4．单摆
1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
2．理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
3．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
4．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
5．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
单摆及单摆的回复力
1．单摆的组成
由细线和小球组成。如图所示。
2．理想化模型
(1)细线的长度不可改变。
(2)细线的质量与小球相比可以忽略。
(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
在这个模型里，细线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
如图所示，小球和细线构成一个单摆。
问题1 结合简谐运动的知识，思考运动过程中小球受到几个力的作用？什么力充当小球振动的回复力？
提示：小球受重力和细线的拉力。重力沿圆弧切线的分力。
问题2 摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0
提示：单摆摆动中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零。最大位移处速度等于零，但不是平衡状态，所以加速度不等于零。
1．单摆的受力分析
(1)单摆受力：受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
如图所示，单摆的回复力F＝G1＝mg sin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。
3．单摆做简谐运动的规律
(1)单摆做简谐运动的位移—时间(x t)图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)单摆振动过程中各量的变化特点。
位置或过程 位移、回复力、加速度 速度、动能 重力势能
最高点 最大 零 最大
最低点 零 最大 最小
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小 越来越大
衡位置运动 越来越小 越来越大 越来越小
【典例1】 (2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，速度为零，所受合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，所受回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，所受回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处速度为零，所受合力不为零，A错误；在最低点B处速度最大，所需向心力最大，重力沿细线方向的分力最大，细线的拉力最大，D正确；回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、
C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
CD [小球只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，选项D正确。]
单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量无关。
②周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。
2．周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
1.单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量无关，它又叫作单摆的固有周期。单摆周期公式的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期为2 s的单摆叫作秒摆。秒摆的摆长约为1 m。
意大利的物理学家伽利略在观察吊灯摆动现象时发现摆的等时性原理，即在摆角小于5°时，不论摆钟摆动幅度大些还是小些，完成一次摆动的时间都是相同的。
请你利用自己的脉搏和身边的器材重复伽利略的实验。
问题1 同一个摆振动的快慢与摆的振幅有无关系？
提示：无关。
问题2 振动的快慢与摆锤的轻重有无关系？
提示：无关。
问题3 振动的快慢与摆线长短有关吗？
提示：有关。摆线越长，振动越慢，摆线越短振动越快。
1．对单摆周期公式T＝2π的理解
(1)T与摆长l和当地的重力加速度g有关。
(2)T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。
(3)适用条件：摆角很小(一般小于5°)。
2．对摆长l和重力加速度g的理解
(1)摆长l：指从悬点到摆球重心的长度。
①对于实际的单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：
a．图(a)中小球在O点右侧运动时摆长为L，在O点左侧运动时摆长为L。
b．图(b)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，故甲摆等效摆长为l sin α。其周期T＝。
c．图(c)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)重力加速度g的理解。
①公式中的g由单摆所在地的空间位置决定。
由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度。
a．若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图甲所示的斜面摆，球静止在O点时，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如图乙所示的电场中，带电荷量为q(q>0)的小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
b．若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，如单摆处在向上加速发射的航天器内，设航天器加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a。
【典例2】 (多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以断定( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
[思路点拨] (1)由振动图像可知单摆振动的周期关系为T甲＝T乙。
(2)若甲、乙两单摆在不同地点摆动，则g不同。
BCD [根据图像可知，单摆振动的周期关系：T甲＝T乙，所以周期之比为，频率为周期的反比，所以频率之比为，B、C正确；若甲、乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式T＝可得摆长之比为4∶9，A错误；若在不同地点，摆长相同，根据T＝2π得重力加速度之比为9∶4，D正确。]
【典例3】 (2022·山东泰安期中)如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，下列判断正确的是( )
A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4
C [题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mg sin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝g sin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响摆球的回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力加速度为g4＝g＋a。由单摆周期公式T＝知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确。]
[跟进训练]
2．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g)( )
A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
A [让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆
长为，周期T′＝2π，A正确，B、C、D错误。]
3．(2022·山东烟台高二期中)自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们希望能够早日登上月球。假设未来的航天员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是( )
A．将摆球的质量增加为原来的6倍
B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍
D．将摆长增长为原来的6倍
C [已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆的周期公式T＝2π，可知，要使该单摆在月球与在地球上周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。]
1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm的铁球组成。关于单摆周期，下列说法中正确的是( )
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
C [用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2π可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝可知，单摆周期变小，故D错误。]
2．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，(悬点和小钉未被摄入)，P为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为( )
A． B．
C． D．无法确定
C [设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝16t，在左侧摆动的周期为T2＝8t，T1∶T2＝2∶1。设左侧摆长为l，则T1＝2π ①
T2＝2π ②
由①②得，l＝L，所以小钉与悬点的距离s＝L－l＝。故C正确。]
3．(2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同时到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同时到
B [对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝解得t3＝；对于甲、乙两球，由于光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，故可将它们的运动视为做简谐运动的单摆的运动，其运动周期为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时均运动周期，则t1＝t2＝。所以丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确，A、C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小(θ≤5°)，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
伽利略发现单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生后不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，好奇心极强。他从不满足于别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事医生职业。1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
1582年的一天，伽利略偶然观察到一个大吊灯在来回摆动。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量，伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的，即吊灯的摆动具有等时性。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的摆动具有等时性。4．单摆
1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
2．理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
3．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
4．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
5．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
单摆及单摆的回复力
1．单摆的组成
由细线和________组成。如图所示。
2．理想化模型
(1)细线的长度不可改变。
(2)细线的________与小球相比可以忽略。
(3)小球的________与线的长度相比可以忽略。
在这个模型里，细线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿________方向的分力。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
如图所示，小球和细线构成一个单摆。
问题1 结合简谐运动的知识，思考运动过程中小球受到几个力的作用？什么力充当小球振动的回复力？
问题2 摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0
1．单摆的受力分析
(1)单摆受力：受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
如图所示，单摆的回复力F＝G1＝mg sin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。
3．单摆做简谐运动的规律
(1)单摆做简谐运动的位移—时间(x t)图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)单摆振动过程中各量的变化特点。
位置或过程 位移、回复力、 加速度 速度、动能 重力势能
最高点 最大 零 最大
最低点 零 最大 最小
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小 越来越大
衡位置运动 越来越小 越来越大 越来越小
【典例1】 (2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，速度为零，所受合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，所受回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，所受回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
[听课记录]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：________法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量________。
②周期与振幅________。
③摆长越长，周期________；摆长越短，周期________。
2．周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家________首先提出的。
(2)公式：T＝________，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量无关。
1．单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量无关，它又叫作单摆的固有周期。单摆周期公式的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期为2 s的单摆叫作秒摆。秒摆的摆长约为1 m。
意大利的物理学家伽利略在观察吊灯摆动现象时发现摆的等时性原理，即在摆角小于5°时，不论摆钟摆动幅度大些还是小些，完成一次摆动的时间都是相同的。
请你利用自己的脉搏和身边的器材重复伽利略的实验。
问题1 同一个摆振动的快慢与摆的振幅有无关系？
问题2 振动的快慢与摆锤的轻重有无关系？
问题3 振动的快慢与摆线长短有关吗？
1．对单摆周期公式T＝2π的理解
(1)T与摆长l和当地的重力加速度g有关。
(2)T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。
(3)适用条件：摆角很小(一般小于5°)。
2．对摆长l和重力加速度g的理解
(1)摆长l：指从悬点到摆球重心的长度。
①对于实际的单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：
a．图(a)中小球在O点右侧运动时摆长为L，在O点左侧运动时摆长为L。
b．图(b)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，故甲摆等效摆长为l sin α。其周期T＝2π。
c．图(c)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)重力加速度g的理解。
①公式中的g由单摆所在地的空间位置决定。
由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度。
a．若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图甲所示的斜面摆，球静止在O点时，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如图乙所示的电场中，带电荷量为q(q>0)的小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
b．若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，如单摆处在向上加速发射的航天器内，设航天器加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a。
【典例2】 (多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以断定( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
[思路点拨] (1)由振动图像可知单摆振动的周期关系为T甲＝T乙。
(2)若甲、乙两单摆在不同地点摆动，则g不同。
[听课记录]
【典例3】 (2022·山东泰安期中)如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，下列判断正确的是( )
A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4
[听课记录]
[跟进训练]
2．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g)( )
A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π
3．(2022·山东烟台高二期中)自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们希望能够早日登上月球。假设未来的航天员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是( )
A．将摆球的质量增加为原来的6倍
B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍
D．将摆长增长为原来的6倍
1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm的铁球组成。关于单摆周期，下列说法中正确的是( )
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
2．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，(悬点和小钉未被摄入)，P为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为( )
A． B．
C． D．无法确定
3．(2022·重庆西南大学附属中学月考)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同时到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同时到
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
3．单摆的周期由哪些因素决定？
4．单摆周期的表达式是什么？
伽利略发现单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生后不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，好奇心极强。他从不满足于别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事医生职业。1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
1582年的一天，伽利略偶然观察到一个大吊灯在来回摆动。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量，伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的，即吊灯的摆动具有等时性。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
5．实验：用单摆测量重力加速度
1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。
2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 (2022·江苏徐州高二检测)实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点。
同学甲：T一定时，g与l成正比。
同学乙：l一定时，g与T2成反比。
同学丙：l变化时，T2是不变的。
同学丁：l变化时，l与T2的比值是定值。
其中正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的观点。
(2)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为毫米的米尺
实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)。
(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)。用刻度尺测量悬点到______________之间的距离记为单摆的摆长l。
(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动的总时间t，则单摆的周期T＝______。
(5)如果实验得到的结果是g＝10.29 m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：___________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________。
[解析] (1)重力加速度g的大小只由星球、纬度、高度决定，而与摆长和周期的大小无关；表达式g＝为计算式，可知l变化时，T2是变化的，但是l与T2比值不变。故正确的是同学丁的观点。
(2)单摆模型中，摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，小球视为质点，故要选择直径约2 cm的均匀铁球，长度1 m左右的细线，不能用橡皮绳，否则摆长会变化，停表可以控制开始计时和结束计时的时刻，还需要ACE。
(3)摆长为悬点到摆球球心之间的距离。
(4)根据题意可知，周期T＝。
(5)g比当地的重力加速度值大，根据表达式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振动次数n计多了或在计时的时候停表开始计时晚了)、可能是测得的摆长l偏大(从悬点量到了小球底部记为摆长)。
[答案] (1)丁 (2)ACE (3)摆球球心 (4) (5)见解析
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2022·北京玉渊潭中学期中)某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺为10分度(测量值可精确到0.1 mm)的游标卡尺测量摆球直径d，游标卡尺的示数如图甲所示，摆球直径为________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L。
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并计数为0，单摆每经过最低点一次计数一次，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留三位有效数字)。
(3)①测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2 L图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是________。
A．摆球的振幅过小
B．将l0计为摆长L
C．将(l0＋d)计为摆长L
D．摆球质量过大
②根据图丙得出的g测量值________(选填“偏大”或“不受影响”)。
(4)在测量过程中，下列操作合理的是________。
A．先测量好摆长，再将单摆悬挂到铁架台上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察
C．单摆摆动稳定后，摆球经过平衡位置时开始计时
D．单摆摆动过程中，若逐渐形成了圆锥摆，可以继续测量，不影响单摆的周期
(5)甲同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离L；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用的时间t。则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(6)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度Δl，再测出其振动周期T2。则该同学测出的重力加速度的表达式为g＝________(用所测得的物理量符号表示)。
(7)本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由以下哪些误差造成的：________。
A．小球经过平衡位置时计时，看不准平衡位置造成周期测量的系统误差
B．小球球心位置较难确定，使摆长测量存在系统误差
C．由于存在空气阻力，会减慢单摆的速度，使周期测量值比理论值偏大
D．单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
[解析] (1)主尺上的读数为2.0 cm，游标尺读数为7×0.1 mm＝0.7 mm＝0.07 cm，所以直径为2.0 cm＋0.07 cm＝2.07 cm。
(2)单摆做全振动的次数为＝30，停表读数为t＝67.5 s，得该单摆的周期是T＝2.25 s。
(3)①由T＝2π可得T2＝L，即周期与质量和振幅都无关，T2 L图线不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，B正确。
②根据以上分析可知，T2 L图像的斜率不受影响，则g的测量值不受影响。
(4)未悬挂摆球前，先测好摆长，这样测得的摆长误差较大，故A错误；摆角小于5°，单摆的运动才可以看成周期性的简谐运动，故B错误；单摆摆动稳定后，摆球经过平衡位置时开始计时误差比较小，故C正确；单摆摆动过程中，若逐渐形成了圆锥摆，会使单摆周期的测量值偏小，不可以继续测量，故D错误。
(5)由题意可得单摆的周期为T＝，可得g＝L。
(6)摆线较长的单摆的振动周期T1＝2π，把摆线缩短适当的长度Δl，其振动周期T2＝联立解得g＝。
(7)小球经过平衡位置时计时，看不准平衡位置造成周期测量的偶然误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在偶然误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；由于存在空气阻力，会减慢单摆的速度，使周期测量值比理论值偏大，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确；单摆摆动过程中，摆线会稍微伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故D正确。
[答案] (1)2.07 (2)2.25 (3)①B ②不受影响 (4)C (5)L (6) (7)CD
本实验引起误差的几种常见原因
(1)g值偏大的原因。
①单摆不在同一竖直平面内摆动，成为圆锥摆，等效摆长偏小；
②测摆线长时，摆线拉得过紧；
③将摆线的长度与小球直径之和作为摆长；
④开始计时时，停表过晚按下；
⑤测量周期时，误将摆球n次全振动记成了(n＋1)次。
(2)g值偏小的原因。
①摆线上端没有固定，振动中出现松动，使摆线变长；
②开始计时时，停表过早按下；
③实验中误将n次全振动记为(n－1)次。
类型三 创新实验设计
【典例3】 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位制单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析] (1)由公式T＝2π得T2r＝，故题图乙中纵轴表示T2r。
(2)由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图乙并结合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图乙知拟合直线的斜率k＝s2·m-1＝s2·m-1，解得Ic≈0.17kg·m2。
(3)图线的斜率与质量无关，故重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
[答案] (1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变
1．(2022·重庆巴蜀中学高二月考)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又不可能去不同的地区做实验。该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示。利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系。若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有______________。若从实验中得到所测物理量数据的图线如图乙所示，则图像中的纵坐标表示________，横坐标表示_________________________。
[解析] 此单摆的等效重力加速度为g′＝g sin α，则单摆的周期T＝2π。保持摆长不变时，要测量的物理量是木板倾角α和单摆振动的周期T。由T＝2π可得T2＝，若从实验中得到所测物理量数据的图线如题图乙所示，则图像中的纵坐标表示T2，横坐标表示。
[答案] 木板倾角α和单摆振动的周期T T2
2．(2022·河北石家庄二中高二期末)小福同学在做“用单摆测量重力加速度大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是________。
A B C D
(2)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为T2＝4.04l＋0.05(s2)。由此可以得出当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，结果保留3位有效数字)，从方程中可知T2与l没有成正比关系，其原因可能是________。
A．开始计时时，小球可能在最高点
B．小球摆动过程中，可能摆角太大
C．计算摆长时，可能加了小球的直径
D．计算摆长时，可能忘了加小球半径
[解析] (1)单摆摆动过程中，要求摆线长度不变，摆线应该选择弹性小的细丝线，且摆球应选择密度大的铁球，以减小阻力的影响，故选D。
(2)根据单摆周期公式T＝2π有T2＝l，而T2＝4.04l＋0.05(s2)，从方程中可知，m/s2从方程中可知T2与l没有成正比，说明l等于0时，周期不为0，即摆长可能忘了加小球半径，与开始计时小球的位置及小球摆角均无关，故选D。
[答案] (1)D (2)9.76 D
3．(2022·江苏昆山开学考)小丽做了“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为图________(填“乙”或“丙”)的悬挂方式较好。
(2)如图丁所示，用游标卡尺测得小钢球的直径d＝________mm，测出摆线的长度，算出摆长l，再测出单摆的周期T，得到一组数据；改变摆线的长度，再得到几组数据。
(3)根据实际数据作出T2 l图像，发现图像是过坐标原点的倾斜直线，斜率为k，根据单摆周期公式，可以测得当地的重力加速度g＝________(用k表示)，利用图像法处理数据是为了减小________(填“偶然”或“系统”)误差。
[解析] (1)实验时，若采用题图乙所示悬挂方式，单摆在摆动的过程中，摆长变化，对测量结果有影响，题图丙所示悬挂方式，摆长不变，可知题图丙所示悬挂方式较好。
(2)游标卡尺游标尺为10分度，精确度为0.1 mm，由题图丁可知，主尺读数为22 mm，游标尺读数为6×0.1 mm＝0.6 mm，故最终读数为22 mm＋0.6 mm＝22.6 mm。
(3)单摆周期公式为T＝2π，可知T2＝l，T2 l图像的斜率k＝，则重力加速度g＝，用图像法处理实验数据可以减小偶然误差。
[答案] (1)丙 (2)22.6 (3) 偶然
4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝__________(用所测物理量表示)。
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v t图线。
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2 l(周期二次方—摆长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035(s2)。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)
[解析] (1)①细线选择1 m左右的，小球应选择密度大的，所以选择长度近1 m的细绳，直径为1.8 cm的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺，故选adf。
②因为T＝，则g＝。
(2)①根据单摆振动的v t图像知，单摆的周期T＝2.0 s。
②根据T＝2π得T2＝。
图线的斜率：k＝＝4.04 s2/m
解得：g≈9.76 m/s2。
[答案] (1)①adf ② (2)①2.0 ②9.765．实验：用单摆测量重力加速度
1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。
2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 (2022·江苏徐州高二检测)实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点。
同学甲：T一定时，g与l成正比。
同学乙：l一定时，g与T2成反比。
同学丙：l变化时，T2是不变的。
同学丁：l变化时，l与T2的比值是定值。
其中正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的观点。
(2)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为毫米的米尺
实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)。
(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)。用刻度尺测量悬点到______________之间的距离记为单摆的摆长l。
(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动的总时间t，则单摆的周期T＝______。
(5)如果实验得到的结果是g＝10.29 m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：___________________
____________________________________________________________________。
[听课记录]
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2022·北京玉渊潭中学期中)某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺为10分度(测量值可精确到0.1 mm)的游标卡尺测量摆球直径d，游标卡尺的示数如图甲所示，摆球直径为________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L。
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并计数为0，单摆每经过最低点一次计数一次，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留三位有效数字)。
(3)①测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2 L图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是________。
A．摆球的振幅过小
B．将l0计为摆长L
C．将(l0＋d)计为摆长L
D．摆球质量过大
②根据图丙得出的g测量值________(选填“偏大”或“不受影响”)。
(4)在测量过程中，下列操作合理的是________。
A．先测量好摆长，再将单摆悬挂到铁架台上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察
C．单摆摆动稳定后，摆球经过平衡位置时开始计时
D．单摆摆动过程中，若逐渐形成了圆锥摆，可以继续测量，不影响单摆的周期
(5)甲同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离L；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用的时间t。则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(6)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度Δl，再测出其振动周期T2。则该同学测出的重力加速度的表达式为g＝________(用所测得的物理量符号表示)。
(7)本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由以下哪些误差造成的：________。
A．小球经过平衡位置时计时，看不准平衡位置造成周期测量的系统误差
B．小球球心位置较难确定，使摆长测量存在系统误差
C．由于存在空气阻力，会减慢单摆的速度，使周期测量值比理论值偏大
D．单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
[听课记录]
本实验引起误差的几种常见原因
(1)g值偏大的原因。
①单摆不在同一竖直平面内摆动，成为圆锥摆，等效摆长偏小；
②测摆线长时，摆线拉得过紧；
③将摆线的长度与小球直径之和作为摆长；
④开始计时时，停表过晚按下；
⑤测量周期时，误将摆球n次全振动记成了(n＋1)次。
(2)g值偏小的原因。
①摆线上端没有固定，振动中出现松动，使摆线变长；
②开始计时时，停表过早按下；
③实验中误将n次全振动记为(n－1)次。
类型三 创新实验设计
【典例3】 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位制单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[听课记录]
1．(2022·重庆巴蜀中学高二月考)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又不可能去不同的地区做实验。该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示。利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系。若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有______________。若从实验中得到所测物理量数据的图线如图乙所示，则图像中的纵坐标表示________，横坐标表示________________________。
2．(2022·河北石家庄二中高二期末)小福同学在做“用单摆测量重力加速度大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是________。
A B C D
(2)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为T2＝4.04l＋0.05(s2)。由此可以得出当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，结果保留3位有效数字)，从方程中可知T2与l没有成正比关系，其原因可能是________。
A．开始计时时，小球可能在最高点
B．小球摆动过程中，可能摆角太大
C．计算摆长时，可能加了小球的直径
D．计算摆长时，可能忘了加小球半径
3．(2022·江苏昆山开学考)小丽做了“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为图________(填“乙”或“丙”)的悬挂方式较好。
(2)如图丁所示，用游标卡尺测得小钢球的直径d＝________mm，测出摆线的长度，算出摆长l，再测出单摆的周期T，得到一组数据；改变摆线的长度，再得到几组数据。
(3)根据实际数据作出T2 l图像，发现图像是过坐标原点的倾斜直线，斜率为k，根据单摆周期公式，可以测得当地的重力加速度g＝________(用k表示)，利用图像法处理数据是为了减小________(填“偶然”或“系统”)误差。
4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝__________(用所测物理量表示)。
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v t图线。
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2 l(周期二次方—摆长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035(s2)。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)6．受迫振动 共振
1．知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。
2．通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。
3．了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。
4．能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。
振动中的能量损失
1．固有振动和固有频率
如果振动系统在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。
系统的固有频率由系统自身的性质决定，与振幅无关。
2．阻尼振动
(1)阻尼振动。
振幅随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
(2)振动系统能量衰减的两种方式。
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。
如图所示，一位大人带着小朋友荡秋千。
问题1 如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友自己荡起秋千，以后秋千振动是什么振动？振幅怎样变化？
提示：秋千振动是阻尼振动，振幅越来越小。
问题2 为了保证秋千的振幅不变，每次小朋友荡到最高点时大人就适当用力推一次小朋友，则秋千振动可以认为是什么振动？
提示：秋千振动是无阻尼振动。
1．阻尼振动
产生原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。其振动图像如图所示。
2．阻尼振动系统能量衰减的方式
(1)振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能。
(2)振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周散射出去，从而自身机械能减少。
3．对阻尼振动的理解
(1)同一振动系统做简谐运动能量的大小由振幅决定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
【典例1】 (多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
BC [阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A错误，B正确；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。]
理解阻尼振动的两个角度：
(1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小。
(2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。
[跟进训练]
1．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
AD [单摆在振动过程中，会不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能，故A、D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减少，势能逐渐增加，而势能转化为动能时，势能逐渐减少，动能逐渐增加，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故B、C错误。]
受迫振动
1．驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力作用，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫作驱动力。
2．受迫振动
(1)定义：系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动。
(2)受迫振动的频率(周期)。
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
(1)在图中，三个不同的弹簧将三个质量相同的小球固定在摇杆上，使驱动力的频率由小逐渐变大。观察三个小球的振动情况。
(2)将三个不同的弹簧换成三个相同的弹簧，将三个质量相同的小球换成三个质量不同的小球，重复操作，观察三个小球的振动情况。
问题1 三个小球的振动属于哪种振动？
提示：受迫振动。
问题2 三个小球的振动频率有什么变化？
提示：开始起振时，三个小球的振动频率不相等，随着驱动力的频率变大，振动稳定后，三个小球的振动频率相等，都等于驱动力的频率。
1．受迫振动
(1)条件：受到阻力和驱动力。
(2)能量：机械能转化为内能，其他形式的能转化为机械能。
2．受迫振动的特点
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
3．受迫振动的振幅
受迫振动的振幅与驱动力的频率和固有频率有关。驱动力的频率与固有频率相差越大，受迫振动的振幅越小；驱动力的频率与固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大；当驱动力的频率与固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
【典例2】 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为( )
A．0.5 s B．0.25 s C．2 s D．4 s
B [匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟摇把转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与振子自由上下振动的频率无关。摇把匀速转动时的转速为240 r/min＝4 r/s，故f＝4 Hz，所以驱动力的周期T＝ s＝0.25 s，故B正确。]
[跟进训练]
2．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D．不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
B [受到敲击后的钟不再受驱动力，其振动是自由振动；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动；小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动属于自由振动；不受外力的弹簧振子在竖直方向上上下振动，属于自由振动，综上所述，故B正确。]
共振现象及其应用
1．共振
(1)定义：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
(2)条件：驱动力频率等于物体的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大。
(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
2．共振的应用和防止
(1)共振的应用。
在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
(2)共振的防止。
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，使和尚感到大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。
问题1 磬为什么会不敲自鸣呢？
提示：磬不敲自鸣是共振现象。磬的固有频率和钟的频率一样，因此每当钟响时，引起磬的共振而发出嗡嗡之声。
问题2 和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不会无故发声？
提示：和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，改变了其固有频率，使其固有频率与钟的频率不一致，钟响时不会再引起磬的共振而无故发声了。
1．对共振条件的理解
共振的条件：f驱＝f固(或T驱＝T固)。
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．对共振曲线的理解
(1)共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系，如图所示。
(2)f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。
(3)规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大；
②当f③当f>f0时，f增大，振幅减小；
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
【典例3】 如图甲所示，上海某学校实验室中的五个单摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上。图乙是E单摆做受迫振动时的共振曲线，它表示振幅与驱动力的频率的关系。问(摆角不超过5°，重力加速度g取π2)：
(1)先让A、B、C、D其中的哪一个摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈？
(2)E单摆的摆长大小？
[解析] (1)由题图甲可知，E与A的摆长是相等的，根据共振的条件可知，让A摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈。
(2)由题图乙可知，当驱动力的频率等于0.5 Hz时，E的振幅最大，所以E单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期T＝2 s，根据单摆的周期公式T＝代入数据得l＝1 m。
[答案] 见解析
分析共振问题的方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
[母题变式]
1．若将[典例3]中E摆从该学校移至北京某高中的实验室中，共振曲线的“峰”将怎样移动？(已知该学校当地的重力加速度比北京的小)
[解析] 若将E摆从该学校移至北京某高中的实验室中，因重力加速度变大，故固有周期减小，固有频率变大，共振曲线的“峰”将向右移动。
[答案] “峰”将向右移动
2．如果将[典例3]中的共振曲线换成“双峰值”的共振曲线，如图所示。
(1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，求两个单摆的摆长之比。
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，求地球和该星球表面的重力加速度之比。
[解析] (1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，则g相同，由共振曲线得单摆Ⅰ的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，则固有周期TⅠ＝5 s，单摆Ⅱ的固有频率fⅡ＝0.5 Hz，则固有周期TⅡ＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π得两个单摆的摆长之比为。
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，则摆长l一定，由单摆的周期公式T＝2π得地球和该星球表面的重力加速度之比为。
[答案] (1) (2)
1．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
B [由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能减小，振幅减小，但其周期为固有周期，故周期不变，故B正确。]
2．古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，还会溅起层层水花。某同学用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，则关于溅起水花强弱的描述正确的是( )
A．溅起水花越来越弱 B．溅起水花越来越强
C．溅起水花先变弱后变强 D．溅起水花先变强后变弱
D [当某同学用双手摩擦盆耳的频率等于“洗”(包括水)的固有频率时会发生共振，溅起水花最强，所以用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，低于固有频率前，溅起水花逐渐变强，当超过固有频率后，溅起水花逐渐变弱，故D正确。]
3．(2022·河南安阳月考)如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下自由振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后( )
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为
C．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
D [弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此弹簧振子的振动周期等于驱动力的周期，即等于T2，故A、B错误；驱动力的周期与弹簧振子的固有周期越接近，弹簧振子的振幅越大，由于T2＞T1，欲使弹簧振子的振幅增大，应使T2减小，即把手的转速应增大，故C错误，D正确。]
4．(多选)(2022·广东深圳实验学校高二段考)一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线(受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动
D．若将该单摆运到月球上，共振曲线的峰将向右移动
BC [单摆做受迫振动，振动频率与驱动力的频率相等，当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大，可知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，由T＝可得L≈1 m，故A错误，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C正确；若将该单摆运到月球上，g变小，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？
提示：振幅逐渐减小，频率保持不变。
2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？
提示：频率由驱动力的频率决定。
3．物体发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于物体的固有频率。
共振的本质
共振的过程类似于一个强烈的正反馈过程，可以使系统能量在短时间内剧烈增加，那么共振的本质是什么？
一切的振动其表现形式必然是位移，其背后则必然是能量的流动。共振威力巨大的根本原因在于共振使外界的力量直接作用于分子、原子层次(或者某个其他的特定层次)，并不断地吸收能量，使其发生小范围的剧烈位移。如果外界的频率与固有频率不一致，那么外力的作用对象就是整个物体，但是如果与固有频率一致，那作用对象就直接变成了一个个的分子、原子，共振破坏了粒子之间的团结，使之互相内斗，结果可能使整个系统瞬间崩溃。从钟摆这个宏观的振动系统来看，如果外力的步调和钟摆的固有频率相同(比如总是在钟摆运动到最高点时，给予钟摆一个斜向下的力)，那钟摆就会不断地吸收外界的能量。外界能量每一次都会被完全吸收，这样钟摆本身所具有的能量就会急剧增加。如果外力的步调与钟摆不一致，那么上一次吸收的能量，下一次可能就被外力抵消掉，钟摆本身的重力势能也会被外力不时地抵消掉，这就使钟摆本身所具有的能量总是保持在一个波动的水平，并且峰值不会太高，能量在反复地吸收、散失、吸收、散失。
简言之，共振的威力就在于外力以最精准的方式(或者说节奏)作用于物体最微观的层次(或者说特定的层次)，使物体在该层次的每个基本单元(比如钟摆、原子、分子)不断吸收能量，进而发生剧烈位移，并最终在该层次产生极大的破坏作用。
1．什么是共振现象？
提示：受迫振动的振幅达到最大值的现象。
2．发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于受迫振动物体的固有频率。6．受迫振动 共振
1．知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。
2．通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。
3．了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。
4．能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。
振动中的能量损失
1．固有振动和固有频率
如果振动系统在没有________干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为____________。
系统的固有频率由系统自身的性质决定，与振幅无关。
2．阻尼振动
(1)阻尼振动。
________随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
(2)振动系统能量衰减的两种方式。
①振动系统受到________阻力作用，机械能逐渐转化为________。
②振动系统引起邻近介质中各________的振动，能量向外辐射出去。
如图所示，一位大人带着小朋友荡秋千。
问题1 如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友自己荡起秋千，以后秋千振动是什么振动？振幅怎样变化？
问题2 为了保证秋千的振幅不变，每次小朋友荡到最高点时大人就适当用力推一次小朋友，则秋千振动可以认为是什么振动？
1．阻尼振动
产生原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。其振动图像如图所示。
2．阻尼振动系统能量衰减的方式
(1)振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能。
(2)振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周散射出去，从而自身机械能减少。
3．对阻尼振动的理解
(1)同一振动系统做简谐运动能量的大小由振幅决定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
【典例1】 (多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
[听课记录]
理解阻尼振动的两个角度：
(1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小。
(2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。
[跟进训练]
1．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
受迫振动
1．驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的________，外力对系统________，________系统的能量损耗，这种________的外力叫作驱动力。
2．受迫振动
(1)定义：系统在________作用下的振动，叫作受迫振动。
(2)受迫振动的频率(周期)。
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于________的频率，与物体的________无关。
(1)在图中，三个不同的弹簧将三个质量相同的小球固定在摇杆上，使驱动力的频率由小逐渐变大。观察三个小球的振动情况。
(2)将三个不同的弹簧换成三个相同的弹簧，将三个质量相同的小球换成三个质量不同的小球，重复操作，观察三个小球的振动情况。
问题1 三个小球的振动属于哪种振动？
问题2 三个小球的振动频率有什么变化？
1．受迫振动
(1)条件：受到阻力和驱动力。
(2)能量：机械能转化为内能，其他形式的能转化为机械能。
2．受迫振动的特点
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
3．受迫振动的振幅
受迫振动的振幅与驱动力的频率和固有频率有关。驱动力的频率与固有频率相差越大，受迫振动的振幅越小；驱动力的频率与固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大；当驱动力的频率与固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
【典例2】 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为( )
A．0.5 s B．0.25 s
C．2 s D．4 s
[听课记录]
[跟进训练]
2．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D．不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
共振现象及其应用
1．共振
(1)定义：当驱动力的频率________固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到________的现象。
(2)条件：驱动力频率________物体的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的________最大。
(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的________与__________的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
2．共振的应用和防止
(1)共振的应用。
在应用共振时，应使驱动力频率________或________振动系统的固有频率。
(2)共振的防止。
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差________越好。
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，使和尚感到大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。
问题1 磬为什么会不敲自鸣呢？
问题2 和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不会无故发声？
1．对共振条件的理解
共振的条件：f驱＝f固(或T驱＝T固)。
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．对共振曲线的理解
(1)共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系，如图所示。
(2)f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。
(3)规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大；
②当f③当f>f0时，f增大，振幅减小；
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
【典例3】 如图甲所示，上海某学校实验室中的五个单摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上。图乙是E单摆做受迫振动时的共振曲线，它表示振幅与驱动力的频率的关系。问(摆角不超过5°，重力加速度g取π2)：
(1)先让A、B、C、D其中的哪一个摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈？
[听课记录]
(2)E单摆的摆长大小？
[听课记录]
分析共振问题的方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
[母题变式]
1．若将[典例3]中E摆从该学校移至北京某高中的实验室中，共振曲线的“峰”将怎样移动？(已知该学校当地的重力加速度比北京的小)
2．如果将[典例3]中的共振曲线换成“双峰值”的共振曲线，如图所示。
(1)若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，求两个单摆的摆长之比。
(2)若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，求地球和该星球表面的重力加速度之比。
1．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
2．古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，还会溅起层层水花。某同学用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，则关于溅起水花强弱的描述正确的是( )
A．溅起水花越来越弱
B．溅起水花越来越强
C．溅起水花先变弱后变强
D．溅起水花先变强后变弱
3．(2022·河南安阳月考)如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下自由振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后( )
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为
C．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
4．(多选)(2022·广东深圳实验学校高二段考)一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线(受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动
D．若将该单摆运到月球上，共振曲线的峰将向右移动
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？
2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？
3．物体发生共振的条件是什么？
共振的本质
共振的过程类似于一个强烈的正反馈过程，可以使系统能量在短时间内剧烈增加，那么共振的本质是什么？
一切的振动其表现形式必然是位移，其背后则必然是能量的流动。共振威力巨大的根本原因在于共振使外界的力量直接作用于分子、原子层次(或者某个其他的特定层次)，并不断地吸收能量，使其发生小范围的剧烈位移。如果外界的频率与固有频率不一致，那么外力的作用对象就是整个物体，但是如果与固有频率一致，那作用对象就直接变成了一个个的分子、原子，共振破坏了粒子之间的团结，使之互相内斗，结果可能使整个系统瞬间崩溃。从钟摆这个宏观的振动系统来看，如果外力的步调和钟摆的固有频率相同(比如总是在钟摆运动到最高点时，给予钟摆一个斜向下的力)，那钟摆就会不断地吸收外界的能量。外界能量每一次都会被完全吸收，这样钟摆本身所具有的能量就会急剧增加。如果外力的步调与钟摆不一致，那么上一次吸收的能量，下一次可能就被外力抵消掉，钟摆本身的重力势能也会被外力不时地抵消掉，这就使钟摆本身所具有的能量总是保持在一个波动的水平，并且峰值不会太高，能量在反复地吸收、散失、吸收、散失。
简言之，共振的威力就在于外力以最精准的方式(或者说节奏)作用于物体最微观的层次(或者说特定的层次)，使物体在该层次的每个基本单元(比如钟摆、原子、分子)不断吸收能量，进而发生剧烈位移，并最终在该层次产生极大的破坏作用。
1．什么是共振现象？
2．发生共振的条件是什么？
