向右，根据动量定理得I合＝Δp＝mv＝m，方向水平向右，选项A、C正确；重力是恒力，小球从A到B，重力和时间都不为0，因此重力的冲量大小不为0，选项D错误；小球从A到B，合力的冲量水平向右，重力的冲量竖直向下，根据矢量合成的平行四边形定则可知支持力的冲量不可能水平向右，选项B错误。]
动量定理
1．内容 物体在一过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。
2．公式 I＝p′－p＝mv′－mv。
3．牛顿第二定律的另一种表述 物体所受合力等于物体动量的变化率，即F＝。
如图所示，一个质量为m的物体，在动摩擦因数为μ的水平面上运动，受到一个与运动方向相同的恒力F作用，经过时间t，速度由v增加到v′。
问题1 在时间t内拉力F的冲量和合外力的冲量各是多大？
提示：Ft (F－μmg)t
问题2 在此过程中，物体动量的变化量是多大？
提示：mv′－mv
问题3 恒力F的冲量与物体动量的变化量相等吗？
提示：不相等。合外力的冲量(F－μmg)t与动量的变化量才相等。
1．对动量定理的理解
(1)物理意义：合外力的冲量是动量变化的原因。
(2)矢量性：合外力的冲量方向与物体动量变化量方向相同。
(3)相等性：物体在时间Δt内所受合外力的冲量等于物体在这段时间Δt内动量的变化量。
(4)独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量。
(5)适用范围。
①动量定理不仅适用于恒力，而且适用于随时间而变化的力。
②对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值。
③不仅适用于单个物体，而且也适用于物体系统。
2．动量定理的应用
(1)用动量定理解释现象。
①物体的动量变化一定，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。
②作用力一定，此时力的作用时间越长，物体的动量变化越大；力的作用时间越短，物体的动量变化越小。
(2)应用I＝Δp求变力的冲量。
(3)应用Δp＝F·Δt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化量。
动量定理的定性应用
【典例2】 (2022·北京海淀期中)安全气囊是汽车安全保障的重要设施，它与座椅安全带配合使用，可以为乘员提供有效的防撞保护，在汽车相撞时，汽车安全气囊可使头部受伤率减少25%，面部受伤率减少80%左右。若某次汽车安全测试中，汽车发生剧烈碰撞时，安全气囊未打开与安全气囊顺利打开相比，下列说法正确的是(设每次测试汽车速度相同)( )
A．安全气囊未打开时，模拟乘员的动量变化量大
B．安全气囊打开时，模拟乘员受到的撞击力小
C．安全气囊未打开时，模拟乘员受到撞击力的冲量大
D．安全气囊打开时，模拟乘员的动量变化快
B [无论安全气囊是否打开，模拟乘员的初、末动量不变，动量变化量不变，根据I＝Δp，可知受到撞击力的冲量不变，故A、C错误；安全气囊打开时，模拟乘员速度变化的时间增加，而动量变化量不变，则模拟乘员的动量变化慢，根据Ft＝Δp，可知模拟乘员受到的撞击力小，故B正确，D错误。故选B。]
应用动量定理定性分析有关现象的方法
根据动量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
①Δp一定，Δt短则F大，Δt长则F小；
②F一定，Δt短则Δp小，Δt长则Δp大；
③Δt一定，F小则Δp小，F大则Δp大。
动量定理的定量计算
【典例3】 (2022·山东东营广饶一中高二月考)一高空作业的工人重为600 N，系一条长L＝5 m的安全带(质量不计)，若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t＝1 s(工人最终悬挂在空中)，求缓冲过程中安全带受到的平均冲力。(g取10 m/s2，忽略空气阻力的影响)
[思路点拨] 本题求缓冲过程中安全带受到的平均冲力，分析清楚工人的运动过程，应用匀变速直线运动规律和动量定理即可解题；应用动量定理解题时要注意规定正方向。
[解析] 方法一：分段列式法
设工人刚要拉紧安全带时的速度为v1，由＝2gL，得v1＝，经缓冲时间t＝1 s后工人的速度变为零，取向下为正方向，对工人分析，工人受两个力作用，即拉力F和重力G＝mg。由动量定理得(G－F)t＝0－mv1，代入数据解得F＝1 200 N，由牛顿第三定律知，工人对安全带的平均冲力F′＝F＝1 200 N，方向竖直向下。
方法二：全程列式法
在整个下落过程中，对工人应用动量定理，得重力的冲量大小为I＝G，拉力F的冲量大小为Ft。工人的初、末动量均为零，取向下为正方向，由动量定理得－Ft＝0，解得F＝1 200 N，由牛顿第三定律知，工人对安全带的平均冲力F′＝F＝1 200 N，方向竖直向下。
[答案] 1 200 N，方向竖直向下
应用动量定理求解问题的三点提醒
(1)若物体在运动过程中所受的力不是同时的，可分阶段对物体进行受力分析求解，也可对全过程进行受力分析求解。
(2)在用动量定理解题时，一定要认真进行受力分析，不可有遗漏。
(3)列方程时一定要先选定正方向，将矢量运算转化为代数运算。
应用动量定理处理“流体类”问题
【典例4】 (2022·江苏苏州月考)高速水流切割是一种高科技工艺加工技术，为完成飞机制造中的高难度加工特制了一台高速水流切割机器人，该机器人的喷嘴横截面积为10-7m2，喷嘴射出的水流速度为103 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，设水流射到工件上后速度立即变为零。则该高速水流在工件上产生的压力大小为( )
A．1 000 N B．100 N C．10 N D．1 N
[思路点拨] 本题考查动量定理的应用，根据题意可明确单位时间内喷到工件上的水的质量，再由动量定理可求得高速水流在工件上产生的压力。要注意明确单位时间内喷到工件上水的质量的求解方法，注意动量定理中的方向性。
B [单位时间内喷到工件上的水的体积V0＝Svt，故质量m＝ρV0＝ρSvt，设水的初速度方向为正方向，则由动量定理可得Ft＝0－mv，解得F＝－100 N，根据牛顿第三定律，高速水流在工件上产生的压力大小为100 N，方向沿水流的方向；故B正确，A、C、D错误，故选B。]
连续流体类问题模型特点及求解思路
流体及其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，特点是质量具有连续性，题目中通常给出密度ρ作为已知条件
分析 步骤 1 建立“柱体”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2 用微元法研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρV＝ρSΔl＝ρSvΔt
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱形流体
[跟进训练]
3．(2022·湖北部分名校高二联考)杂技演员做高空表演时，为了安全，常在演员下面挂一张很大的安全网，当演员出现失误从高处掉下落在安全网上时，与落在相同高度的地面上相比较，下列说法正确的是( )
A．演员落在安全网上，受到的平均冲击力较小
B．演员落在安全网上，速度减小得更快
C．演员落在地面上，地面对演员做的功更多
D．演员落在地面上，受到地面的冲量更大
A [演员落在网上时的速度与落在相同高度的地面上时的速度相等，故演员落在网上时的动量和落在地面上时的动量相等，因动量的变化量相同，而减速时间延长，由动量定理Δp＝Ft可知，演员落在网上受到的网的平均作用力较小，选项A正确；演员落在网上时由于网的缓冲，减速时间延长，故速度变化较慢，选项B错误；由于演员在地面上和落在网上初、末动能均相同，故由动能定理可得，地面和网对演员做的功一样多，选项C错误；演员落在网上时的动量和落在地面上时的动量相等，末动量均变为0，则动量变化相等，由动量定理I＝p′－p可知，受到的冲量一样大，选项D错误。]
4．(2022·湖北沙市中学期中)人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，所以经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为150 g，从离人眼20 cm的高度无初速度掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间为0.1 s，取重力加速度g＝10 m/s2，则手机与眼睛作用过程中，下列分析正确的是( )
A．手机的动量变化量为0.45 kg·m/s
B．手机对眼睛的冲量大小为0.15 N·s
C．手机对眼睛的冲量大小为0.3 N·s
D．手机对眼睛的作用力大小为4.5 N
D [由题意可知手机下落高度h＝20 cm＝0.20 m，手机质量m＝150 g＝0.15 kg，则手机砸到眼睛瞬间的速度为v＝＝2 m/s，手机与眼睛作用后手机的速度变成0，选取竖直向下为正方向，所以手机与眼睛作用过程中，手机的动量变化量为Δp＝0－mv＝－0.30 kg·m/s，故A错误；手机与眼睛接触的过程中受到重力与眼睛的作用力，选取竖直向下为正方向，则mgt－I＝Δp，代入数据解得眼睛对手机的冲量大小为I＝0.45 N·s，所以手机对眼睛的冲量大小I′为0.45 N·s，故B、C错误；由冲量的定义得手机对眼睛的作用力大小为F＝ N＝4.5 N，故D正确。]
5．2021年7月4日，神舟十二号上的航天员刘伯明、汤洪波从空间站天和核心舱节点舱成功出舱，身上穿着我国自主研制的“飞天”舱外航天服，航天服内置微型喷气发动机和操纵系统，相当于微型载人航天器。假设未来有一天，航天员登陆月球，在月球表面悬停，已知航天服连同航天员和装备的总质量为m，喷气口的横截面积为S，气体的密度为ρ，且气体喷出前的速度为零，月球的质量为M，月球的半径为R，引力常量为G。要使航天员能在月球表面悬停，则单位时间内喷射的气体的质量为(不计气体喷出引起的质量变化)( )
A． B．
C． D．
D [设单位时间内喷出气体的质量为Δm，则Δm＝ρV＝ρSvt＝ρSv，喷出的气体的速度v＝。设气体对航天员的作用力为F，悬停在空中时航天员处于平衡状态，由平衡条件得F＝mg＝G，对喷出的气体，由动量定理得Ft＝Δmv－0，解得Δm＝，选项D正确。]
1．(2022·北京中央民族大学附中高二月考)下面关于冲量的说法正确的是( )
A．物体受到很大的冲力时，其冲量一定很大
B．当力与位移垂直时，该力的冲量为零
C．不管物体做什么运动，在相同时间内重力的冲量相同
D．只要力的大小恒定，其相同时间内的冲量就恒定
C [冲量是力与时间的乘积，力大冲量不一定大，A错误；当力与位移垂直时，只要力作用一段时间，该力的冲量就不为零，B错误；重力和作用时间均相同，则重力的冲量相同，与物体的运动状态无关，C正确；力的大小恒定，但方向却不一定相同，其相同时间内的冲量不一定相同，D错误。]
2．(2022·北京丰台期末)篮球运动深受同学们喜爱。打篮球时，某同学伸出双手接传来的篮球，双手随篮球迅速收缩至胸前，如图所示。他这样做的目的是( )
A．减小篮球对手的冲击力
B．减小篮球的动量变化量
C．减小篮球的动能变化量
D．减小篮球对手的冲量
A [接球的过程中，球的速度最终减小为零，速度变化量一定，因此篮球的动量变化量一定，动能变化量一定，B、C错误；手接触到球后，双手随球迅速收缩至胸前，这样可以增加球与手接触的时间，根据动量定理FΔt＝Δp可知，在篮球的动量变化量不变的情况下，篮球对手的冲量不变，当篮球与手接触的时间增大时，篮球对手的冲击力减小，选项A正确，D错误。]
3．(2022·山东烟台二中高二月考)质量为1 kg的物体做直线运动，其速度－时间图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是( )
A．10 N·s，10 N·s
B．10 N·s，－10 N·s
C．0，10 N·s
D．0，－10 N·s
D [由题图图像可知，在前10 s内物体的初、末状态的动量相等，p1＝p2＝5 kg·m/s，由动量定理知I1＝0；在后10 s内物体的末动量p3＝－5 kg·m/s，I2＝p3－p2＝－10 N·s，故选D。]
4．北京冬奥会于2022年2月4日至20日举办，跳台滑雪是其中极具观赏性的项目之一，某滑道示意图如图，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝15 m，C为圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。重力加速度g取10 m/s2，不计一切摩擦。
(1)求在长直助滑道AB段运动员所受重力的冲量大小；
(2)求运动员在AC段所受合外力的冲量I的大小。
[解析] (1)A到B的过程中，运动员做匀加速直线运动，
由vB＝v0＋at可得由A点到B点所用的时间为
t＝ s＝6 s
则重力的冲量为IG＝mgt＝3 600 N·s。
(2)B到C的过程中，根据动能定理
mgh＝
得到达C点的速度为：
vC＝ m/s＝20 m/s
运动员在AC段所受合外力的冲量
I＝mvC－0＝1 200 N·s。
[答案] (1)3 600 N·s (2)1 200 N·s
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．请思考冲量和功的不同。
提示：(1)冲量是矢量、功是标量；冲量改变物体的动量，功改变物体的动能。
(2)某个力在一段时间内，做的功可以为零，但冲量不一定为零。
(3)一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，正负号一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，正负号也不一定相反。
2．由动量定理可知物体所受合力的冲量等于动量的变化量。某同学得出冲量和动量的单位可以通用，这种说法正确吗？
提示：不正确。两者的物理意义不同。
3．在船舷和码头悬挂一些具有弹性的物体(如旧轮胎)是为了减小冲量吗？
提示：不是。可以延长作用时间，减小船受到的撞击力。2．动量定理
1．能在恒力情况下进行理论推导，得出动量定理及其表达式。
2．知道冲量概念，知道动量定理及其表达式的物理意义。
3．知道动量定理适用于变力情况，领会求解变力冲量时的极限思想。
4．会用动量定理解释生活生产中的相关现象和解决实际问题。
冲量
1．定义 力与力的________的乘积叫作力的冲量。
2．公式 I＝________。
3．单位 ________，符号是________。
4．矢量性 力的方向不变时，冲量的方向与________相同。
5．物理意义 反映力的作用对________的累积效应。
动量和冲量的单位从表面上看不相同，但其实是一样的，由牛顿第二定律F＝ma知，1 N＝1 kg·m/s2，故1 N·s＝1 kg·m/s2·s＝1 kg·m/s。
如图甲所示，让两只鸡蛋从相同高处自由落下，分别落在海绵垫上和塑料盘中，用力传感器记录弹力随时间的变化关系，发现F t图线与坐标轴围成的图形的面积近似相等。
问题1 这个面积表示什么？
问题2 在碰撞过程中延长作用时间，作用力如何变化？
1．冲量的特点
(1)冲量是过程量：冲量描述的是力对时间的累积效果，是一个过程量。研究冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量。
(2)冲量是矢量：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内动量的变化量的方向一致。
2．冲量的计算
(1)恒力冲量的计算。
恒力的冲量直接用公式I＝FΔt计算。
(2)变力冲量的计算。
①“平均力”法求变力的冲量：如图甲所示，力与时间成线性关系时，则I＝Δt＝(t2－t1)。
②“面积”法求变力的冲量：在F t图像中，图线与t轴所围的面积等于对应时间内力的冲量。图甲、乙中阴影部分的面积即为t1～t2时间内变力的冲量。
③利用动量定理求解，即I＝Δp。
(3)合冲量的计算。
①可分别求每一个力的冲量I1，I2，I3，…，再求各冲量的矢量和；
②如果各个力(均为恒力)的作用时间相同，可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。
【典例1】 如图所示的是某种儿童滑梯，其中间的滑道长度为2.2 m，假设可以看成倾角α＝37°的斜面，有一质量为15 kg的儿童沿中间滑道从顶端由静止滑下，该儿童与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，求滑下中间滑道的过程中，该儿童所受各力的冲量和合力的冲量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[思路点拨] (1)应用牛顿第二定律及位移公式求出儿童的下滑时间；
(2)应用公式I＝Ft计算儿童所受各力的冲量和合力的冲量。
[听课记录]
计算冲量的两点注意事项
(1)求冲量时，一定要注意是求解哪个力在哪一段时间内对哪个物体的冲量。
(2)求单个力的冲量或合力的冲量时，首先判断是否是恒力，若是恒力，可直接应用公式I＝FΔt计算；若是变力，要根据力的特点求解，或者利用动量定理求解。
[跟进训练]
1．(2022·河北唐山调研)关于力的冲量，下列说法正确的是( )
A．力越大，力的冲量就越大
B．一对作用力与反作用力的冲量一定大小相等、方向相反
C．冲量是矢量，冲量的方向一定与力的方向相同
D．F1与作用时间t1的乘积大小等于F2与作用时间t2的乘积大小，则这两个冲量一定相同
2．(多选)(2022·浙江宁波期末)如图所示，AB为固定的光滑圆弧轨道，O为圆心，AO水平，BO竖直，轨道半径为R，将质量为m的小球(可视为质点)从A点由静止释放，在小球从A点运动到B点的过程中，小球( )
A．所受合力的冲量水平向右
B．所受支持力的冲量水平向右
C．所受合力的冲量大小为m
D．所受重力的冲量大小为0
动量定理
1．内容 物体在一过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的____________。
2．公式 I＝p′－p＝____________。
3．牛顿第二定律的另一种表述 物体所受合力等于物体__________，即F＝。
如图所示，一个质量为m的物体，在动摩擦因数为μ的水平面上运动，受到一个与运动方向相同的恒力F作用，经过时间t，速度由v增加到v′。
问题1 在时间t内拉力F的冲量和合外力的冲量各是多大？
问题2 在此过程中，物体动量的变化量是多大？
问题3 恒力F的冲量与物体动量的变化量相等吗？
1．对动量定理的理解
(1)物理意义：合外力的冲量是动量变化的原因。
(2)矢量性：合外力的冲量方向与物体动量变化量方向相同。
(3)相等性：物体在时间Δt内所受合外力的冲量等于物体在这段时间Δt内动量的变化量。
(4)独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量。
(5)适用范围。
①动量定理不仅适用于恒力，而且适用于随时间而变化的力。
②对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值。
③不仅适用于单个物体，而且也适用于物体系统。
2．动量定理的应用
(1)用动量定理解释现象。
①物体的动量变化一定，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。
②作用力一定，此时力的作用时间越长，物体的动量变化越大；力的作用时间越短，物体的动量变化越小。
(2)应用I＝Δp求变力的冲量。
(3)应用Δp＝F·Δt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化量。
动量定理的定性应用
【典例2】 (2022·北京海淀期中)安全气囊是汽车安全保障的重要设施，它与座椅安全带配合使用，可以为乘员提供有效的防撞保护，在汽车相撞时，汽车安全气囊可使头部受伤率减少25%，面部受伤率减少80%左右。若某次汽车安全测试中，汽车发生剧烈碰撞时，安全气囊未打开与安全气囊顺利打开相比，下列说法正确的是(设每次测试汽车速度相同)( )
A．安全气囊未打开时，模拟乘员的动量变化量大
B．安全气囊打开时，模拟乘员受到的撞击力小
C．安全气囊未打开时，模拟乘员受到撞击力的冲量大
D．安全气囊打开时，模拟乘员的动量变化快
[听课记录]
应用动量定理定性分析有关现象的方法
根据动量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
①Δp一定，Δt短则F大，Δt长则F小；
②F一定，Δt短则Δp小，Δt长则Δp大；
③Δt一定，F小则Δp小，F大则Δp大。
动量定理的定量计算
【典例3】 (2022·山东东营广饶一中高二月考)一高空作业的工人重为600 N，系一条长L＝5 m的安全带(质量不计)，若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t＝1 s(工人最终悬挂在空中)，求缓冲过程中安全带受到的平均冲力。(g取10 m/s2，忽略空气阻力的影响)
[思路点拨] 本题求缓冲过程中安全带受到的平均冲力，分析清楚工人的运动过程，应用匀变速直线运动规律和动量定理即可解题；应用动量定理解题时要注意规定正方向。
[听课记录]
应用动量定理求解问题的三点提醒
(1)若物体在运动过程中所受的力不是同时的，可分阶段对物体进行受力分析求解，也可对全过程进行受力分析求解。
(2)在用动量定理解题时，一定要认真进行受力分析，不可有遗漏。
(3)列方程时一定要先选定正方向，将矢量运算转化为代数运算。
应用动量定理处理“流体类”问题
【典例4】 (2022·江苏苏州月考)高速水流切割是一种高科技工艺加工技术，为完成飞机制造中的高难度加工特制了一台高速水流切割机器人，该机器人的喷嘴横截面积为10-7m2，喷嘴射出的水流速度为103 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，设水流射到工件上后速度立即变为零。则该高速水流在工件上产生的压力大小为( )
A．1 000 N B．100 N
C．10 N D．1 N
[思路点拨] 本题考查动量定理的应用，根据题意可明确单位时间内喷到工件上的水的质量，再由动量定理可求得高速水流在工件上产生的压力。要注意明确单位时间内喷到工件上水的质量的求解方法，注意动量定理中的方向性。
[听课记录]
连续流体类问题模型特点及求解思路
流体及其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，特点是质量具有连续性，题目中通常给出密度ρ作为已知条件
分析 步骤 1 建立“柱体”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2 用微元法研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρV＝ρSΔl＝ρSvΔt
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱形流体
[跟进训练]
3．(2022·湖北部分名校高二联考)杂技演员做高空表演时，为了安全，常在演员下面挂一张很大的安全网，当演员出现失误从高处掉下落在安全网上时，与落在相同高度的地面上相比较，下列说法正确的是( )
A．演员落在安全网上，受到的平均冲击力较小
B．演员落在安全网上，速度减小得更快
C．演员落在地面上，地面对演员做的功更多
D．演员落在地面上，受到地面的冲量更大
4．(2022·湖北沙市中学期中)人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，所以经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为150 g，从离人眼20 cm的高度无初速度掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间为0.1 s，取重力加速度g＝10 m/s2，则手机与眼睛作用过程中，下列分析正确的是( )
A．手机的动量变化量为0.45 kg·m/s
B．手机对眼睛的冲量大小为0.15 N·s
C．手机对眼睛的冲量大小为0.3 N·s
D．手机对眼睛的作用力大小为4.5 N
5．2021年7月4日，神舟十二号上的航天员刘伯明、汤洪波从空间站天和核心舱节点舱成功出舱，身上穿着我国自主研制的“飞天”舱外航天服，航天服内置微型喷气发动机和操纵系统，相当于微型载人航天器。假设未来有一天，航天员登陆月球，在月球表面悬停，已知航天服连同航天员和装备的总质量为m，喷气口的横截面积为S，气体的密度为ρ，且气体喷出前的速度为零，月球的质量为M，月球的半径为R，引力常量为G。要使航天员能在月球表面悬停，则单位时间内喷射的气体的质量为(不计气体喷出引起的质量变化)( )
A． B．
C． D．
1．(2022·北京中央民族大学附中高二月考)下面关于冲量的说法正确的是( )
A．物体受到很大的冲力时，其冲量一定很大
B．当力与位移垂直时，该力的冲量为零
C．不管物体做什么运动，在相同时间内重力的冲量相同
D．只要力的大小恒定，其相同时间内的冲量就恒定
2．(2022·北京丰台期末)篮球运动深受同学们喜爱。打篮球时，某同学伸出双手接传来的篮球，双手随篮球迅速收缩至胸前，如图所示。他这样做的目的是( )
A．减小篮球对手的冲击力
B．减小篮球的动量变化量
C．减小篮球的动能变化量
D．减小篮球对手的冲量
3．(2022·山东烟台二中高二月考)质量为1 kg的物体做直线运动，其速度－时间图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是( )
A．10 N·s，10 N·s
B．10 N·s，－10 N·s
C．0，10 N·s
D．0，－10 N·s
4．北京冬奥会于2022年2月4日至20日举办，跳台滑雪是其中极具观赏性的项目之一，某滑道示意图如图，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝15 m，C为圆弧的最低点。质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。重力加速度g取10 m/s2，不计一切摩擦。
(1)求在长直助滑道AB段运动员所受重力的冲量大小；
(2)求运动员在AC段所受合外力的冲量I的大小。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．请思考冲量和功的不同。
2．由动量定理可知物体所受合力的冲量等于动量的变化量。某同学得出冲量和动量的单位可以通用，这种说法正确吗？
3．在船舷和码头悬挂一些具有弹性的物体(如旧轮胎)是为了减小冲量吗？3．动量守恒定律
1．能运用动量定理和牛顿第三定律分析碰撞现象中的动量变化。
2．在了解系统、内力和外力的基础上，理解动量守恒定律。
3．能够运用动量守恒定律分析生产生活中的有关现象。
4．了解动量守恒定律的普遍适用性和牛顿运动定律适用范围的局限性。
相互作用的两个物体的动量改变
1．构建相互作用模型
如图所示，在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物体A、B，质量分别是m1和m2，沿同一直线向同一方向运动，速度分别是v1和v2，v2＞v1。当B追上A时发生碰撞。
碰撞后A、B的速度分别是v1′和v2′。碰撞过程中A所受B对它的作用力是F1，B所受A对它的作用力是F2。碰撞时，两物体之间力的作用时间很短，用Δt表示。
2．分析推导
(1)根据动量定理，物体A动量的变化量等于它所受作用力F1的冲量，即F1Δt＝m1v1′－m1v1。 ①
(2)物体B动量的变化量等于它所受作用力F2的冲量，即F2Δt＝m2v2′－m2v2 。②
(3)由牛顿第三定律知F1＝－F2。 ③
(4)整理①②③得m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。
3．结论
(1)两个物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量之和。
(2)两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为0的情况下动量守恒。
如图所示，甲乙两人原来面对面静止在光滑的冰面上，甲推乙后，两人向相反方向滑去。
问题1 甲、乙两人间相互作用力的冲量有什么关系？
提示：等大反向。
问题2 甲、乙两人相互作用过程中动量变化有什么关系？
提示：等大反向。
问题3 甲、乙两人的总动量在推动前后是否发生了变化？
提示：没发生变化，仍为0。
1．分析系统内物体受力时，要弄清哪些是系统的内力，哪些是系统外的物体对系统内物体的作用力，系统内力是系统内物体的相互作用力，它们对系统的冲量的矢量和为零，虽然会改变某个物体的动量，但不改变系统的总动量。
2．推导结果表明相互作用前系统的总动量等于相互作用后系统的总动量。需要指出的是，虽然两物体之
间的作用力是变力，但由于两个力在碰撞过程中的每个时刻都大小相等、方向相反，因此，推导结果对过程中的任意两个时刻的状态都适用。
【典例1】 如图甲所示，光滑水平面上有A、B两物块，已知A物块的质量mA＝2 kg，以一定的初速度向右运动，与静止的物块B发生碰撞并粘在一起运动，碰撞前后A的位移—时间图像如图乙所示(规定向右为正方向)，则碰撞后A、B的共同速度及物块B的质量分别为多少？
[解析] 根据题图乙可知，碰撞前A的速度vA＝5 m/s，碰撞后A、B的共同速度v＝2 m/s。
A和B相互作用过程中，动量不变，以A、B为研究对象可得，取vA的方向为正方向，有mAvA＝(mA＋mB)v，得mB＝3 kg。
[答案] 2 m/s 3 kg
[跟进训练]
1．A、B两个相互作用的物体，在相互作用的过程中外力的合力为零，则以下说法正确的是( )
A．A的动量变大，B的动量一定变大
B．A的动量变大，B的动量一定变小
C．A与B的动量变化相等
D．A与B受到的冲量大小相等
D [A、B两个相互作用的物体，在相互作用的过程中外力的合力为零，则A、B两物体的动量之和不变，若二者同向运动时发生碰撞，A的动量变大，B的动量一定变小，A错误；将两个弹性较好的皮球挤压在一起，释放后各自的动量都变大，B错误；由两物体的动量之和不变可知两物体的动量变化量大小相等、方向相反，C错误；相互作用的两个物体各自所受的合力互为作用力与反作用力，由冲量定义式I＝FΔt可知，两物体受到的冲量也是大小相等、方向相反，D正确。]
动量守恒定律
1．系统的内力与外力
(1)系统：由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
(2)内力：系统中物体间的作用力。
(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
(2)适用条件：系统不受外力或所受外力的矢量和为0。
3．动量守恒定律的普适性
动量守恒定律的适用范围：
(1)低速、宏观物体系统领域。
(2)高速(接近光速)、微观(小到分子、原子的尺度)领域。
如图甲所示为斯诺克台球比赛的情境，球员打出白色球撞击红色球；如图乙所示，假设地面光滑，人站在平板车上通过铁锤连续地敲打平板车。
问题1 图甲中对白球和红球组成的系统，哪是内力？哪是外力？
提示：两球间的作用力是内力，台面对球的支持力是外力。
问题2 图甲中如果不考虑台面的摩擦，在碰撞过程中两球组成的系统总动量守恒吗？
提示：总动量守恒。
问题3 图乙在连续的敲打下，这辆车不是持续地向右运动，而是左右振动。为什么会出现这种现象？
提示：人、锤和车组成的系统水平方向动量守恒，人把锤向上挥起，车向右运动，当锤停下，车也停下。当人挥动锤击打车，车向左运动，击打结束，锤停止车也停止，故车左右振动，不能持续地向右运动。
问题4 若以人、锤组成的系统为研究对象或者以人、车组成的系统为研究对象，在打击过程中，系统动量守恒吗？
提示：两种情况下系统动量都不守恒，因为以人、锤组成的系统为研究对象，打击过程系统外的车参与了作用；以人、车组成的系统为研究对象，打击过程系统外的锤参与了作用。
1．对系统“总动量保持不变”的理解
(1)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不仅仅是初、末两个状态的总动量相等。
(2)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
(3)系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力或所受合外力为0。
(2)系统受外力作用，合外力也不为0，但合外力远远小于内力。这种情况严格地说只是动量近似守恒，但却是最常见的情况。
(3)系统所受到的合外力不为0，但在某一方向上合外力为0，或在某一方向上外力远远小于内力，则系统在该方向上动量守恒。
3．动量守恒定律不同表达式的含义
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(或p＝p′)：表示相互作用的两个物体组成的系统，作用前的总动量等于作用后的总动量。
(2)Δp1＝－Δp2：表示相互作用的两个物体组成的系统，其中一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量一定大小相等、方向相反。
(3)Δp＝0：表示系统总动量的变化量为零。
动量守恒条件的理解
【典例2】 (多选)(2022·河北唐山月考)下列各图所对应的物理过程中，系统动量守恒的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
AC [题图甲中，子弹射入木块的过程中，系统水平方向受到的合力为零，则系统动量守恒；题图乙中，剪断细线，压缩的弹簧恢复原长的过程中，水平方向要受到竖直墙壁对M的作用，即水平方向受到的合力不为零，系统动量不守恒；图丙中，两球匀速下降，则受到的重力和浮力的合力为零；剪断细线后，系统受到的重力和浮力不变，则系统受到的合力仍为零，系统动量守恒；图丁中，物块沿放在光滑地面上的光滑斜面下滑的过程中，竖直方向合外力不为零，系统动量不守恒，但是系统在水平方向的动量守恒；故选AC。]
判断动量守恒的两大技巧
(1)动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统。 判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系。
(2)判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力。
动量守恒定律的应用
【典例3】 (两个物体组成的系统动量守恒)雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车与另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
[思路点拨] 以两车组成的系统为研究对象，该系统受到的外力有重力、支持力和摩擦力。由于碰撞时间很短，碰撞过程中系统所受合外力远小于系统内力，可近似认为在该碰撞过程中系统动量守恒。根据动量守恒定律，可求出碰撞后两车的共同速度。
[解析] 设货车质量为m1，轿车质量为m2，碰撞前货车速度为v1，轿车速度为v2，碰撞后两车速度为v。选定两车碰撞前的速度方向为正方向。
由题意可知，m1＝1.8×103 kg，m2＝1.2×103 kg，v1＝36 km/h，v2＝18 km/h。
由动量守恒定律得
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
解得v＝＝28.8 km/h
所以，追尾后两车的速度大小为28.8 km/h。
[答案] 28.8 km/h
应用动量守恒定律解题的步骤
(1)确定研究对象，即相互作用的物体组成的系统；
(2)判断是否符合动量守恒的条件；
(3)选取研究过程，确定始、末状态；
(4)规定正方向，确定始、末状态的动量；
(5)根据动量守恒定律，列方程求解。
【典例4】 (多个物体组成的系统动量守恒)(多选)如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上，c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上，小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同，他跳到a车上没有走动便相对a车静止。此后( )
A．a车比c车速度小
B．b、c两车的距离保持不变
C．a、b两车运动速度相同
D．a、c两车运动方向相反
[思路点拨] 小孩与a、b、c三辆车组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，分三个过程，分别由动量守恒定律分析小孩与三辆车速率的关系。
AD [设小孩跳离c车和b车时对地的水平速度为v，车的质量为M，小孩的质量为m，以水平向左为正方向，根据动量守恒定律知，小孩跳离c车的过程，有0＝Mvc＋mv，小孩跳上b车前到跳离b车后的过程，对于小孩和b车组成的系统，有mv＝Mvb＋mv，小孩跳上a车的过程，有mv＝(M＋m)va，所以vc＝－。可知|vc|＞va＞vb，并且vc与va方向相反，选项A、D正确，C错误。由速度关系可知，b、c两车的距离逐渐增大，选项B错误。]
“五步法”解决多物体多过程问题
【典例5】 (系统在某一方向上动量守恒)(2022·安徽六安期中)如图所示，质量为m＝1 kg的小物块在距离车底部h＝20 m高处以一定的初速度向左被水平抛出，落在以v0＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，设小物块在落到车底前瞬间的速度大小是25 m/s，g取10 m/s2，则当小物块与小车相对静止时，小车的速度大小是( )
A．1 m/s B．3 m/s
C．9 m/s D．11 m/s
B [小物块做平抛运动，下落时间为t＝＝2 s，小物块落到车底前瞬间，竖直方向速度大小为vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，小物块在落到车底前瞬间的速度大小是v＝25 m/s，根据速度合成原则可知，小物块水平方向的速度大小为vx＝ m/s＝15 m/s，小物块与车在水平方向上动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有Mv0－mvx＝(M＋m)v共，解得v共＝3 m/s，故B正确。]
[跟进训练]
2．(多选)如图所示，小车放在光滑水平面上，A端固定一个轻弹簧，B端粘有油泥，小车的总质量为M，质量为m的木块C放在小车上，用细绳连接于小车的A端并使弹簧压缩，开始时小车和C都静止，突然烧断细绳后，C被释放，使C离开弹簧向B端冲去，并与B端油泥粘在一起，忽略一切摩擦，以下说法正确的是( )
A．弹簧恢复原长过程中，C向右运动，同时小车也向右运动
B．C与B碰前，C与小车的速率之比为M∶m
C．C与油泥粘在一起后，小车立即停止运动
D．C与油泥粘在一起后，小车继续向右运动
BC [小车与木块C组成的系统动量守恒，系统在初状态的总动量为零，则在整个过程中任何时刻系统的总动量都为零，故弹簧恢复原长过程中，C向右运动，同时小车向左运动，故A错误；以向右为正方向，C与B粘在一起前，由动量守恒定律得mvC－Mv车＝0，解得，故B正确；系统的总动量守恒且为零，C与油泥粘在一起后，小车和C立即停止运动，故C正确，D错误。]
3．如图所示，在光滑的水平面上有一个质量为4m的木板B，它的左端静止着一个质量为2m的物块A，现让A、B一起以水平速度v0向右运动，与其前方静止的另一个木板C相碰后粘在一起，已知C与B完全相同，在两木板相碰后的运动过程中，物块A恰好没有滑下木板，且物块A可视为质点，则两木板的最终速度为( )
A． B． C． D．
C [设两木板碰撞后的速度为v1，以v0的方向为正方向，对两木板碰撞过程，由动量守恒定律得4mv0＝8mv1，解得v1＝，设物块与木板共同的速度为v2，对物块与两木板组成的系统，由动量守恒定律得2mv0＋8mv1＝(2m＋8m)v2，解得v2＝，选项C正确。]
4．(2022·山东师范大学附属中学期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3。则m∶M的值为( )
A．1∶3 B．1∶4
C．3∶5 D．2∶3
C [小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以小球的初速度方向为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得mv0＝－mv1＋Mv2，由题意可知，对系统，整个运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，由机械能守恒定律得联立解得，选项C正确。]
1．(2021·全国乙卷)如图所示，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板有摩擦。用力向右推动车厢，使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
B [撤去推力，系统所受合外力为0，动量守恒，滑块和小车之间有滑动摩擦力，由于摩擦生热，故系统机械能减少，B正确。]
2．2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量为M，极短时间内瞬间喷射的燃气质量是m，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从v0减为v，需要瞬间喷出的燃气速率约为( )
A．v0－v B．(v0－v)
C．(v0－v)＋v D．
C [喷射燃气的过程动量守恒，有Mv0＝(M－m)v＋mv′，解得v′＝(v0－v)＋v，故选C。]
3．(2022·天津南开中学月考)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑，则( )
A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒
B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处
C [小球从弧形槽高h的地方下落过程中，对于小球和槽组成的系统在水平方向上不受外力作用，所以在水平方向上动量守恒；竖直方向合外力不为0，则系统的动量不守恒；当小球在水平面运动时，与弹簧接触以后，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力作用，故在以后的运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，选项A 错误。小球在弧形槽下落过程中和弧形槽产生了一个垂直于接触面的弹力，而且在弹力分力的方向上两者都发生了位移，故小球和槽之间的相互作用力要做功，选项B错误。当小球被弹簧反弹后，小球和弧形槽在水平方向上不受任何力的作用，由水平方向上动量守恒，槽与球分开
时(0＝mv槽＋mv球)速度等大反向，所以小球被弹簧反弹后不会与槽再接触，故小球和槽在水平方向做速率不变的直线运动，选项C正确，选项D错误。]
4．如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半。两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球A刚滑至水平台面的速度vA；
(2)A、B两球的质量之比mA∶mB。
[解析] (1)小球从坡道顶端滑至水平台面的过程中，由机械能守恒定律得mAgh＝，解得vA＝。
(2)设两球碰撞后共同的速度为v，由动量守恒定律得mAvA＝(mA＋mB)v，粘在一起的两球飞出台面后做平抛运动，设运动的时间为t，由运动学公式，在竖直方向上有h＝gt2，在水平方向上有＝vt，联立以上各式得mA∶mB＝1∶3。
[答案] (1) (2)1∶3
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
提示：相互作用的系统。
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
4．动量守恒的条件是什么？
提示：系统不受外力或所受合外力为零。
动量守恒定律的发现
历史上，笛卡儿、惠更斯、牛顿等人先后研究过碰撞等问题，建立并完善了动量概念，提出了动量守恒规律。
笛卡儿曾提出“运动量”是由“物质”的多少和“速度”的乘积决定的。惠更斯曾通过碰撞实验研究碰撞现象(图)，由此他提出“两个物体所具有的运动量在碰撞中可以增加或减少，但是它们的量值在同一个方向上的总和保持不变”，他明确指出了动量的方向性和守恒性。牛顿采用质量与速度的乘积定义动量，更加清晰地表述了动量的方向性及其守恒规律。
1．动量是和哪些物理量相关的量？是矢量还是标量？
提示：动量是与物体的质量和运动速度相关的物理量；是矢量。
2．动量守恒的条件是什么？
提示：系统不受外力或所受合外力为零。
3．上述阅读材料中，惠更斯研究的碰撞过程是否满足动量守恒？
提示：满足。3．动量守恒定律
1．能运用动量定理和牛顿第三定律分析碰撞现象中的动量变化。
2．在了解系统、内力和外力的基础上，理解动量守恒定律。
3．能够运用动量守恒定律分析生产生活中的有关现象。
4．了解动量守恒定律的普遍适用性和牛顿运动定律适用范围的局限性。
相互作用的两个物体的动量改变
1．构建相互作用模型
如图所示，在光滑水平桌面上做匀速运动的两个物体A、B，质量分别是m1和m2，沿同一直线向同一方向运动，速度分别是v1和v2，v2______v1。当B追上A时发生碰撞。
碰撞后A、B的速度分别是v1′和v2′。碰撞过程中A所受B对它的作用力是F1，B所受A对它的作用力是F2。碰撞时，两物体之间力的作用时间很短，用Δt表示。
2．分析推导
(1)根据动量定理，物体A动量的变化量等于它所受作用力F1的冲量，即F1Δt＝________。 ①
(2)物体B动量的变化量等于它所受作用力F2的冲量，即F2Δt＝________ 。 ②
(3)由牛顿第三定律知F1________－F2。 ③
(4)整理①②③得m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。
3．结论
(1)两个物体碰撞后的动量之和________碰撞前的动量之和。
(2)两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为________的情况下动量守恒。
如图所示，甲乙两人原来面对面静止在光滑的冰面上，甲推乙后，两人向相反方向滑去。
问题1 甲、乙两人间相互作用力的冲量有什么关系？
问题2 甲、乙两人相互作用过程中动量变化有什么关系？
问题3 甲、乙两人的总动量在推动前后是否发生了变化？
1．分析系统内物体受力时，要弄清哪些是系统的内力，哪些是系统外的物体对系统内物体的作用力，系统内力是系统内物体的相互作用力，它们对系统的冲量的矢量和为零，虽然会改变某个物体的动量，但不改变系统的总动量。
2．推导结果表明相互作用前系统的总动量等于相互作用后系统的总动量。需要指出的是，虽然两物体之间的作用力是变力，但由于两个力在碰撞过程中的每个时刻都大小相等、方向相反，因此，推导结果对过程中的任意两个时刻的状态都适用。
【典例1】 如图甲所示，光滑水平面上有A、B两物块，已知A物块的质量mA＝2 kg，以一定的初速度向右运动，与静止的物块B发生碰撞并粘在一起运动，碰撞前后A的位移—时间图像如图乙所示(规定向右为正方向)，则碰撞后A、B的共同速度及物块B的质量分别为多少？
[听课记录]
[跟进训练]
1．A、B两个相互作用的物体，在相互作用的过程中外力的合力为零，则以下说法正确的是( )
A．A的动量变大，B的动量一定变大
B．A的动量变大，B的动量一定变小
C．A与B的动量变化相等
D．A与B受到的冲量大小相等
动量守恒定律
1．系统的内力与外力
(1)系统：由两个(或多个)____________的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称________。
(2)内力：________物体间的作用力。
(3)外力：________的物体施加给系统内物体的力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量________。
(2)适用条件：系统________或所受外力的矢量和为________。
3．动量守恒定律的普适性
动量守恒定律的适用范围：
(1)低速、宏观物体系统领域。
(2)________(接近光速)、________(小到分子、原子的尺度)领域。
如图甲所示为斯诺克台球比赛的情境，球员打出白色球撞击红色球；如图乙所示，假设地面光滑，人站在平板车上通过铁锤连续地敲打平板车。
问题1 图甲中对白球和红球组成的系统，哪是内力？哪是外力？
问题2 图甲中如果不考虑台面的摩擦，在碰撞过程中两球组成的系统总动量守恒吗？
问题3 图乙在连续的敲打下，这辆车不是持续地向右运动，而是左右振动。为什么会出现这种现象？
问题4 若以人、锤组成的系统为研究对象或者以人、车组成的系统为研究对象，在打击过程中，系统动量守恒吗？
1．对系统“总动量保持不变”的理解
(1)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不仅仅是初、末两个状态的总动量相等。
(2)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
(3)系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力或所受合外力为0。
(2)系统受外力作用，合外力也不为0，但合外力远远小于内力。这种情况严格地说只是动量近似守恒，但却是最常见的情况。
(3)系统所受到的合外力不为0，但在某一方向上合外力为0，或在某一方向上外力远远小于内力，则系统在该方向上动量守恒。
3．动量守恒定律不同表达式的含义
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(或p＝p′)：表示相互作用的两个物体组成的系统，作用前的总动量等于作用后的总动量。
(2)Δp1＝－Δp2：表示相互作用的两个物体组成的系统，其中一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量一定大小相等、方向相反。
(3)Δp＝0：表示系统总动量的变化量为零。
动量守恒条件的理解
【典例2】 (多选)(2022·河北唐山月考)下列各图所对应的物理过程中，系统动量守恒的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
[听课记录]
判断动量守恒的两大技巧
(1)动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统。 判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系。
(2)判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力。
动量守恒定律的应用
【典例3】 (两个物体组成的系统动量守恒)雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车与另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
[思路点拨] 以两车组成的系统为研究对象，该系统受到的外力有重力、支持力和摩擦力。由于碰撞时间很短，碰撞过程中系统所受合外力远小于系统内力，可近似认为在该碰撞过程中系统动量守恒。根据动量守恒定律，可求出碰撞后两车的共同速度。
[听课记录]
应用动量守恒定律解题的步骤
(1)确定研究对象，即相互作用的物体组成的系统；
(2)判断是否符合动量守恒的条件；
(3)选取研究过程，确定始、末状态；
(4)规定正方向，确定始、末状态的动量；
(5)根据动量守恒定律，列方程求解。
【典例4】 (多个物体组成的系统动量守恒)(多选)如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上，c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上，小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同，他跳到a车上没有走动便相对a车静止。此后( )
A．a车比c车速度小
B．b、c两车的距离保持不变
C．a、b两车运动速度相同
D．a、c两车运动方向相反
[思路点拨] 小孩与a、b、c三辆车组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，分三个过程，分别由动量守恒定律分析小孩与三辆车速率的关系。
[听课记录]
“五步法”解决多物体多过程问题
【典例5】 (系统在某一方向上动量守恒)(2022·安徽六安期中)如图所示，质量为m＝1 kg的小物块在距离车底部h＝20 m高处以一定的初速度向左被水平抛出，落在以v0＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，设小物块在落到车底前瞬间的速度大小是25 m/s，g取10 m/s2，则当小物块与小车相对静止时，小车的速度大小是( )
A．1 m/s B．3 m/s
C．9 m/s D．11 m/s
[听课记录]
[跟进训练]
2．(多选)如图所示，小车放在光滑水平面上，A端固定一个轻弹簧，B端粘有油泥，小车的总质量为M，质量为m的木块C放在小车上，用细绳连接于小车的A端并使弹簧压缩，开始时小车和C都静止，突然烧断细绳后，C被释放，使C离开弹簧向B端冲去，并与B端油泥粘在一起，忽略一切摩擦，以下说法正确的是( )
A．弹簧恢复原长过程中，C向右运动，同时小车也向右运动
B．C与B碰前，C与小车的速率之比为M∶m
C．C与油泥粘在一起后，小车立即停止运动
D．C与油泥粘在一起后，小车继续向右运动
3．如图所示，在光滑的水平面上有一个质量为4m的木板B，它的左端静止着一个质量为2m的物块A，现让A、B一起以水平速度v0向右运动，与其前方静止的另一个木板C相碰后粘在一起，已知C与B完全相同，在两木板相碰后的运动过程中，物块A恰好没有滑下木板，且物块A可视为质点，则两木板的最终速度为( )
A． B． C． D．
4．(2022·山东师范大学附属中学期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3。则m∶M的值为( )
A．1∶3 B．1∶4 C．3∶5 D．2∶3
1．(2021·全国乙卷)如图所示，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板有摩擦。用力向右推动车厢，使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
2．2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量为M，极短时间内瞬间喷射的燃气质量是m，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从v0减为v，需要瞬间喷出的燃气速率约为( )
A．v0－v B．(v0－v)
C．(v0－v)＋v D．
3．(2022·天津南开中学月考)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑，则( )
A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒
B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处
4．如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半。两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球A刚滑至水平台面的速度vA；
(2)A、B两球的质量之比mA∶mB。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
4．动量守恒的条件是什么？
动量守恒定律的发现
历史上，笛卡儿、惠更斯、牛顿等人先后研究过碰撞等问题，建立并完善了动量概念，提出了动量守恒规律。
笛卡儿曾提出“运动量”是由“物质”的多少和“速度”的乘积决定的。惠更斯曾通过碰撞实验研究碰撞现象(图), 由此他提出“两个物体所具有的运动量在碰撞中可以增加或减少，但是它们的量值在同一个方向上的总和保持不变”，他明确指出了动量的方向性和守恒性。牛顿采用质量与速度的乘积定义动量，更加清晰地表述了动量的方向性及其守恒规律。
1．动量是和哪些物理量相关的量？是矢量还是标量？
2．动量守恒的条件是什么？
3．上述阅读材料中，惠更斯研究的碰撞过程是否满足动量守恒？
