第1节 实验：探究小车速度随时间变化的规律
实验目标 1．通过实验探究物体运动的速度随时间变化的规律，提升实验设计、处理信息、做出解释等科学探究方面的能力。 2．描绘物体运动的v-t图像，并通过对拟合成的图线观察、思考，找出物体速度变化的规律。 3．经历探究小车速度随时间变化的规律，体会研究直线运动的一般思路。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，
(1)下列给出的器材中，有一部分已经选好了，请选出还需要的器材。
A．电磁打点计时器 B．天平 C．低压交变电源 D．低压直流电源 E．细绳和纸带 F．槽码和小车 G．秒表 H．一端有滑轮的长铝板 I．刻度尺
选出的器材有AEFH，还需要________。
(2)某同学按照以下步骤进行操作：
A．换上纸带重复做三次，选择一条较为理想的纸带；
B．将电磁打点计时器固定在长铝板上没有滑轮的一端，接上电源；
C．把小车停在靠近电磁打点计时器的地方，先放开小车，再启动电磁打点计时器；
D．断开电源，取下纸带；
E．把一条细绳拴在小车前端，绳跨过滑轮挂上槽码，把纸带固定在小车后端并让纸带穿过电磁打点计时器。
以上步骤有错误的是________(填步骤前的字母)，应更正为________；步骤合理的顺序是________(填步骤前的字母)。
[解析] (1)在本实验中，不需要测量小车和槽码的质量，因此不需要天平，电磁打点计时器使用的是低压交变电源，因此不需要直流电源，同时电磁打点计时器记录了小车的运动时间，因此不需要秒表，测量点迹间的距离需要刻度尺，所以还需要的器材是：C、I。
(2)以上步骤有错误的是C，应先启动电磁打点计时器，再放开小车；
根据组装器材、进行实验、数据处理的顺序知，操作步骤顺序为：BECDA。
[答案] (1)C、I (2)C 先启动电磁打点计时器，再放开小车 BECDA
类型二 数据处理与分析
【典例2】 (2022·山东潍坊高一检测)某学习小组利用图甲装置研究小车运动的规律。
(1)实验时将打点计时器接到频率为50 Hz的交变电源上，得到一条纸带，打出的部分计数点如图乙所示(每相邻两个计数点间还有4个点未画出)。x1＝4.09 cm，x2＝4.91 cm，x3＝5.69 cm，x4＝6.47 cm，x5＝7.28 cm，x6＝8.14 cm。根据测量数据，分别计算了打点计时器在打B、C、D、E、F点时小车的速度，请将你计算所得的打C点时的速度填入表格。
位置 B C D E F
v/(m·s-1) 0.45 ____ 0.61 0.69 0.77
(2)根据(1)中表格数据，以打A点时为计时起点，在坐标纸中画出小车运动的v-t图像。
(3)根据图像得出打A点时小车的速度为______ m/s。
(4)根据图像求得小车运动的加速度a＝______ m/s2(结果保留一位有效数字)。
[解析] (1)每相邻两个计数点之间有四个点未画出，故相邻计数点之间的时间间隔T＝0.1 s，由vC＝得vC＝ m/s＝0.53 m/s。
(2)描点作图如图所示。
(3)由图可得vA＝0.37 m/s。
(4)由v-t图线斜率可得a＝0.8 m/s2。
[答案] (1)0.53 (2)见解析图 (3)0.37 (4)0.8
图像法处理数据时的两点注意
(1)作图时，画一条直线，要让尽可能多的点分布在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，离线较远的点删去，注意不可用折线连接。
(2)利用v-t图像求加速度时，应选用直线上相距较远的两个点来求直线的斜率，即加速度。不能采用量出直线的倾斜角，然后求出其正切值的方法来计算加速度，因为该倾斜角还与坐标轴的标度有关。
类型三 创新实验设计
【典例3】 如图甲所示是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图。
1．实验创新思路：测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。
2．实验步骤
(1)测速仪发出的超声波信号，图乙中P1、P2是测速仪发出的超声波信号。
(2)由汽车反射回来的信号，n1、n2分别是P1、P2反射回来的信号。
(3)测出P1、P2之间的时间间隔Δt＝1.0 s，已知超声波在空气中传播的速度是v＝340 m/s，若汽车是匀速行驶的。
3．数据分析：根据图乙可知，汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是________m，汽车的速度是________m/s。
[解析] 题图乙中每小格代表的时间间隔t0＝＝ s，从发出超声波信号P1到接收到反射信号n1的时间为t1＝12× s＝0.4 s，信号P1到达汽车时汽车离测速仪的距离为x1＝vt1＝×340×0.4 m＝68 m。从发出超声波信号P2到接收到反射信号n2的时间为t2＝9× s＝0.3 s。信号P2到达汽车时汽车离测速仪的距离为x2＝vt2＝×340×0.3 m＝51 m。汽车接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为Δx＝x1－x2＝(68－51)m＝17 m。由题图乙可看出测速仪发出的超声波信号P1接触到汽车到测速仪发出的超声波信号P2接触到汽车的时间间隔t＝28.5× s＝0.95 s。
这段时间即为汽车前进17 m所用的时间，所以汽车的速度为v＝＝17.9 m/s。
[答案] 17 17.9
1．图甲(图中长木板水平固定)是高中物理常用的力学实验装置，现用该装置完成“探究小车速度随时间变化的规律”。
(1)图乙中的实验照片是否有实验错误、不合理或不必要之处？若存在问题，请指明问题所在。
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________。
(2)下列措施有助于减小实验误差的是________。
A．选用输出电压稳定性更佳的恒定电源
B．选用输出电压变化周期更稳定的交流电源
C．调节滑轮高度，使拉线与长木板平行
D．实验中满足槽码质量m远小于小车的质量M
E．实验前先平衡小车与木板间的摩擦力
[解析] (1)照片A：实验有错误之处，选用蓄电池作为电源。照片B：实验有不合理之处，小车起始点离打点计时器过远。
(2)选用输出电压稳定性更佳的恒定电源，打点计时器不能计时，A错误；选用输出电压变化周期更稳定的交流电源可使打点周期稳定，减小误差，B正确；调节滑轮高度，使拉线与长木板平行，可减小误差，C正确；测定小车的速度不需要满足槽码的质量m远小于小车的质量M，也不需要实验前先平衡小车与木板间的摩擦力，D、E错误。
[答案] (1)见解析 (2)BC
2．(2022·湖北部分重点高中高一上期中)小明同学按如图所示装置做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验。
(1)释放小车时，实验装置如图甲所示，指出该装置或操作中错误的是________。
A．电磁打点计时器接在直流电源上了
B．小车质量没有远大于槽码质量
C．小车离打点计时器过远
(2)如图乙为改正装置后打下的一条纸带的中间部分，A、B、C、D为其中连续打出的四个点(已知打点计时器打点时间间隔T＝0.02 s)。由于操作不慎，C点模糊了，小明仍用此纸带来研究。从图上可以读得A点在刻度尺上位置的读数为________ cm，在打下C点时小车的速度最接近于________ m/s(结果保留三位有效数字)。
[解析] (1)电磁打点计时器应接在交变电源上；不需要小车质量远大于槽码质量；小车应靠近打点计时器的位置，故选A、C。
(2)A点在刻度尺上位置的读数为3.00 cm；打点计时器打点时间间隔T＝0.02 s，在打下C点时小车的速度
vC＝＝ m/s＝1.40 m/s。
[答案] (1)AC (2)3.00 1.40
3．在用电火花计时器“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，图甲是一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间还有四个点未画出。(电源频率为50 Hz)。
(1)根据运动学有关公式可求得vB＝1.38 m/s，vC＝________ m/s，vD＝3.90 m/s。(结果保留三位有效数字)
(2)利用求得的数值在图乙所示坐标纸上作出小车的v-t图像(从打A点时开始计时)。利用纸带上的数据求出小车运动的加速度大小a＝________ m/s2。(结果保留三位有效数字)
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的纵坐标是0.12 m/s，此交点的物理意义是
____________________________________________________________________。
[解析] (1)打C点时对应的速度为
vC＝＝ m/s＝2.64 m/s。
(2)用描点法作出小车的v-t图像如图所示。
由图知小车运动的加速度大小
a＝＝ m/s2＝12.6 m/s2。
(3)此交点表示从A点开始计时时，小车的速度大小为0.12 m/s。
[答案] (1)2.64 (2)见解析图 12.6 (3)从A点开始计时时，小车的速度大小为0.12 m/s
4．(2022·全国乙卷节选)用雷达探测一高速飞行器的位置。从某时刻(t＝0)开始的一段时间内，该飞行器可视为沿直线运动，每隔1 s测量一次其位置，坐标为x，结果如下表所示：
t/s 0 1 2 3 4 5 6
x/m 0 507 1094 1759 2505 3329 4233
回答下列问题：
(1)当x＝507 m时，该飞行器速度的大小v＝________m/s。
(2)这段时间内该飞行器加速度的大小a＝________m/s2(保留2位有效数字)。
[解析] (1)将表格中数据转化如图，则x1＝507 m，x2＝587 m，x3＝665 m，x4＝746 m，x5＝824 m，x6＝904 m，可得x2－x1＝80 m，x3－x2＝78 m，x4－x3＝81 m，x5－x4＝78 m，x6－x5＝80 m，相邻相等时间间隔位移差大小接近，可判断该飞行器在这段时间内近似做匀加速运动。
x＝507 m时该飞行器的速度即t＝1 s时的瞬时速度，利用匀变速直线运动的特点可知时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，故v＝＝＝547 m/s。(2)由逐差法得a＝＝ m/s2≈79 m/s2。
[答案] (1)547 (2)79第1节 实验：探究小车速度随时间变化的规律
实验目标 1．通过实验探究物体运动的速度随时间变化的规律，提升实验设计、处理信息、做出解释等科学探究方面的能力。 2．描绘物体运动的v t图像，并通过对拟合成的图线观察、思考，找出物体速度变化的规律。 3．经历探究小车速度随时间变化的规律，体会研究直线运动的一般思路。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，
(1)下列给出的器材中，有一部分已经选好了，请选出还需要的器材。
A.电磁打点计时器 B．天平 C．低压交变电源 D．低压直流电源 E．细绳和纸带 F．槽码和小车 G．秒表 H．一端有滑轮的长铝板 I．刻度尺
选出的器材有AEFH，还需要________。
(2)某同学按照以下步骤进行操作：
A．换上纸带重复做三次，选择一条较为理想的纸带；
B．将电磁打点计时器固定在长铝板上没有滑轮的一端，接上电源；
C．把小车停在靠近电磁打点计时器的地方，先放开小车，再启动电磁打点计时器；
D．断开电源，取下纸带；
E．把一条细绳拴在小车前端，绳跨过滑轮挂上槽码，把纸带固定在小车后端并让纸带穿过电磁打点计时器。
以上步骤有错误的是________(填步骤前的字母)，应更正为________；步骤合理的顺序是________(填步骤前的字母)。
[听课记录]
类型二 数据处理与分析
【典例2】 (2022·山东潍坊高一检测)某学习小组利用图甲装置研究小车运动的规律。
(1)实验时将打点计时器接到频率为50 Hz的交变电源上，得到一条纸带，打出的部分计数点如图乙所示(每相邻两个计数点间还有4个点未画出)。x1＝4.09 cm，x2＝4.91 cm，x3＝5.69 cm，x4＝6.47 cm，x5＝7.28 cm，x6＝8.14 cm。根据测量数据，分别计算了打点计时器在打B、C、D、E、F点时小车的速度，请将你计算所得的打C点时的速度填入表格。
位置 B C D E F
v/(m·s-1) 0.45 ____ 0.61 0.69 0.77
(2)根据(1)中表格数据，以打A点时为计时起点，在坐标纸中画出小车运动的v t图像。
(3)根据图像得出打A点时小车的速度为________ m/s。
(4)根据图像求得小车运动的加速度a＝________ m/s2(结果保留一位有效数字)。
[听课记录]
图像法处理数据时的两点注意
(1)作图时，画一条直线，要让尽可能多的点分布在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，离线较远的点删去，注意不可用折线连接。
(2)利用v t图像求加速度时，应选用直线上相距较远的两个点来求直线的斜率，即加速度。不能采用量出直线的倾斜角，然后求出其正切值的方法来计算加速度，因为该倾斜角还与坐标轴的标度有关。
类型三 创新实验设计
【典例3】 如图甲所示是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图。
1．实验创新思路：测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。
2．实验步骤
(1)测速仪发出的超声波信号，图乙中P1、P2是测速仪发出的超声波信号。
(2)由汽车反射回来的信号，n1、n2分别是P1、P2反射回来的信号。
(3)测出P1、P2之间的时间间隔Δt＝1.0 s，已知超声波在空气中传播的速度是v＝340 m/s，若汽车是匀速行驶的。
3．数据分析：根据图乙可知，汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是________m，汽车的速度是________m/s。
[听课记录]
1．图甲(图中长木板水平固定)是高中物理常用的力学实验装置，现用该装置完成“探究小车速度随时间变化的规律”。
(1)图乙中的实验照片是否有实验错误、不合理或不必要之处？若存在问题，请指明问题所在。
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________。
(2)下列措施有助于减小实验误差的是________。
A.选用输出电压稳定性更佳的恒定电源
B．选用输出电压变化周期更稳定的交流电源
C.调节滑轮高度，使拉线与长木板平行
D．实验中满足槽码质量m远小于小车的质量M
E.实验前先平衡小车与木板间的摩擦力
2．(2022·湖北部分重点高中高一上期中)小明同学按如图所示装置做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验。
(1)释放小车时，实验装置如图甲所示，指出该装置或操作中错误的是________。
A．电磁打点计时器接在直流电源上了
B．小车质量没有远大于槽码质量
C．小车离打点计时器过远
(2)如图乙为改正装置后打下的一条纸带的中间部分，A、B、C、D为其中连续打出的四个点(已知打点计时器打点时间间隔T＝0.02 s)。由于操作不慎，C点模糊了，小明仍用此纸带来研究。从图上可以读得A点在刻度尺上位置的读数为________ cm，在打下C点时小车的速度最接近于________ m/s(结果保留三位有效数字)。
3．在用电火花计时器“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，图甲是一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间还有四个点未画出。(电源频率为50 Hz)。
(1)根据运动学有关公式可求得vB＝1.38 m/s，vC＝________ m/s，vD＝3.90 m/s。(结果保留三位有效数字)
(2)利用求得的数值在图乙所示坐标纸上作出小车的v t图像(从打A点时开始计时)。利用纸带上的数据求出小车运动的加速度大小a＝________ m/s2。(结果保留三位有效数字)
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的纵坐标是0.12 m/s，此交点的物理意义是____________________________________________________________________。
4．(2022·全国乙卷节选)用雷达探测一高速飞行器的位置。从某时刻(t＝0)开始的一段时间内，该飞行器可视为沿直线运动，每隔1 s测量一次其位置，坐标为x，结果如下表所示：
t/s 0 1 2 3 4 5 6
x/m 0 507 1094 1759 2505 3329 4233
回答下列问题：
(1)当x＝507 m时，该飞行器速度的大小v＝________m/s。
(2)这段时间内该飞行器加速度的大小a＝________m/s2(保留2位有效数字)。第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
学习任务 1．根据实验得到的v-t图像是一条倾斜的直线，建构匀变速直线运动的模型，了解匀变速直线运动的特点。 2．能根据v-t图像得出匀变速直线运动的速度与时间的关系式，理解公式的含义。 3．能应用匀变速直线运动的速度与时间的关系式或v-t图像分析和解决生产、生活中的实际问题。
匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
2．分类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加的直线运动。
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小的直线运动。
3．v-t图像：匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
济青高铁通车后，一位旅客从青岛乘坐动车到达济南用了1小时54分钟，大大节约了行程时间。假设动车运动过程中不同阶段的v-t图像如图所示。
问题1 上图中动车运动过程中不同阶段分别做什么运动？
提示：甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做变加速直线运动。
问题2 在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？
提示：乙、丙。
问题3 在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？
提示：物体乙的v-t图线斜率不变，加速度不变，速度随时间均匀增加，物体丁的v-t图线斜率变大，加速度变大，速度增加得越来越快。
问题4 匀变速直线运动有哪些特点？
提示：任意相等的时间内，速度的变化量相同。
1．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变。
(2)v-t图像是一条倾斜直线。
2．v-t图像与物体的运动
(1)匀速直线运动的v-t图像是一条平行于时间轴的直线。
(2)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动。
①v-t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向。
②v-t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度。
(3)非匀变速直线运动的v-t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度。
图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大。甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，加速度减小。
3．v-t图像的两点提醒
(1)v-t图像与时间轴的交点表示速度方向的改变(如图线a中t4时刻和图线b中t3时刻)，折点表示加速度方向的改变(如图线a中t2时刻所示)。
(2)v-t图像中两图像相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇(如图所示的t1时刻)。
【典例1】 如图所示为A、B两个物体做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)A、B各做什么运动？求其加速度；
(2)两图线的交点的意义是什么？
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度。
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相反。
(2)两图线的交点表示此时刻两个物体的速度相同。
(3)A的初速度vA0＝2 m/s，1 s末A物体的速度为vA＝vA0＋a1t1＝3 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的初速度vB0＝8 m/s，1 s末B物体的速度vB＝vB0＋a2t1＝6 m/s，方向与规定的正方向相同。
(4)6 s末A物体的速度为vA＝vA0＋a1t6＝8 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度为vB＝vB0＋a2t6＝－4 m/s，方向与规定的正方向相反。
[答案] 见解析
应用v-t图像的三点注意事项
(1)正确认识v-t图像，从图像中读出需要的信息是解题的关键。其中图线斜率k＞0，加速度为正，图线斜率k＜0，加速度为负。
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小。
(3)v-t图线为直线且跨过t轴，可分段分析也可全程分析；v-t图线是折线一般采用分段分析。
[跟进训练]
1．如图所示的是一个质点在水平面上运动的v-t图像，以下判断正确的是( )
A．在0～1 s的时间内，质点在做匀加速直线运动
B．在0～3 s的时间内，质点的加速度方向发生了变化
C．第6 s末，质点的加速度为零
D．第6 s内质点速度变化量为－4 m/s
D [由题图像可知，在0～1 s的时间内，质点在做匀减速直线运动，A错误；图像的斜率表示加速度，由图像可知，在0～3 s的时间内，质点的加速度方向没有发生变化，B错误；因5～6.5 s的时间内，直线的斜率不变，加速度不变，可知第6 s末质点的加速度不为零，C错误；第6 s内质点速度变化量为：0－4 m/s＝－4 m/s，D正确。]
2．(多选)(2022·青岛二中高一月考)亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国海军发射爆震弹成功将其驱逐。假如其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s
B．海盗快艇在66 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在0～66 s做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
AC [从v-t图像上得知海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s，在0～66 s内v-t图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，选项A、C正确；在66 s末海盗快艇速度方向没变，速度大小减小，选项B错误；在96～116 s内海盗快艇调头做匀加速直线运动，选项D错误。]
匀变速直线运动速度与时间的关系
1．速度公式：v＝v0＋at。
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at。
如图所示，同学们探究了小车在槽码牵引下的运动，并且用v-t图像直观地描述了小车的速度随时间变化的规律。从纯数学角度看，一次函数的表达式为y＝b＋kx，结合v-t图像。
问题1 结合v-t图像，函数y＝b＋kx中的y、x分别表示哪个物理量？
提示：y、x分别表示速度和时间。
问题2 由v-t图像可知，小车的初速度是多大？加速度是多大？
提示：小车的初速度是0.3 m/s，加速度是1.0 m/s2。
问题3 结合v-t图像，函数y＝b＋kx中的k、b分别表示哪个物理量？
提示：k、b分别表示加速度和初速度。
问题4 这个v-t图像反映出小车的速度随时间的关系式是怎样的？
提示：由函数y＝b＋kx得v＝v0＋at，小车的速度随时间的关系式是v＝0.3＋t。
1．公式v＝v0＋at中各量的物理意义
v0是开始时刻的速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内速度的变化量，即Δv＝at。
2．公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：
公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0。若v＞0，说明v与v0方向相同，若v＜0，说明v与v0方向相反。
4．两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，v＝at。
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a＝0时，v＝v0。
即加速度为零的运动是匀速直线运动。
【典例2】 (2022·山东济南高一阶段检测)火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
[解析] 以火车运动的方向为正方向，v0＝54 km/h＝15 m/s，v1＝43.2 km/h＝12 m/s。
(1)由加速度定义式可知：
a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2
负号表示方向与火车运动方向相反。
(2)火车从开始减速到停止行驶所用的时间
t＝＝ s＝30 s，
所以15 s末的速度大小为：
v1＝v0＋at1＝[15＋(－0.5)×15] m/s＝7.5 m/s。
[答案] (1)0.5 m/s2，方向与火车运动方向相反 (2)7.5 m/s
[母题变式]
上例中关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，45 s末的速度大小为多少？
[解析] 由(2)分析可知，火车从开始减速到停止行驶所用的时间为30 s，所以火车在45 s末的速度为零。
[答案] 0
机车“刹车”运动问题的常规思路：
(1)先确定刹车时间。若车辆从刹车到速度减为零所用的时间为T，则刹车时间为T＝。
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较。若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。
[跟进训练]
3．关于两个做匀变速直线运动的质点，下列说法中正确的是( )
A．经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大
B．若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大
C．若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大
D．相同时间内，加速度大的质点速度变化必定大
D [由v＝v0＋at可知，a的大小除与t、v有关之外，还与v0有关，所以经过相同时间t，v大的其加速度a未必一定大，故A错误；速度的变化Δv＝v－v0＝at，由于不知道时间的关系，所以无法判断加速度的大小，故B错误；若a相同，由于时间t未知，所以也无法判断v的大小，故C错误；若t相同，则Δv＝v－v0＝at，a大时，Δv一定大，故D正确。]
4．一辆以72 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为2 m/s2的加速度，汽车刹车后12 s末的速度为( )
A．48 m/s，向东 B．4 m/s，向东 C．4 m/s，向西 D．0
D [72 km/h＝20 m/s，汽车减速到停止的时间为t＝＝ s＝10 s，12 s>10 s，汽车在12 s末时已经停止，速度为零，故D正确。]
1．物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是( )
A．加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动
B．加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C．加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D．若物体在运动的过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
C [物体速度为负值，加速度为负值且保持不变时是匀加速直线运动，A错误；加速度是矢量，加速度大小不变，若方向改变，则加速度是变化的，不是匀变速直线运动，B错误，C正确；速度的方向发生改变，加速度可能保持不变，即可能为匀变速直线运动，例如，物体在做匀减速直线运动时，当速度减小到零后，运动的方向会发生改变，变为反向匀加速直线运动，D错误。]
2．一个做匀变速直线运动的质点的v-t图像如图所示，由图线可知其速度与时间的关系为( )
A．v＝(4＋2t) m/s B．v＝(－4＋2t) m/s
C．v＝(－4－2t) m/s D．v＝(4－2t) m/s
B [由v-t图像可知v0＝－4 m/s，a＝2 m/s2，所以由v＝v0＋at可知，v＝(－4＋2t) m/s，故B对。]
3．将某汽车的刹车过程视为匀变速直线运动。该汽车在紧急刹车时加速度的大小为6 m/s2，恰好在2 s内停下来，则选项图中能正确表示该汽车刹车过程的是( )
A B
C D
A [汽车在紧急刹车时加速度的大小为6 m/s2，在2 s内停下来，则a＝－6 m/s2，由匀变速直线运动的速度公式得0＝v0＋at，解得v0＝12 m/s，即在2 s内汽车速度从12 m/s变成0，能正确表示该汽车刹车过程的v-t图像是A项。]
4．一质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s。下列说法正确的是( )
A．质点在前4 s内做匀加速运动
B．质点的初速度是20 m/s
C．质点的加速度大小是5 m/s2
D．t＝4 s时，质点的加速度不为零
D [质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s，结合公式v＝v0＋at，可得质点的初速度v0＝40 m/s，质点的加速度a＝－10 m/s2，则质点的加速度大小是10 m/s2，故B、C错误；由题给出的表达式得，经过4 s后质点的速度减小为零，质点的加速度不变，则质点在前4 s内做匀减速运动，4 s后做反方向的匀加速运动，t＝4 s时，质点的加速度仍为－10 m/s2，故D正确，A错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果物体运动的v-t图像是一条倾斜的直线，物体做什么运动？
提示：物体做匀变速直线运动。
2．计时开始时(t0＝0)物体做匀变速直线运动的速度是v0，加速度是a，它在t时刻的速度v是多少？
提示：v＝v0＋at。
3．如果物体做匀减速直线运动，公式v＝v0＋at还适用于求任意时刻的速度吗？
提示：适用。
4．在“刹车”类问题中要关注什么？
提示：关注实际停止的时间。第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
学习任务 1．根据实验得到的v t图像是一条倾斜的直线，建构匀变速直线运动的模型，了解匀变速直线运动的特点。 2．能根据v t图像得出匀变速直线运动的速度与时间的关系式，理解公式的含义。 3．能应用匀变速直线运动的速度与时间的关系式或v t图像分析和解决生产、生活中的实际问题。
匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且________不变的运动。
2．分类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间________________________。
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间________________。
3．v t图像：匀变速直线运动的v t图像是一条________的直线。
济青高铁通车后，一位旅客从青岛乘坐动车到达济南用了1小时54分钟，大大节约了行程时间。假设动车运动过程中不同阶段的v t图像如图所示。
问题1 上图中动车运动过程中不同阶段分别做什么运动？
问题2 在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？
问题3 在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？
问题4 匀变速直线运动有哪些特点？
1．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变。
(2)v t图像是一条倾斜直线。
2．v t图像与物体的运动
(1)匀速直线运动的v t图像是一条平行于时间轴的直线。
(2)匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动。
①v t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向。
②v t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度。
(3)非匀变速直线运动的v t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度。
图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大。甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，加速度减小。
3．v t图像的两点提醒
(1)v t图像与时间轴的交点表示速度方向的改变(如图线a中t4时刻和图线b中t3时刻)，折点表示加速度方向的改变(如图线a中t2时刻所示)。
(2)v t图像中两图像相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇(如图所示的t1时刻)。
【典例1】 如图所示为A、B两个物体做匀变速直线运动的v t图像。
(1)A、B各做什么运动？求其加速度；
(2)两图线的交点的意义是什么？
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度。
[听课记录]
应用v t图像的三点注意事项
(1)正确认识v t图像，从图像中读出需要的信息是解题的关键。其中图线斜率k＞0，加速度为正，图线斜率k＜0，加速度为负。
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小。
(3)v t图线为直线且跨过t轴，可分段分析也可全程分析；v t图线是折线一般采用分段分析。
[跟进训练]
1．如图所示的是一个质点在水平面上运动的v t图像，以下判断正确的是( )
A．在0～1 s的时间内，质点在做匀加速直线运动
B．在0～3 s的时间内，质点的加速度方向发生了变化
C．第6 s末，质点的加速度为零
D．第6 s内质点速度变化量为－4 m/s
2．(多选)(2022·青岛二中高一月考)亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国海军发射爆震弹成功将其驱逐。假如其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s
B．海盗快艇在66 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在0～66 s做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
匀变速直线运动速度与时间的关系
1．速度公式：v＝________。
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的________加上在整个过程中速度的________。
如图所示，同学们探究了小车在槽码牵引下的运动，并且用v t图像直观地描述了小车的速度随时间变化的规律。从纯数学角度看，一次函数的表达式为y＝b＋kx，结合v t图像。
问题1 结合v t图像，函数y＝b＋kx中的y、x分别表示哪个物理量？
问题2 由v t图像可知，小车的初速度是多大？加速度是多大？
问题3 结合v t图像，函数y＝b＋kx中的k、b分别表示哪个物理量？
问题4 这个v t图像反映出小车的速度随时间的关系式是怎样的？
1．公式v＝v0＋at中各量的物理意义
v0是开始时刻的速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内速度的变化量，即Δv＝at。
2．公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：
公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0。若v＞0，说明v与v0方向相同，若v＜0，说明v与v0方向相反。
4．两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，v＝at。
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a＝0时，v＝v0。
即加速度为零的运动是匀速直线运动。
【典例2】 (2022·山东济南高一阶段检测)火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
[听课记录]
[母题变式]
上例中关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，45 s末的速度大小为多少？
机车“刹车”运动问题的常规思路：
(1)先确定刹车时间。若车辆从刹车到速度减为零所用的时间为T，则刹车时间为T＝。
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较。若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。
[跟进训练]
3．关于两个做匀变速直线运动的质点，下列说法中正确的是( )
A．经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大
B．若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大
C．若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大
D. ．相同时间内，加速度大的质点速度变化必定大
4．一辆以72 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为2 m/s2的加速度，汽车刹车后12 s末的速度为( )
A．48 m/s，向东 B．4 m/s，向东
C．4 m/s，向西 D．0
1．物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是( )
A．加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动
B．加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C．加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D．若物体在运动的过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
2．一个做匀变速直线运动的质点的v t图像如图所示，由图线可知其速度与时间的关系为( )
A．v＝(4＋2t) m/s B．v＝(－4＋2t) m/s
C．v＝(－4－2t) m/s D．v＝(4－2t) m/s
3．将某汽车的刹车过程视为匀变速直线运动。该汽车在紧急刹车时加速度的大小为6 m/s2，恰好在2 s内停下来，则选项图中能正确表示该汽车刹车过程的是( )
A B
C D
4．一质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s。下列说法正确的是( )
A．质点在前4 s内做匀加速运动
B．质点的初速度是20 m/s
C．质点的加速度大小是5 m/s2
D．t＝4 s时，质点的加速度不为零
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果物体运动的v t图像是一条倾斜的直线，物体做什么运动？
2．计时开始时(t0＝0)物体做匀变速直线运动的速度是v0，加速度是a，它在t时刻的速度v是多少？
3．如果物体做匀减速直线运动，公式v＝v0＋at还适用于求任意时刻的速度吗？
4．在“刹车”类问题中要关注什么？第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习任务 1．知道匀变速直线运动的位移与v-t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。 2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。 3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。 4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。 5．会用公式＝2ax进行分析和计算。
匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。
2．位移与时间关系式：x＝v0t＋at2。
当初速度为0时，x＝at2。
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
提示：加速度方向不同。
问题2 根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正负号如何确定？
提示：根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
问题3 汽车加速过程的位移与时间成正比吗？
提示：不是，与时间的平方成正比。
1．对x＝v0t＋at2的理解
(1)公式反映了位移随时间的变化规律，仅适用于匀变速直线运动。
(2)各符号的意义
(3)公式的用途：公式x＝v0t＋at2中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。公式中各物理量的单位应取国际单位制单位。
2．对公式的两点说明
(1)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。
(2)公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。
角度1 对匀变速直线运动的位移公式的理解
【典例1】 一物体在水平面上做匀变速直线运动，其位移与时间的数量关系为x＝24t－6t2，x与t的单位分别是m和s，则它的速度等于零的时刻t为( )
A． s B．2 s C．6 s D．24 s
B [由x＝24t－6t2，知v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，再根据v＝v0＋at，得t＝ s＝2 s，故选项B正确。]
角度2 匀变速直线运动位移公式的应用
【典例2】 (2022·吉林省长春市东北师大附中高一上期中)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
[解析] (1)加速过程的末速度为v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。
(2)减速运动时a3＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2，方向水平向左。
(3)加速位移x1＝＝×1×52 m＝12.5 m
匀速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
减速位移x3＝vt3＋＝5×2－×2.5×22＝5 m
总位移x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案] (1)5 m/s (2)－2.5 m/s2，方向水平向左 (3)37.5 m
应用位移公式x＝v0t＋at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
[跟进训练]
1．某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
D [赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝－解得赛车第4 s内的位移Δx＝14 m，故C错误，D正确。]
匀变速直线运动速度与位移的关系
1．公式：＝2ax。
2．推导
速度公式：v＝v0＋at。
位移公式：x＝v0t＋at2。
由以上两式消去t得：＝2ax。
如图所示，是“歼?15”战机在“辽宁舰”上起飞的画面，若已知“歼?15”战机的加速度为a，起飞速度为v。
问题1 如果“辽宁舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？
提示：根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝。
问题2 如果“辽宁舰”以v0匀速航行呢？
提示：根据＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝。
问题3 如果知道飞机在静止航母甲板上的航行距离，能否推算飞机刚落到甲板上的速度？为什么？
提示：能，因为速度和位移存在一定的关系，即＝2ax。
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例3】 汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？
[思路点拨] 汽车刹车后做匀减速直线运动，运动过程如图所示。在第一问中，已知初速度、加速度和时间的信息求位移，可用位移—时间关系式；在第二问中，通过初速度、加速度和末速度的信息求位移，可用位移—速度关系式。
[解析] 选定初速度方向为正方向，由题意知
v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，vt＝0，t＝2 s。
根据速度公式vt＝v0＋at0，可知汽车刹车至静止时的时间
t0＝＝＝5.56 s
因为t＜t0，所以汽车在刹车后2 s内一直运动。根据位移公式，可得开始制动后2 s内汽车的位移s1＝v0t＋at2＝27.8 m/s×2 s＋×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根据公式＝2as2，可得汽车从开始制动到完全停止的位移
s2＝＝≈77.3 m
所以，开始制动后2 s内汽车行驶的距离为45.6 m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3 m。
[答案] 45.6 m 77.3 m
应用速度—位移关系的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用＝2ax。
(2)选用＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
[跟进训练]
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s 时，它的位移是( )
A．x B．x C．2x D．3x
B [由＝2ax得102－52＝2ax，152－102＝2ax′，两式联立可得x′＝x，故B正确。]
3．(2022·重庆市南开中学高一期中)重庆国际汽车工业展览会上，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引人注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1 s内的位移是24 m，加速度大小为8 m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4 s内发生的位移。
[解析] 由题意得：
(1)前1 s内位移s＝v0t－at2，代入得v0＝28 m/s。
(2)当车停下时0＝v0－at0，得t0＝3.5 s<4 s
故在3.5 s时汽车已停止，由－2ax＝，得x＝49 m。
[答案] (1)28 m/s (2)49 m
1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系式为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s
A [由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，再由速度公式v＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确。]
2．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
B [由题意知x3＝v0t3＋－，代入数据得4.5＝2×3＋×a×32－2×2－×a×22，解得a＝1.0 m/s2，故B正确。]
3．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
C [根据匀变速直线运动的速度位移公式v2＝2ax知x＝，所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3。故C正确。]
4．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，零时刻起，汽车运动过程的位移与速度的关系式为x＝(10－0.1v2) m，下列分析正确的是( )
A．上述过程的加速度大小为10 m/s2
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．0时刻的初速度为10 m/s
D．刹车过程的位移为5 m
C [由＝2ax可得x＝－＋v2，对照x＝10－0.1v2可知，＝－0.1，－＝10，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，选项A错误，C正确；由v＝v0＋at可得，刹车过程持续的时间为t＝2 s，由＝2ax可得，刹车过程的位移为x＝10 m，选项B、D错误。]
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，式中x的含义是什么？
提示：x是物体在时间t内的位移，如果认为物体在t＝0时刻位于坐标原点，则x也是物体在时刻t的位置。
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
提示：若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负数。
3．速度与位移关系式2ax＝是怎样推导出来的？
提示：运用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2两个公式联立，消掉时间t。
4．解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法？
提示：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式＝2ax。第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习任务 1．知道匀变速直线运动的位移与v t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。 2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。 3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。 4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。 5．会用公式＝2ax进行分析和计算。
匀变速直线运动的位移
1．位移在v t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v t图像中的图线和________包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于________的面积。
2．位移与时间关系式：x＝________。
当初速度为0时，x＝________。
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
问题2 根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正负号如何确定？
问题3 汽车加速过程的位移与时间成正比吗？
1．对x＝v0t＋at2的理解
(1)公式反映了位移随时间的变化规律，仅适用于匀变速直线运动。
(2)各符号的意义
(3)公式的用途：公式x＝v0t＋at2中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。公式中各物理量的单位应取国际单位制单位。
2．对公式的两点说明
(1)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。
(2)公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。
角度1 对匀变速直线运动的位移公式的理解
【典例1】 一物体在水平面上做匀变速直线运动，其位移与时间的数量关系为x＝24t－6t2，x与t的单位分别是m和s，则它的速度等于零的时刻t为( )
A． s B．2 s C．6 s D．24 s
[听课记录]
角度2 匀变速直线运动位移公式的应用
【典例2】 (2022·吉林省长春市东北师大附中高一上期中)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
[听课记录]
应用位移公式x＝v0t＋at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
[跟进训练]
1．某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
匀变速直线运动速度与位移的关系
1．公式：＝________。
2．推导
速度公式：v＝________。
位移公式：x＝________。
由以上两式消去t得：＝________。
如图所示，是“歼-15”战机在“辽宁舰”上起飞的画面，若已知“歼-15”战机的加速度为a，起飞速度为v。
问题1 如果“辽宁舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？
问题2 如果“辽宁舰”以v0匀速航行呢？
问题3 如果知道飞机在静止航母甲板上的航行距离，能否推算飞机刚落到甲板上的速度？为什么？
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例3】 汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？
[思路点拨] 汽车刹车后做匀减速直线运动，运动过程如图所示。在第一问中，已知初速度、加速度和时间的信息求位移，可用位移—时间关系式；在第二问中，通过初速度、加速度和末速度的信息求位移，可用位移—速度关系式。
[听课记录]
应用速度—位移关系的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用＝2ax。
(2)选用＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
[跟进训练]
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
A．x B．x C．2x D．3x
3．(2022·重庆市南开中学高一期中)重庆国际汽车工业展览会上，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引人注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1 s内的位移是24 m，加速度大小为8 m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4 s内发生的位移。
1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系式为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A．1.25 s B．2.5 s
C．3 s D．6 s
2．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
3．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
4．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，零时刻起，汽车运动过程的位移与速度的关系式为x＝(10－0.1v2) m，下列分析正确的是( )
A．上述过程的加速度大小为10 m/s2
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．0时刻的初速度为10 m/s
D．刹车过程的位移为5 m
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，式中x的含义是什么？
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
3．速度与位移关系式2ax＝是怎样推导出来的？
4．解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法？第4节 自由落体运动
学习任务 1．知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。 2．会探究自由落体运动规律和测定自由落体运动的加速度，知道重力加速度的大小和方向。 3．会运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题。 4．了解伽利略研究自由落体运动的科学方法和探究过程。
自由落体运动
1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢跟它的轻重有关，重的物体下落得快。
2．伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了他的论断。
(2)猜想：重的物体与轻的物体应该下落得同样快。
3．自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
(2)条件
(3)实际运动：物体下落时由于受空气阻力的作用，物体的下落不是自由落体运动；只有当空气阻力比较小，可以忽略时，物体的下落可以近似看作自由落体运动。
观察下列两幅图片，思考有关问题：
问题1 伽利略的“比萨斜塔实验”：让重的铁球和轻的铁球同时下落，结果发现了什么现象？
提示：两球几乎同时落地。
问题2 上述现象说明什么？
提示：空气阻力对两个铁球的运动的影响可以忽略，两球下落可以看成自由落体运动。
问题3 小球的运动性质是什么？
提示：初速度为零的匀加速直线运动。
问题4 航天员在月球上的实验：铁球与羽毛同时由静止释放，同时落地。简单解释为什么。
提示：月球表面没有空气，铁球与羽毛都做自由落体运动。
1．物体做自由落体运动的两个条件
(1)初速度为零；
(2)除重力之外不受其他力的作用。
2．自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。
(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
3．运动特点：初速度为零，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。是匀变速直线运动的特例。
【典例1】 (多选)下列说法正确的是( )
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫作自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫作自由落体运动
D．当空气阻力可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
CD [自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，选项A、B错误，C正确。当空气阻力比较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动，选项D正确。]
[跟进训练]
1．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．质量大的物体自由下落时的加速度大
B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动
C．雨滴下落的运动是自由落体运动
D．从水龙头上滴落的水滴的下落运动，可以近似看成自由落体运动
D [所有物体在同一地点的重力加速度相等，与物体质量的大小无关，选项A错误；从水平飞行的飞机上释放的物体，具有水平初速度，不是自由落体运动，选项B错误；雨滴下落时所受空气阻力与速度大小有关，速度增大时阻力增大，雨滴速度增大到一定值时，阻力与重力相比不可忽略，不能认为是自由落体运动，选项C错误；从水龙头上滴落的水滴所受的空气阻力与重力相比可忽略不计，可认为只受重力作用，选项D正确。]
自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。
2．方向：总是竖直向下。
3．大小：在地球上不同的地方，g的大小是不同的。一般的计算中，g取9.8 m/s2，近似计算时，g取10 m/s2。
跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等航空器或其他器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，并借助空气动力和降落伞在张开降落伞之前和开伞后完成各种规定动作。跳伞过程主要包括离机、自由坠落、开伞、降落和着陆的一项体育运动。
问题1 两质量不同的跳伞运动员，做自由落体运动的加速度一样吗？
提示：一样。
问题2 重力加速度的方向如何确定？
提示：竖直向下。
问题3 在地球上的不同位置，自由落体加速度一定相同吗？
提示：不相同。
1．自由落体加速度——重力加速度
产生原因 由于地球上的物体受到地球的吸引而产生
大小 与物体质量无关，与所处于地球上的位置及距地面的高度有关，在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2
与纬度 关系 在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小
与高度 关系 在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变
方向 竖直向下，由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的
2．两点提醒
(1)重力加速度的方向既不能说是“垂直向下”，也不能说是“指向地心”，只有在赤道或两极时重力加速度的方向才指向地心。
(2)物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但不同天体表面的重力加速度不同。
【典例2】 (多选)关于重力加速度的说法正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g值的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g越小
BCD [首先重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同，选项A错误。在地球的表面，不同的地方，g值的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，选项B正确。在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐变小，选项C、D正确。]
[跟进训练]
2．关于重力加速度，以下说法正确的是( )
A．轻重不同的物体的重力加速度不同
B．重力加速度表示自由下落的物体运动的快慢
C．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的大小
D．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢
D [重力加速度的大小与所处的位置有关，与物体的大小、形状、质量无关，轻重不同的物体在同一地点具有相同的重力加速度，故A项错误；重力加速度是物体只受重力时产生的加速度，表示自由落体运动速度变化的快慢，与速度大小以及速度变化均无关，故D项正确，B、C项错误。]
自由落体运动规律的应用
1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。
2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动。
3．自由落体运动的速度、位移与时间的关系式：v＝gt，x＝gt2。
一位同学用两个手指捏住直尺的顶端，你用一只手在直尺下方做握住直尺的准备，但手不能碰到直尺，记下这时手指在直尺上的位置。当看到那位同学放开直尺时，你立即捏住直尺。测出直尺降落的高度，就可以算出你做出反应所用的时间，如图所示。
问题1 直尺运动的运动性质是什么？
提示：直尺做自由落体运动。
问题2 测反应时间的原理是什么？
提示：读出被捏住时直尺下落高度为h，直尺做自由落体运动，由h＝gt2，得下落时间(反应时间)为t＝。
问题3 自由落体运动的运动时间由哪些因素决定？
提示：由下落高度与当地的重力加速度决定。
1．匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
比较项目 匀变速直线运动的一般规律 自由落体运动规律
速度公式 v＝v0＋at v＝gt
平均速度公式 ＝ ＝
位移公式 x＝v0t＋at2 x＝gt2
位移与速 度的关系 ＝2ax v2＝2gh
推论 Δx＝aT 2 Δx＝gT 2
2．关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；
(2)前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2；
(3)第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)；
(4)通过第1个h，第2个h，第3个h，…第n个h所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
【典例3】 (一题多法)小敏在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿。小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子(g取10 m/s2)，求：
(1)滴水的时间间隔；
(2)此屋檐离地面多高。
[解析] 法一：基本公式法
设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T。
由位移公式h＝gt2得，
第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
则屋檐高h＝g·(4T)2＝3.2 m。
法二：比例法
由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是1l、3l、5l、7l。
由题意知，窗子高为5l，则5l＝1 m，l＝0.2 m，
屋檐高h＝1l＋3l＋5l＋7l＝16l＝3.2 m。
由l＝gt2得滴水的时间间隔t＝＝0.2 s。
法三：平均速度法
设滴水间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝。其中h＝1 m。
由于雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
又v2.5＝，所以＝2.5 gT，
解得T＝0.2 s，
屋檐高h＝g·(4T)2＝3.2 m。
[答案] (1)0.2 s (2)3.2 m
应用自由落体规律应注意两点
(1)自由落体运动是一种特殊的匀变速直线运动，故匀变速直线运动的基本公式、推论对于自由落体运动都是适用的，但加速度为重力加速度g。
(2)应用自由落体运动的规律时，应先确定研究对象，选定研究过程，明确物体的运动情况，结合自由落体运动规律进行求解。
[跟进训练]
3．(多选)物体从离地面高45 m处做自由落体运动(g取10 m/s2)，则下列说法中正确的是( )
A．物体运动3 s后落地
B．物体落地时的速度大小为30 m/s
C．物体在落地前最后1 s内的位移大小为15 m
D．物体在整个下落过程中的平均速度大小为20 m/s
AB [根据位移公式h＝gt2，有t＝＝3 s，故A正确；根据速度与位移的关系公式v2＝2gh，得v＝＝30 m/s，故B正确；物体在落地前最后1 s内的位移大小：h2＝h－＝45 m－×10×22 m＝25 m，故C错误；由平均速度定义可得，物体在整个下落过程中的平均速度大小：＝＝ m/s＝15 m/s，故D错误。]
4．(2022·黑龙江省大庆市大庆中学高一检测)一物体自某高度静止释放，忽略空气阻力，落地之前瞬间的速度为v。在运动过程中( )
A．物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶2
B．物体在位移中点的速度等于v
C．物体通过前一半位移和后半位移所用时间之比为1∶(－1)
D．物体在中间时刻的速度等于v
C [根据h＝gt2可知，当运动时间之比为1∶2时，物体前一半时间的位移与总位移之比为1∶4，则物体在前一半时间和后一半时间发生位移之比为1∶3，故A错误；设总位移为h，中点时的速度为vt＝＝，终点速度为v＝，联立可得v中＝v，故B错误；设总位移为h，则物体通过前一半位移时间为t1＝＝，物体通过总位移的时间为t2＝，则＝，则物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为1∶(－1)，故C正确；由v＝gt可知物体在中间时刻的速度为vt＝g＝＝，故D错误。故选C。]
自由落体运动的实验探究
1．实验仪器——打点计时器
(1)按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹。
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT 2求出重力加速度的大小。
2．实验步骤
(1)把打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电源。
(2)把纸带穿过两个限位孔，下端通过铁夹将重物和纸带连接起来，让重物靠近打点计时器。
(3)用手捏住纸带上端，把纸带拉成竖直状态，先接通电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点。
(4)重复几次，选取一条点迹清晰的纸带分析。
1．数据处理方法
(1)逐差法
虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法。
利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝，或由a＝直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，假设为5段，则不用第3段，则a1＝，a2＝，然后取平均值，即＝或由a＝直接求得，这样所给的数据充分得到了利用，提高了准确度。
(2)v-t图像法
根据纸带，求出各时刻的瞬时速度，作出v-t图像，求出该v-t图像的斜率k，则k＝a．这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，有效地减少偶然误差。
2．注意事项
(1)应选用质量和密度较大的重物。增大重物的重力可使阻力的影响相对减小。
(2)打点计时器应竖直放置，以减小阻力。
(3)重物应从靠近打点计时器处释放，要先接通打点计时器的电源，再释放纸带。
【典例4】 (2022·西宁实验中学高一检测)某同学用如图所示的装置测定重力加速度：
(1)电火花计时器的工作电压为________，频率为________。
(2)打出的纸带如图所示，实验时纸带的______(选填“甲”或“乙”)端应和重物相连接。
(3)纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出实验时的加速度为________m/s2。
(4)当地的重力加速度数值为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因_______________________________________________________
___________________________________________________________________。
[解析] (1)由于电火花计时器直接接入照明电路，其工作电压为220 V，频率为50 Hz。
(2)由于各点之间时间间隔均为0.02 s，相邻两点间距离较小处重物下落较慢，由此可知，乙端与重物相连。
(3)由Δx＝aT 2得x7－x2＝5aT 2，由此可得a＝＝f 2＝m/s2＝9.40 m/s2。
(4)重物拖着纸带下落时受到摩擦力和空气阻力作用，加速度必然小于重力加速度
[答案] (1)220 V 50 Hz (2)乙 (3)9.40 (4)重物拖着纸带下落时受到摩擦力和空气阻力作用，加速度必然小于重力加速度
[跟进训练]
5．某同学用如图甲所示装置测量自由落体加速度g，得到如图乙所示的一段纸带，他每两个点取一个计数点(已知交流电频率为50 Hz)，测得AB＝7.65 cm，BC＝9.17 cm。则打B点时重物的瞬时速度为________ m/s，测得的自由落体加速度g＝________ m/s2，它比真实值偏________(选填“大”或“小”)。(结果均保留两位有效数字)
[解析] vB＝≈2.1 m/s，由Δx＝aT 2可得g＝＝9.5 m/s2，比真实值偏小。
[答案] 2.1 9.5 小
1．(2022·湖南省湘潭市第一中学高一上期中)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体从静止开始下落的运动叫自由落体运动
B．物体在只有重力作用下的运动叫作自由落体运动
C．在有空气的空间里，如果空气阻力与重力相比可以忽略不计，物体从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动
D．在地球上不同的地方，自由落体加速度的大小是相同的
C [物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动，选项A、B错误；在有空气的空间里，如果空气阻力与重力相比可以忽略不计，物体从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动，选项C正确；在地球上不同的纬度自由落体加速度的大小是不相同的，两极最大，赤道最小，选项D错误。故选C。]
2．跳水运动员训练时从10 m跳台双脚朝下自由落下，某同学利用手机的连拍功能，连拍了多张照片。从其中两张连续的照片中可知，运动员双脚离水面的实际高度分别为5.0 m和2.8 m。由此估算手机连拍时间间隔最接近以下哪个数值( )
A．1×10-1 s B．2×10-1 s
C．1×10-2 s D．2×10-2 s
B [设在该同学拍这两张照片时运动员下落高度h1、h2所用的时间分别为t1、t2，则h1＝10 m－5 m＝5 m，t1＝＝1 s。h2＝10 m－2.8 m＝7.2 m，t2＝＝1.2 s。所以手机连拍时间间隔为Δt＝t2－t1＝2×10-1 s，故B项正确。]
3．如图所示， 某同学测出一棵苹果树树干部分的高度约为1.6 m，一个苹果从树冠顶端的树梢上由于受到扰动而自由下落，该同学测出苹果经过树干所用的时间为0.2 s，重力加速度取10 m/s2，则：
(1)苹果树树冠部分的高度约为多少？
(2)苹果落地时的速度为多大？
[解析] (1)设树冠高度为h1，树干高度为h2，
苹果从顶部下落到树干顶部的速度为v0，则
h2＝v0t＋gt2
得v0＝7 m/s
又＝2gh1，得h1＝2.45 m。
(2)设树的总高度为H，苹果落地的速度为v1
＝2gH，H＝h1＋h2＝4.05 m，解得v1＝9 m/s。
[答案] (1)2.45 m (2)9 m/s
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．轻重不同的物体从同一高度自由落下，哪个物体下落得快？什么因素影响物体下落的快慢？
提示：①轻重不同的物体下落得一样快，与物体质量无关。②空气阻力。
2．自由落体运动是怎样的运动？
提示：初速度为0的匀变速直线运动。
3．怎样表达自由落体运动的速度、下落的高度与下落的时间关系？
提示：v＝gt，x＝gt2。第4节 自由落体运动
学习任务 1．知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。 2．会探究自由落体运动规律和测定自由落体运动的加速度，知道重力加速度的大小和方向。 3．会运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题。 4．了解伽利略研究自由落体运动的科学方法和探究过程。
自由落体运动
1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢跟它的________有关，________的物体下落得快。
2．伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从____________的论断出发，通过逻辑推理，否定了他的论断。
(2)猜想：重的物体与轻的物体应该下落得________快。
3．自由落体运动
(1)定义：物体只在________作用下从________开始下落的运动。
(2)条件
(3)实际运动：物体下落时由于受____________的作用，物体的下落不是自由落体运动；只有当空气阻力比较小，可以忽略时，物体的下落可以近似看作____________运动。
观察下列两幅图片，思考有关问题：
问题1 伽利略的“比萨斜塔实验”：让重的铁球和轻的铁球同时下落，结果发现了什么现象？
问题2 上述现象说明什么？
问题3 小球的运动性质是什么？
问题4 航天员在月球上的实验：铁球与羽毛同时由静止释放，同时落地。简单解释为什么。
1．物体做自由落体运动的两个条件
(1)初速度为零；
(2)除重力之外不受其他力的作用。
2．自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。
(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
3．运动特点：初速度为零，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。是匀变速直线运动的特例。
【典例1】 (多选)下列说法正确的是( )
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫作自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫作自由落体运动
D．当空气阻力可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
[听课记录]
[跟进训练]
1．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．质量大的物体自由下落时的加速度大
B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动
C．雨滴下落的运动是自由落体运动
D．从水龙头上滴落的水滴的下落运动，可以近似看成自由落体运动
自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都________，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作____________，通常用g表示。
2．方向：总是________。
3．大小：在地球上不同的地方，g的大小是不同的。一般的计算中，g取________ m/s2，近似计算时，g取________ m/s2。
跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等航空器或其他器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，并借助空气动力和降落伞在张开降落伞之前和开伞后完成各种规定动作。跳伞过程主要包括离机、自由坠落、开伞、降落和着陆的一项体育运动。
问题1 两质量不同的跳伞运动员，做自由落体运动的加速度一样吗？
问题2 重力加速度的方向如何确定？
问题3 在地球上的不同位置，自由落体加速度一定相同吗？
1．自由落体加速度——重力加速度
产生原因 由于地球上的物体受到地球的吸引而产生
大小 与物体质量无关，与所处于地球上的位置及距地面的高度有关，在一般的计算中，可以取g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2
与纬度 关系 在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小
与高度 关系 在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变
方向 竖直向下，由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的
2．两点提醒
(1)重力加速度的方向既不能说是“垂直向下”，也不能说是“指向地心”，只有在赤道或两极时重力加速度的方向才指向地心。
(2)物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但不同天体表面的重力加速度不同。
【典例2】 (多选)关于重力加速度的说法正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g值的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g越小
[听课记录]
[跟进训练]
2．关于重力加速度，以下说法正确的是( )
A．轻重不同的物体的重力加速度不同
B．重力加速度表示自由下落的物体运动的快慢
C．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的大小
D．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢
自由落体运动规律的应用
1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的____________运动。
2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于________________。
3．自由落体运动的速度、位移与时间的关系式：v＝________，x＝gt2。
一位同学用两个手指捏住直尺的顶端，你用一只手在直尺下方做握住直尺的准备，但手不能碰到直尺，记下这时手指在直尺上的位置。当看到那位同学放开直尺时，你立即捏住直尺。测出直尺降落的高度，就可以算出你做出反应所用的时间，如图所示。
问题1 直尺运动的运动性质是什么？
问题2 测反应时间的原理是什么？
问题3 自由落体运动的运动时间由哪些因素决定？
1．匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
比较项目 匀变速直线运动的一般规律 自由落体运动规律
速度公式 v＝v0＋at v＝gt
平均速度公式 ＝ ＝
位移公式 x＝v0t＋at2 x＝gt2
位移与速度的关系 ＝2ax v2＝2gh
推论 Δx＝aT2 Δx＝gT2
2．关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；
(2)前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2；
(3)第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)；
(4)通过第1个h，第2个h，第3个h，…第n个h所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶()∶…∶()。
【典例3】 (一题多法)小敏在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿。小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子(g取10 m/s2)，求：
(1)滴水的时间间隔；
(2)此屋檐离地面多高。
[听课记录]
应用自由落体规律应注意两点
(1)自由落体运动是一种特殊的匀变速直线运动，故匀变速直线运动的基本公式、推论对于自由落体运动都是适用的，但加速度为重力加速度g。
(2)应用自由落体运动的规律时，应先确定研究对象，选定研究过程，明确物体的运动情况，结合自由落体运动规律进行求解。
[跟进训练]
3．(多选)物体从离地面高45 m处做自由落体运动(g取10 m/s2)，则下列说法中正确的是( )
A．物体运动3 s后落地
B．物体落地时的速度大小为30 m/s
C．物体在落地前最后1 s内的位移大小为15 m
D．物体在整个下落过程中的平均速度大小为20 m/s
4．(2022·黑龙江省大庆市大庆中学高一检测)一物体自某高度静止释放，忽略空气阻力，落地之前瞬间的速度为v。在运动过程中( )
A．物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶2
B．物体在位移中点的速度等于v
C．物体通过前一半位移和后半位移所用时间之比为1∶(－1)
D．物体在中间时刻的速度等于v
自由落体运动的实验探究
1．实验仪器——打点计时器
(1)按如图所示连接好实验装置，让重锤做____________运动，与重锤相连的纸带上便会被____________打出一系列点迹。
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度的大小。
2．实验步骤
(1)把打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电源。
(2)把纸带穿过两个限位孔，下端通过铁夹将重物和纸带连接起来，让重物________打点计时器。
(3)用手捏住纸带上端，把纸带拉成竖直状态，先________电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点。
(4)重复几次，选取一条点迹清晰的纸带分析。
1．数据处理方法
(1)逐差法
虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法。
利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝，或由a＝直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，假设为5段，则不用第3段，则a1＝，a2＝，然后取平均值，即＝或由a＝直接求得，这样所给的数据充分得到了利用，提高了准确度。
(2)v t图像法
根据纸带，求出各时刻的瞬时速度，作出v t图像，求出该v t图像的斜率k，则k＝a.这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，有效地减少偶然误差。
2．注意事项
(1)应选用质量和密度较大的重物。增大重物的重力可使阻力的影响相对减小。
(2)打点计时器应竖直放置，以减小阻力。
(3)重物应从靠近打点计时器处释放，要先接通打点计时器的电源，再释放纸带。
【典例4】 (2022·西宁实验中学高一检测)某同学用如图所示的装置测定重力加速度：
(1)电火花计时器的工作电压为________，频率为________。
(2)打出的纸带如图所示，实验时纸带的______(选填“甲”或“乙”)端应和重物相连接。
(3)纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出实验时的加速度为________m/s2。
(4)当地的重力加速度数值为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因_______________________________________________________
____________________________________________________________________。
[听课记录]
[跟进训练]
5．某同学用如图甲所示装置测量自由落体加速度g，得到如图乙所示的一段纸带，他每两个点取一个计数点(已知交流电频率为50 Hz)，测得AB＝7.65 cm，BC＝9.17 cm。则打B点时重物的瞬时速度为________ m/s，测得的自由落体加速度g＝________ m/s2，它比真实值偏________(选填“大”或“小”)。(结果均保留两位有效数字)
1．(2022·湖南省湘潭市第一中学高一上期中)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体从静止开始下落的运动叫自由落体运动
B．物体在只有重力作用下的运动叫作自由落体运动
C.在有空气的空间里，如果空气阻力与重力相比可以忽略不计，物体从静止开始下落的运动可以近似看作自由落体运动
D.在地球上不同的地方，自由落体加速度的大小是相同的
2．跳水运动员训练时从10 m跳台双脚朝下自由落下，某同学利用手机的连拍功能，连拍了多张照片。从其中两张连续的照片中可知，运动员双脚离水面的实际高度分别为5.0 m和2.8 m。由此估算手机连拍时间间隔最接近以下哪个数值( )
A．1×10-1 s B．2×10-1 s
C．1×10-2 s D．2×10-2 s
3．如图所示， 某同学测出一棵苹果树树干部分的高度约为1.6 m，一个苹果从树冠顶端的树梢上由于受到扰动而自由下落，该同学测出苹果经过树干所用的时间为0.2 s，重力加速度取10 m/s2，则：
(1)苹果树树冠部分的高度约为多少？
(2)苹果落地时的速度为多大？
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．轻重不同的物体从同一高度自由落下，哪个物体下落得快？什么因素影响物体下落的快慢？
2．自由落体运动是怎样的运动？
3．怎样表达自由落体运动的速度、下落的高度与下落的时间关系？
