1．简谐运动
1．知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。
2．通过观察和分析，理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。
3．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。
4．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
弹簧振子
1．机械振动 物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。
机械振动是机械运动的一种，其轨迹可以是直线也可以是曲线。
2．弹簧振子
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
弹簧振子是一个理想化模型，它是研究一般性振动的基础。
3．平衡位置 弹簧未形变时，小球所受合力为0的位置。
4．振子的位移 振子相对平衡位置的位移。
如图所示，将弹簧和钩码组成一个振动系统。
问题1 上述振动系统看成弹簧振子需要满足什么条件？
提示：(1)弹簧的质量很小，相对于钩码的质量可以忽略不计。
(2)空气阻力可以忽略不计。
问题2 平衡位置怎样确定？
提示：平衡位置在弹簧的弹力和钩码重力平衡的位置。
问题3 上述弹簧振子的振动有什么规律？
提示：在平衡位置附近上下做往复性的运动。
1．弹簧振子是理想化的物理模型，类似于我们学习的质点、点电荷模型。
2．实际物体看成弹簧振子的四个条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
(3)忽略弹簧及小球与水平杆之间的摩擦力。
(4)弹簧被拉伸(压缩)的长度在弹性限度内。
3．对平衡位置的理解
(1)系统不振动时，振子静止时所处的位置。
①水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置；
②竖直弹簧振子的平衡位置在弹力与重力平衡的位置。
(2)振动过程中振子经过平衡位置时速度最大。
4．弹簧振子的位移
位移是指相对平衡位置的位移，大小等于振子所在位置到平衡位置的距离，方向由平衡位置指向振子所在位置。
【典例1】 (多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
CD [平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，即小球原来静止的位置，故D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，C正确。]
[母题变式]
在上例中，小球做的运动是匀变速运动吗？
提示：因小球所受合力变化，小球做非匀变速运动。
平衡位置的判断方法
(1)小球上下振动，合力为零时的位置为平衡位置。
(2)小球原来静止的位置，满足重力与弹簧弹力相等，即为平衡位置。
(3)小球速度最大时的位置和小球原来静止时的位置为同一位置。
[跟进训练]
1．如图所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以向右为正方向，则振子在B、C之间振动时( )
A．B→O位移为负、速度为正
B．O→C位移为正、速度为负
C．C→O位移为负、速度为正
D．O→B位移为正、速度为负
A [速度方向即振子运动方向，则B→O位移向左为负，速度向右为正，A正确；O→C位移向右为正，速度向右为正，B错误；C→O位移向右为正，速度向左为负，C错误；O→B位移向左为负，速度向左为负，D错误。]
弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系 以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴。选定正方向。
2．绘制图像
若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线。
位移—时间图像描述的是物体的位移随时间变化的规律，而非物体的运动轨迹。
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。请思考：
问题1 振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
提示：一条平行于运动方向的线段。
问题2 振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：一条正弦(或余弦)曲线。
1．位移—时间图像(x t图像)的建立
为了研究弹簧振子的运动规律，我们以振子的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子的位移—时间图像。若规定向右的方向为正方向，则小球在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时为负。
2．弹簧振子的位移—时间图像录制方法
(1)频闪照相法：频闪仪每隔0.05 s闪光一次，闪光的瞬时振子被照亮。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下小球和弹簧的一系列的像。因底片运动的距离与时间成正比，所以可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻小球离开平衡位置的位移，也就是位移随时间变化的规律，如图所示。
(2)描迹法：如图所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘画笔在纸带上画出的就是小球的振动图像。
3．位移—时间图像(x t图像)的物理意义
位移—时间图像表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律。
注意：振动位移是矢量，位移的起始位置都是平衡位置，方向为由平衡位置指向振子所在的位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
【典例2】 如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为l，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．图乙中x0的大小等于l
B．0～时间内小球由M向O运动
C．～时间内小球由M向O运动
D．0～时间内与～T时间内小球运动方向相反
A [结合甲、乙两图可以知道时刻小球的位移为
正值且最大，小球位于N，x0的大小等于l，A选项正确；0～时间内位移为正值，且逐渐增大，小球由O向N运动，B选项错误；～时间内位移为正值，且逐渐减小，小球由N向O运动，C选项错误；0～时间内小球先从位移为零处沿正方向运动到正的最大位移处，再从正的最大位移处沿负方向运动到位移为零处，～T时间内小球先从位移为零处沿负方向运动到负的最大位移处，再从负的最大位移处沿正方向运动到位移为零处，D选项错误。故选A。]
解决位移—时间图像问题的方法
解此类题时，首先要理解x t图像的意义，其次要把x t图像与质点的实际振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段图线对应振动的一个过程。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像。有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图像可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直于x轴的方向匀速运动
D．图像中点的疏密表示振子位置变化的快慢
ACD [由题图可知，零时刻振子位移为零，即位于平衡位置，A正确；振子只在x轴方向上振动，B错误；由获得图像的方法可知C正确；图像中两相邻点之间的时间间隔相同，疏处说明振子位置变化快，密处说明振子位置变化慢，D正确。]
简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2．特点
简谐运动是最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。
滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形滑道的内壁来回滑行。
问题1 滑板的这种运动可视为振动吗？
提示：若这种弧形滑道的半径远大于人到最低点距离，则其位移随时间的变化遵从正弦函数的规律，其运动可视为振动。
问题2 若可以，它的平衡位置在哪里？
提示：平衡位置在滑道的最低点。
1．简谐运动的性质
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是在变力作用下的非匀变速运动。
2．简谐运动的速度、加速度的理解
速度 (1)方向：远离平衡位置运动的过程中速度方向背离平衡位置；衡位置运动的过程中速度方向指向平衡位置。 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移处的速度为零。 ②远离平衡位置的过程中，振子的速度减小；衡位置的过程中，振子的速度增大。
加速度 (1)方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。 (2)大小：①远离平衡位置运动过程中，振子的加速度增大；衡位置运动过程中，振子的加速度减小。 ②位于平衡位置时振子的加速度为零；位于最大位移处时振子的加速度最大。
3．简谐运动图像的应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点从正位移处向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
【典例3】 (2022·岳阳一中高二期末)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
A [由题图乙可知，当t＝0.8 s时，振子正通过平衡位置向负方向运动，即向左运动，A正确；在t＝0.2 s时，振子位移为正且大于6 cm，即在O点右侧大于6 cm处，B错误；t＝0.4 s时，振子位于正向最大位移处，t＝1.2 s时，振子位于负向最大位移处，两个时刻振子的加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D错误。]
简谐运动图像中振子速度方向的判断方法：沿时间轴正方向看，若图像是上升的，则振子沿x轴正方向运动，若图像是下降的，则振子沿x轴负方向运动。
[跟进训练]
3．(2022·湖北高二月考)下列各种运动中，属于简谐运动的是( )
A．拍皮球时球的往复运动
B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动
C．粗糙水平面上，一端固定的轻弹簧和小球固定，小球在水平面上来回运动
D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动
B [拍皮球时球做往返运动，但是受到的力不满足简谐运动的条件，所以不是简谐运动，故A错误；轻弹簧上端固定，下端挂钩码，钩码上下振动时，为简谐运动，故B正确；粗糙水平面上，一端固定的轻弹簧和小球固定，小球运动过程受阻力，不满足简谐运动条件，故C错误；孩子荡秋千，只有秋千在摆角很小且空气阻力可以忽略的情况下才能看作是简谐运动，故D错误。]
1．(多选)下列四副图中物体的运动属于机械振动的是( )
A．图甲中正在荡秋千的儿童的运动
B．图乙中正在走时的摆钟的摆锤的运动
C．图丙中运动会上彩旗随风飘扬的运动
D．图丁中正在放飞的风筝的运动
AB [根据机械振动的定义可知正在荡秋千的儿童的运动、正在走时的摆钟的摆锤的运动属于机械振动；运动会上彩旗随风飘扬的运动、正在放飞的风筝的运动不属于机械振动。故A、B正确。]
2．如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，这样的运动叫作简谐运动。根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
C [根据题意，振动图像与正弦函数图像相似的①③的运动符合简谐运动的特征，故A、B、D错误，C正确。]
3．(2022·江苏徐州第一中学月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。关于其振动图像，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
C [t＝1.25 s时，位移为正，故加速度为负，x t图像上某点切线的斜率表示速度，故速度为负，A错误；同理，t＝1.7 s时，位移为负，加速度为正，速度为负，B错误；t＝1.0 s时，位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，位移为零，加速度为零，速度为负，D错误。]
4．(新情境题，以实验探究为背景，考查简谐运动)简谐运动的振动图像可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘图笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离表示时间，得到的振动图像如图乙所示。
(1)为什么必须匀速拖动纸带？__________________________________________
(2)刚开始计时时，振子处在________；t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是________。
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离是________。
(4)在0～4 s时间内，振子在________ s末负方向速度最大；振子在________s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向________方向运动。
[解析] (1)纸带匀速运动时，由x＝vt知，纸带的位移与时间成正比，因此在匀速运动条件下，可以用纸带通过的位移表示时间。
(2)由题图乙可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移为零。
(3)由x＝vt，可知振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离x＝2 cm/s×2 s＝4 cm。
(4)在0～4 s时间内，振子在3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s时正方向加速度最大；t＝2.5 s时，振子正在向负方向运动。
[答案] (1)在匀速运动条件下，可以用纸带通过的位移表示时间 (2)左侧最大位移处 零 (3)4 cm (4)3 0(或4) 负
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．弹簧振子的运动具有什么特点？
提示：(1)围绕着“一个中心”位置。
(2)偏离“平衡位置”位移增大。
(3)在两点间“往复”运动。
2．简谐运动中振动物体经过某一位置时，加速度和速度是否同向？
提示：不一定。振动物体经过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置。
3．在简谐运动的图像中能直接获取哪些信息？
提示：任一时刻质点所在的位置及运动方向。1．简谐运动
1．知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。
2．通过观察和分析，理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。
3．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。
4．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
弹簧振子
1．机械振动 物体或物体的一部分在一个位置附近的________称为机械振动，简称振动。
机械振动是机械运动的一种，其轨迹可以是直线也可以是曲线。
2．弹簧振子
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以________，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以________，我们把小球和弹簧组成的系统称为________。
弹簧振子是一个理想化模型，它是研究一般性振动的基础。
3．平衡位置 弹簧未形变时，小球所受________的位置。
4．振子的位移 振子相对________的位移。
如图所示，将弹簧和钩码组成一个振动系统。
问题1 上述振动系统看成弹簧振子需要满足什么条件？
问题2 平衡位置怎样确定？
问题3 上述弹簧振子的振动有什么规律？
1．弹簧振子是理想化的物理模型，类似于我们学习的质点、点电荷模型。
2．实际物体看成弹簧振子的四个条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
(3)忽略弹簧及小球与水平杆之间的摩擦力。
(4)弹簧被拉伸(压缩)的长度在弹性限度内。
3．对平衡位置的理解
(1)系统不振动时，振子静止时所处的位置。
①水平弹簧振子的平衡位置在弹簧的原长位置；
②竖直弹簧振子的平衡位置在弹力与重力平衡的位置。
(2)振动过程中振子经过平衡位置时速度最大。
4．弹簧振子的位移
位移是指相对平衡位置的位移，大小等于振子所在位置到平衡位置的距离，方向由平衡位置指向振子所在位置。
【典例1】 (多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
[听课记录]
[母题变式]
在上例中，小球做的运动是匀变速运动吗？
平衡位置的判断方法
(1)小球上下振动，合力为零时的位置为平衡位置。
(2)小球原来静止的位置，满足重力与弹簧弹力相等，即为平衡位置。
(3)小球速度最大时的位置和小球原来静止时的位置为同一位置。
[跟进训练]
1．如图所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以向右为正方向，则振子在B、C之间振动时( )
A．B→O位移为负、速度为正
B．O→C位移为正、速度为负
C．C→O位移为负、速度为正
D．O→B位移为正、速度为负
弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系 以小球的________为坐标原点，沿着它的________方向建立坐标轴。选定正方向。
2．绘制图像
若用横轴表示振子运动的________，纵轴表示振子在振动过程中离开________的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线。
位移—时间图像描述的是物体的位移随时间变化的规律，而非物体的运动轨迹。
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。请思考：
问题1 振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
问题2 振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
1．位移—时间图像(x t图像)的建立
为了研究弹簧振子的运动规律，我们以振子的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子的位移—时间图像。若规定向右的方向为正方向，则小球在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时为负。
2．弹簧振子的位移—时间图像录制方法
(1)频闪照相法：频闪仪每隔0.05 s闪光一次，闪光的瞬时振子被照亮。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下小球和弹簧的一系列的像。因底片运动的距离与时间成正比，所以可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻小球离开平衡位置的位移，也就是位移随时间变化的规律，如图所示。
(2)描迹法：如图所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘画笔在纸带上画出的就是小球的振动图像。
3．位移—时间图像(x t图像)的物理意义
位移—时间图像表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律。
注意：振动位移是矢量，位移的起始位置都是平衡位置，方向为由平衡位置指向振子所在的位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
【典例2】 如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为l，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．图乙中x0的大小等于l
B．0～时间内小球由M向O运动
C．～时间内小球由M向O运动
D．0～时间内与～T时间内小球运动方向相反
[听课记录]
解决位移—时间图像问题的方法
解此类题时，首先要理解x t图像的意义，其次要把x t图像与质点的实际振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段图线对应振动的一个过程。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像。有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图像可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直于x轴的方向匀速运动
D．图像中点的疏密表示振子位置变化的快慢
简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从________函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条________曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2．特点
简谐运动是最基本的________，弹簧振子的运动就是________。
滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形滑道的内壁来回滑行。
问题1 滑板的这种运动可视为振动吗？
问题2 若可以，它的平衡位置在哪里？
1．简谐运动的性质
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是在变力作用下的非匀变速运动。
2．简谐运动的速度、加速度的理解
速度 (1)方向：远离平衡位置运动的过程中速度方向背离平衡位置；衡位置运动的过程中速度方向指向平衡位置。 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移处的速度为零。 ②远离平衡位置的过程中，振子的速度减小；衡位置的过程中，振子的速度增大。
加速度 (1)方向：总是指向平衡位置，总是与位移方向相反。 (2)大小：①远离平衡位置运动过程中，振子的加速度增大；衡位置运动过程中，振子的加速度减小。 ②位于平衡位置时振子的加速度为零；位于最大位移处时振子的加速度最大。
3．简谐运动图像的应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，在t1时刻到t0时刻这段时间内，质点的位移变小，故质点从正位移处向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻到下一时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。
【典例3】 (2022·岳阳一中高二期末)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
[听课记录]
简谐运动图像中振子速度方向的判断方法：沿时间轴正方向看，若图像是上升的，则振子沿x轴正方向运动，若图像是下降的，则振子沿x轴负方向运动。
[跟进训练]
3．(2022·湖北高二月考)下列各种运动中，属于简谐运动的是( )
A．拍皮球时球的往复运动
B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动
C．粗糙水平面上，一端固定的轻弹簧和小球固定，小球在水平面上来回运动
D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动
1．(多选)下列四副图中物体的运动属于机械振动的是( )
A．图甲中正在荡秋千的儿童的运动
B．图乙中正在走时的摆钟的摆锤的运动
C．图丙中运动会上彩旗随风飘扬的运动
D．图丁中正在放飞的风筝的运动
2．如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，这样的运动叫作简谐运动。根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
3．(2022·江苏徐州第一中学月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。关于其振动图像，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
4．(新情境题，以实验探究为背景，考查简谐运动)简谐运动的振动图像可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘图笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离表示时间，得到的振动图像如图乙所示。
(1)为什么必须匀速拖动纸带？________________________________________
(2)刚开始计时时，振子处在________；t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是________。
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离是________。
(4)在0～4 s时间内，振子在________ s末负方向速度最大；振子在________s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向________方向运动。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．弹簧振子的运动具有什么特点？
2．简谐运动中振动物体经过某一位置时，加速度和速度是否同向？
3．在简谐运动的图像中能直接获取哪些信息？2．简谐运动的描述
1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。
2．知道周期和频率的关系。
3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。
4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
简谐运动的振幅、周期和频率
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动幅度大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。
2．全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个完整的振动过程称为一次全振动。
不管以哪个位置作为研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。
3．周期(T)和频率(f)
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。
(3)周期T与频率f的关系式：f＝。
简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。
(4)ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
如图所示为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tOD＝tDC，E点与D点关于O点对称。
问题1 振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
提示：时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
问题2 振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
提示：时间t＝T，路程s＝2A，位移x＝2A。
问题3 振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？
提示：两个过程的时间、路程、位移都相同：时间t＝T，路程s＝A，位移x＝A。
1．全振动的四个特征
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值； (2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： (1)t＝T时，s＝4A，(t＝nT时，s＝n·4A)； (2)t＝T时，s＝2A； (3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
【典例1】 (对简谐运动中物理量的理解)(2022·河北邯郸高一期中)如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为A，由B运动到C的时间为2 s，则( )
A．从O点再次回到O点为一次全振动
B．振子经过4 s，振子通过的路程为4A
C．振子从B到C的平均速度为0.5A(m/s)
D．振子经过的路程为A时所用的时间一定为1 s
B [从O点再次回到O点，不是一次全振动，故A错误；由题意B运动到C的时间为2 s可知周期T＝4 s，振子经过4 s通过的路程为4A，故B正确；振子从B到C的平均速度为v＝＝A(m/s)，故C错误；振子从最大位移处到平衡位置处或从平衡位置处到最大位移处经过的路程为A时所用的时间一定为1 s，除此之外振子经过的路程为A时所用的时间不一定为1 s，故D错误。]
【典例2】 (简谐运动的周期性和对称性)(多选)(2022·江苏邳州高二学情检测)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达P点时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是( )
A．1.6 s B．1.4 s C． s D．0.8 s
BC [假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲，若振子开始先向左振动，振子的振动周期T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间t＝ s－0.2 s＝ s；如图乙所示，若振子开始先向右振动，振子的振动周期T′＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。]
由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
1．(2022·山东枣庄八中高二月考)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都忽略不计。y1、y2、x0、2x0为已知量，则( )
A．振子平衡位置的纵坐标为y＝
B．该弹簧振子的振动周期为
C．振子在(x0，y2)位置时加速度最大
D．匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，振子振动的周期变为原来的
C [根据简谐运动的对称性可知，平衡位置纵坐标为y＝，故A错误；由题图可知，振子在一个周期内沿x轴方向的位移为2x0，水平速度为v，则该弹簧振子的振动周期为T＝，故B错误；振子在(x0，y2)位置时处于最大位移处，则回复力最大，由牛顿第二定律知，加速度最大，故C正确；弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关，匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，则一个周期内沿x轴方向的位移增大为原来的2倍，振子振动的周期不变，故D错误。]
2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
C [弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，A选项错误；图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，B选项错误；如果t时刻和t＋Δt时刻相差一个周期T，则振子在这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；除在平衡位置时，如果t时刻和t＋Δt时刻相差半个周期，则这两个时刻振子的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D错误。
]
相位和简谐运动的表达式
1．相位：物理学中把ωt＋φ叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同频率的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。
(3)意义：表示1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝A sin (ωt＋φ)或x＝Asin。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。
问题 在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t＝20sin t(cm)，画出y t图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，即一个周期内，游客能舒服地登船的时间是1.0 s。
1．相位
(1)物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
(2)特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度(rad)或度(°)。
(3)物体经历一次全振动，相位变化2π。
2．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动2比振动1超前；Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
3．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像(x t图像)是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息：
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况的。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的，两种表述方法可以相互转换。
【典例3】 (简谐运动表达式的理解与应用)(2022·山东实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的加速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (m)，则A滞后B
D [由振动方程可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，加速度最大，故C错误；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A ，或者说A滞后B ，故D正确。]
应用简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ0)解答问题时，需要明确振幅A、周期T或频率f、初相位，圆频率可通过ω＝＝2πf计算。
【典例4】 (简谐运动图像的理解与应用)A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[解析] (1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s。则A的简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得＝2.5π rad/s, 则B的简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。
[答案] (1)0.5 0.4 0.2 0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm xB＝0.2sin cm
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
[解析] 将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案] xA＝－ cm xB＝0.2sin π cm
[跟进训练]
3．(2022·福建泉州月考)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝8×10-3sin m
A [由题可知，A＝0.8 cm＝8×10-3m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10-3sin m，A正确。]
4．某简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．简谐运动的振幅为4 cm
B．简谐运动的周期为0.4 s
C．位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹
D．图像中A点对应时刻，质点速度方向沿x轴负方向
B [由题中图像可得，简谐运动的振幅为2 cm，周期为0.4 s，故A错误，B正确；该图像表示质点的位移随时间变化的规律，不是质点的运动轨迹，故C错误；图像中A点对应时刻，质点向x轴正方向运动，即速度方向沿x轴正方向，故D错误。]
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
ACD [O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑弹簧振子的系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm，10 cm B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
B [质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。]
3．(多选)一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移和速度方向都相反
D．从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点通过的路程为cm
BD [由题图可知质点做简谐运动的周期T＝4 s，则1 s＝T，1 s内质点通过的路程不一定是一个振幅的大小，即不一定是2 cm，A错误；在5 s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；根据题图可知质点做简谐运动的位移的表达式为x＝2sin t(cm)，从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻质点运动了3 s，从位移 cm处到达位移－2 cm处，后再次回到位移 cm处，通过的路程为cm，D正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。2．简谐运动的描述
1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。
2．知道周期和频率的关系。
3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。
4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
简谐运动的振幅、周期和频率
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的________，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理意义：振幅是描述振动________大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的________。
2．全振动
类似于O→M→O→M′→O的一个________振动过程称为一次全振动。
不管以哪个位置作为研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。
3．周期(T)和频率(f)
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次________所需要的时间，叫作振动的周期。单位：________。
(2)频率f：物体完成________的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：________，简称赫，符号是________。
(3)周期T与频率f的关系式：f＝。
简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。
(4)ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝________。
如图所示为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tOD＝tDC，E点与D点关于O点对称。
问题1 振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
问题2 振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？
问题3 振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移分别是多少？
1．全振动的四个特征
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征：历时一个周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值； (2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： (1)t＝T时，s＝4A，(t＝nT时，s＝n·4A)； (2)t＝T时，s＝2A； (3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
【典例1】 (对简谐运动中物理量的理解)(2022·河北邯郸高一期中)如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为A，由B运动到C的时间为2 s，则( )
A．从O点再次回到O点为一次全振动
B．振子经过4 s，振子通过的路程为4A
C．振子从B到C的平均速度为0.5A(m/s)
D．振子经过的路程为A时所用的时间一定为1 s
[听课记录]
【典例2】 (简谐运动的周期性和对称性)(多选)(2022·江苏邳州高二学情检测)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达P点时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是( )
A．1.6 s B．1.4 s C． s D．0.8 s
[听课记录]
由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
1．(2022·山东枣庄八中高二月考)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。记录笔与记录纸之间的摩擦和空气阻力都忽略不计。y1、y2、x0、2x0为已知量，则( )
A．振子平衡位置的纵坐标为y＝
B．该弹簧振子的振动周期为
C．振子在(x0，y2)位置时加速度最大
D．匀速拉动纸带的速率增大为原来的2倍，振子振动的周期变为原来的
2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
相位和简谐运动的表达式
1．相位：物理学中把________叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作________，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同________的简谐运动的相位之差。
(2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
(3)意义：表示1的相位比2________Δφ，或者说2的相位比1________Δφ。
比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
3．简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝________或x＝____________。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。
问题 在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
1．相位
(1)物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
(2)特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度(rad)或度(°)。
(3)物体经历一次全振动，相位变化2π。
2．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
(1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动2比振动1超前；Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
3．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像(x t图像)是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息：
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况的。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的，两种表述方法可以相互转换。
【典例3】 (简谐运动表达式的理解与应用)(2022·山东实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的加速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (m)，则A滞后B
[听课记录]
应用简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ0)解答问题时，需要明确振幅A、周期T或频率f、初相位，圆频率可通过ω＝＝2πf计算。
【典例4】 (简谐运动图像的理解与应用)A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[听课记录]
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
[跟进训练]
3．(2022·福建泉州月考)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝8×10-3sin m
4．某简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．简谐运动的振幅为4 cm
B．简谐运动的周期为0.4 s
C．位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹
D．图像中A点对应时刻，质点速度方向沿x轴负方向
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm，10 cm B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
3．(多选)一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B．在5 s末，质点的速度为零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移和速度方向都相反
D．从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点通过的路程为cm
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？3．简谐运动的回复力和能量
1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。
问题1 图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示：弹簧的弹力提供回复力。
问题2 图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示：弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
问题3 图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
提示：m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
1．回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“—”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】 (2022·山东昌乐期中)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
B [物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和物体A对滑块B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确；物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。]
[母题变式]
对于典例1中的物体A，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中其所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为( )
A B C D
B [A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足Ff＝－kx的结论，即选项B正确。本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有－kx＝(mA＋mB)a，得a＝－，物体A受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx，故选项B正确。]
[跟进训练]
1．(2022·浙江湖州质检)如图所示，物体A、B叠放在光滑水平面上，轻质弹簧的一端固定在墙面上，另一端与A相连，弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态，释放后物体A、B一起运动，两物体第一次向右通过平衡位置时开始计时，取向右为正方向，则物体A受到的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( )
A B
C D
A [对A、B整体，加速度与振子位移的关系为a＝对B，A对B的摩擦力提供回复力，即Ff＝mBa＝－·x，则B对A的摩擦力Ff＝·x；振子做简谐运动时，x随t做正弦规律变化，则Ff也随t做正弦规律变化，第一次向右通过平衡位置时开始计时，且向右为正方向，所以图像为过坐标原点的正弦函数图像。故A正确，B、C、D错误。]
简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
如图为弹簧振子，观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。
问题1 振子在振动过程中动能、势能的变化规律。
提示：振子的动能变化规律：B→O过程动能增大，O点动能最大，O→C过程动能减小；振子的势能变化规律：振子在B、C两点势能最大，B→O过程势能减小，O点势能为0，O→C过程势能增大。
问题2 振子在振动过程中机械能守恒吗？
提示：振子在振动过程中只有弹力做功，故机械能守恒。
1．对简谐运动的能量的理解
决定 因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
注意：1.在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
2．振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 向右 向右 向左 向左
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
【典例2】 (多选)(2022·辽宁渤海大学附中月考)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，振动能量越大
B．物块A在运动过程中机械能守恒
C．物块A在C点时系统的势能最大
D．物块A在B点时机械能最小
[思路点拨] 解答本题要抓住三个关键点：
ACD [OB越长，振动的幅度越大，故振动的能量越大，A正确；在运动过程中，物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块A的机械能不守恒，B错误；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在C点时，动能为零，故物块A与弹簧构成的系统的势能(重力势能和弹性势能之和)最大，C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在B点时，弹簧的伸长量最大，弹簧的弹性势能最大，物块A的机械能最小，故D正确。]
[跟进训练]
2．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
D [从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的压缩量，故弹性势能最大，D正确。]
1．如图所示，对做简谐运动的小球，受力分析正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
A [小球受重力、支持力和弹簧的弹力；简谐运动没有能量损失，故没有摩擦力；回复力是由合力提供，是效果力，不能说物体受回复力。故A正确，B、C、D错误。]
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“—”号表示F始终阻碍物体的运动
B [对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动来说，k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“—”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，D错误。]
3．(2022·山东烟台高二期末)如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知( )
A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大
C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
D [在0.25～0.30 s内，弹簧振子的位移越来越大，受到的回复力越来越大，A错误；振动的周期为0.4 s，弹簧振子在0.7 s时刻的位移最大，速度为零，B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。]
4．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
BC [由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹
簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。3．简谐运动的回复力和能量
1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到________的力。
(2)方向：指向________。
(3)表达式：F＝________。
回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成________，并且总是指向________，物体的运动就是简谐运动。
如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。
问题1 图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
问题2 图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
问题3 图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
1．回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“—”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】 (2022·山东昌乐期中)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
[听课记录]
[母题变式]
对于典例1中的物体A，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中其所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为( )
A B C D
[跟进训练]
1．(2022·浙江湖州质检)如图所示，物体A、B叠放在光滑水平面上，轻质弹簧的一端固定在墙面上，另一端与A相连，弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态，释放后物体A、B一起运动，两物体第一次向右通过平衡位置时开始计时，取向右为正方向，则物体A受到的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( )
A B
C D
简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是________和________互相转化的过程。
(1)在最大位移处，________最大，________为零。
(2)在平衡位置处，________最大，________为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能________，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种________的模型。
如图为弹簧振子，观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。
问题1 振子在振动过程中动能、势能的变化规律。
问题2 振子在振动过程中机械能守恒吗？
1．对简谐运动的能量的理解
决定 因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
注意：1．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
2．振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 向右 向右 向左 向左
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。
(2)通过上表可以看出两个转折点：
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；
②最大位移处是速度方向变化的转折点。
【典例2】 (多选)(2022·辽宁渤海大学附中月考)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，振动能量越大
B．物块A在运动过程中机械能守恒
C．物块A在C点时系统的势能最大
D．物块A在B点时机械能最小
[思路点拨] 解答本题要抓住三个关键点：
[听课记录]
[跟进训练]
2．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
1．如图所示，对做简谐运动的小球，受力分析正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“—”号表示F始终阻碍物体的运动
3．(2022·山东烟台高二期末)如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知( )
A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大
C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
4．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？