素养提升课(一) 匀变速直线运动推论的应用
学习任务 1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。 2．会推导初速度为零的匀变速直线运动的比例式。 3．会推导位移差公式Δx＝aT 2并会用它解答相关问题。
匀变速直线运动的平均速度公式
1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动。
(2)＝，适用于匀变速直线运动。
(3)＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。
2．公式＝＝的推导
设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v
由x＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有＝v0＋a·②
由①②得＝
又v＝＋a·③
由②③解得＝
综上所述有＝＝。
【典例1】 (多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么( )
A．这3 s内平均速度是1.2 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.2 m/s
C．质点的加速度是0.6 m/s2
D．质点的加速度是0.8 m/s2
AD [第3 s内的平均速度即为2.5 s时的速度，即v2.5＝ m/s＝2 m/s，所以加速度a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2，所以C错误，D正确；第3 s末瞬时速度是v＝at3＝0.8×3 m/s＝2.4 m/s，B错误；这3 s内平均速度是＝＝ m/s＝1.2 m/s，A正确。]
[跟进训练]
1．一质点做匀变速直线运动，经直线上的A、B、C三点，已知AB＝BC＝4 m，质点在AB间运动的平均速度为6 m/s，在BC间运动的平均速度为3 m/s，则质点的加速度大小为( )
A．1.5 m/s2 B．4 m/s2 C．3 m/s2 D．－2 m/s2
C [根据匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，可得a＝＝－3 m/s2，即质点的加速度大小为3 m/s2，C正确。]
2．某物体做直线运动，其v-t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平均速度( )
A．等于
B．大于
C．小于
D．条件不足，无法比较
B [若物体在0～t1时间内做匀加速直线运动，作出其v-t图线如图所示，由v-t图线与时间轴围成的面积表示位移可知，物体实际运动的位移大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做匀加速直线运动的平均速度，即＞＝，故选项B正确。]
中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1．中点位置的瞬时速度公式：＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
2．推导：如图所示，前一段位移＝2a·，后一段位移＝2a·，所以有＝·(＋)，即有＝。
3．两点说明
(1)公式＝ 只适用于匀变速直线运动。
(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【典例2】 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
BD [由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1v2，故D正确，C错误。]
[跟进训练]
3．物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为( )
A．2 m/s B．2 m/s C． m/s D． m/s
B [已知v0＝0，v＝4 m/s，根据＝ ，解得物体经过斜面中点时的速度为2 m/s，故B正确。]
4．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移x时的速度是v，那么经过位移2x时的速度是( )
A．v B．v C．2v D．4v
B [由中点位置的瞬时速度公式可知v＝ ，解得v′＝v，B正确。]
逐差相等公式的理解及应用
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。
2．推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋a·T 2…
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…
故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2。
3．拓展公式：匀变速直线运动中对于不相邻的任意两段位移：xm－xn＝(m－n)aT 2。
4．应用：
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT 2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度
利用Δx＝aT 2，可求得a＝。
【典例3】 一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多大？
[解析] 由位移差公式Δx＝aT 2得：
a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，
由于v4＝ m/s＝10.5 m/s，
而v4＝v0＋4a，
得v0＝1.5 m/s。
[答案] 2.25 m/s2 1.5 m/s
[跟进训练]
5．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
BC [由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT 2，可得：a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。]
6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2 C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
B [轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选项B正确。]
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．按位移等分(设相等的位移为s)的比例式
(1)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
【典例4】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末的速度大小。
(2)前6 s内的位移大小。
(3)第6 s内的位移大小。
[解析] (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s。
(2)由v4＝at4得a＝＝1 m/s2
所以第1 s内的位移x1＝＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m。
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比x′1∶x′6＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移x′6＝11x′1＝5.5 m。
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
应用比例关系的三点注意
(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例快速解题。
(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例，如位移之比5∶7∶9∶11。
[跟进训练]
7．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
C [初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]
8．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
BD [因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动来研究。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)，故所求时间之比为(－)∶(－1)∶1，选项C错误，D正确；由＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶∶，则所求的速度之比为∶∶1，故选项A错误，B正确。]素养提升课(一) 匀变速直线运动推论的应用
学习任务 1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。 2．会推导初速度为零的匀变速直线运动的比例式。 3．会推导位移差公式Δx＝aT2并会用它解答相关问题。
匀变速直线运动的平均速度公式
1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动。
(2)＝，适用于匀变速直线运动。
(3)＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。
2．公式＝＝的推导
设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v
由x＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有＝v0＋a·②
由①②得＝
又v＝＋a·③
由②③解得＝
综上所述有＝＝。
【典例1】 (多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么( )
A．这3 s内平均速度是1.2 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.2 m/s
C．质点的加速度是0.6 m/s2
D．质点的加速度是0.8 m/s2
[听课记录]
[跟进训练]
1．一质点做匀变速直线运动，经直线上的A、B、C三点，已知AB＝BC＝4 m，质点在AB间运动的平均速度为6 m/s，在BC间运动的平均速度为3 m/s，则质点的加速度大小为( )
A．1.5 m/s2 B．4 m/s2
C．3 m/s2 D．－2 m/s2
2．某物体做直线运动，其v t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平均速度( )
A．等于
B．大于
C．小于
D．条件不足，无法比较
中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1．中点位置的瞬时速度公式：＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
2．推导：如图所示，前一段位移＝2a·，后一段位移＝2a·，所以有＝·(＋)，即有＝。
3．两点说明
(1)公式＝ 只适用于匀变速直线运动。
(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【典例2】 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
[听课记录]
[跟进训练]
3．物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C． m/s D． m/s
4．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移x时的速度是v，那么经过位移2x时的速度是( )
A．v B．v
C．2v D．4v
逐差相等公式的理解及应用
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。
2．推导：x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，x3＝v0·3T＋a·T2…
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
3．拓展公式：匀变速直线运动中对于不相邻的任意两段位移：xm－xn＝(m－n)aT2。
4．应用：
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
【典例3】 一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多大？
[听课记录]
[跟进训练]
5．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．按位移等分(设相等的位移为s)的比例式
(1)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶()∶…∶()。
【典例4】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：
(1)第6 s末的速度大小。
(2)前6 s内的位移大小。
(3)第6 s内的位移大小。
[听课记录]
应用比例关系的三点注意
(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例快速解题。
(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例，如位移之比5∶7∶9∶11。
[跟进训练]
7．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
8．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝()∶(－1)∶1素养提升课(二) 运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动
学习任务 1．知道一般的直线运动和匀变速直线运动的x-t图像和v-t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义。 2．能根据图像分析加速度、位移等物理量及物体的运动规律。 3．掌握追及相遇问题的分析思路和方法。 4．掌握竖直上抛运动的特点，能用全过程分析法或者分段法解决竖直上抛运动的问题。
运动图像的意义及应用
1．x-t图像与v-t图像的比较
比较项目 x-t图像 v-t图像
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 ①平行t轴直线表示静止；②倾斜直线表示匀速直线运动 ①平行t轴直线表示匀速运动；②倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示速度相等
2．图像问题的4点注意
(1)x-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。
(2)v-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。
(3)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动，都不表示物体运动的轨迹，图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(4)形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。
【典例1】 如图所示的x-t图像和v-t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x-t图像中t1时刻v1＞v2
C．v-t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动
B [图线1表示的是变速直线运动，选项A错误；x-t图像中t1时刻物体1的速度v1大于物体2的速度v2，选项B正确；在v-t图像中图线与时间轴围成图形的面积表示位移，0至t3时间内，x4＞x3，则v4＞v3，选项C错误；x-t图像中t2时刻物体2开始反向运动，v-t图像中t4时刻物体4开始减速，但运动方向不变，选项D错误。]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·云南弥勒市一中高一阶段检测)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
CD [位移—时间图像的斜率表示物体运动的速度，由题图可知，在t1时刻两图像的斜率不相等，即t1时刻两车的速度不相等，故A错误；在0时刻，乙车的位置坐标为0，甲车在乙车的前方， t1时刻两车位置坐标相同，为x1，故从0到t1时间内，甲车走过的路程小于乙车走过的路程，故B错误；t2时刻两车位置坐标相同，为x2，故从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，故C正确；由题图可知，在t1到t2时间内的某时刻，两图像的斜率相等，即两车的速度相等，故D正确。]
2．某物体沿直线运动，其v-t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．物体8 s内始终向一个方向运动
B．前3 s内物体做加速运动
C．4～6 s内物体做减速运动
D．第8 s末物体回到原点
B [因为v-t图像中速度的正负表示运动方向，由图像可知物体8 s内先向正方向运动再向负方向运动，故A错误；由图像可知，前3 s内物体做匀加速直线运动，故B正确；由图像可知，4～6 s内物体先做正方向的减速运动再做反方向的加速运动，故C错误；因为v-t图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像知8 s内的正向位移大于负向位移，所以第8 s末物体没有回到原点，故D错误。]
追及、相遇问题的分析与求解
1．问题实质
分析追及、相遇问题实质上是讨论两个物体在同一时刻的位置关系。
2．追及问题满足的“两个关系、一个条件”
(1)时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等。
(2)位移关系：x2＝x0＋x1。其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移。
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2。
3．分析追及问题的一般方法
(1)一般解题思路
(2)解题技巧
①抓住三个关系，即“位移关系”“时间关系”“速度关系”；用好示意图。
②寻找隐含的临界条件，如“刚好”“恰好”等关键词往往是解题的突破点。
③若被追赶的物体做减速运动，要判断它何时停下。
【典例2】 汽车正以14 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为5 m/s2的匀减速直线运动，且汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远。
[思路点拨] 本题求解可按如下程序进行：
[解析] 汽车在关闭发动机减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断减小，当这个距离减小到零时，若汽车的速度减至与自行车的速度相同，则能满足题设的汽车恰好没碰上自行车的条件。
运动情境图如图所示。
解法一：用基本公式法求解
汽车减速到4 m/s时发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝ m＝18 m
t＝＝ s＝2 s
这段时间内自行车发生的位移
x自＝v自t＝4×2 m＝8 m
汽车关闭发动机时离自行车的距离
x＝x汽－x自＝18 m－8 m＝10 m。
解法二：利用v-t图像进行求解
如图所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的v-t图像，其中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多运动的位移，即汽车关闭发动机时离自行车的距离x。
图线Ⅰ的斜率的绝对值表示汽车减速运动的加速度大小，所以应有
x＝＝×＝ m＝10 m。
[答案] 10 m
解追及、相遇问题的三种常用方法
函数法 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f (t)＝0，若方程f (t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f (t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇
图像法 (1)若用x-t图像求解，分别作出两物体的x-t图像，如果两物体的位移—时间图线相交，则说明两物体相遇 (2)若用v-t图像求解，则注意比较图线与时间轴所围图形的面积
临界法 审明题意、挖掘题中的隐含条件，建立两物体运动的情境并画出示意图，找出两物体的位移、速度及时间关系，选择公式列方程求解
[跟进训练]
3．(多选)(2022·黑龙江铁人中学高一期中)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是( )
A B
C D
BC [题图A中，甲、乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，选项A错误；题图B中，甲、乙在t0时刻之前图像有交点，此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，选项B正确；因v-t图像的面积等于位移，则在题图C中甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人能再次相遇，选项C正确；因v-t图像的面积等于位移，由题图D图像可知甲、乙在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人不能相遇，选项D错误。]
4．平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
[解析] (1)设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，根据追及条件，有a甲t2＝x0＋v乙t，代入数据解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)
这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s
甲离出发点的位移x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m。
(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v甲＝v乙时，甲、乙之间的距离达到最大值。由a甲t′＝v乙，得t′＝＝ s＝10 s，即甲在10 s末离乙的距离最大。
xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2＝200 m＋5×10 m－×0.5×102 m＝225 m。
[答案] (1)40 s 20 m/s 400 m (2)10 s 225 m
竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的实质
初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
2．竖直上抛运动的规律
基本公式
推论
3．竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
【典例3】 (2022·黑龙江部分中学检测)一个氢气球以40 m/s的速度匀速上升，在某时刻从气球上掉下一个重物，已知重物掉下时距离地面的高度为100 m，此重物从氢气球上掉下后，要经过多长时间返回地面？(g取10 m/s2)
[解析] 重物从氢气球上掉下时，由于惯性，具有向上的初速度，故做竖直上抛运动，而并非做自由落体运动。
解法一：分段法
上升阶段：初速度v0＝40 m/s
上升的最大高度h2＝＝ m＝80 m
上升时间t1＝＝ s＝4 s
下降阶段：由＝h1＋h2，得到t2＝＝6 s。
t＝t1＋t2＝10 s。
解法二：整体法
取竖直向上为正方向，则v0＝40 m/s，整个过程的位移h＝－100 m
代入到h＝v0t－gt2
解得t＝10 s或t＝－2 s(舍去)。
[答案] 10 s
竖直上抛运动的处理方法
分段法 上升阶段是初速度为v0、a＝－g的匀减速直线运动；下落阶段是自由落体运动
全过程 分析法 全过程看作初速度为v0、a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0，下落阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方
[跟进训练]
5．(多选)(2022·山东青岛高一期末)女排运动员在某次训练中将排球以8 m/s速度竖直向上垫出，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
A．排球上升的最大高度为3.2 m
B．排球上升的最大高度为6.4 m
C．排球从垫出到落回垫出位置所用时间为1.6 s
D．排球从垫出到落回垫出位置所用时间为0.8 s
AC [排球上升的最大高度为h＝＝3.2 m，故A正确，B错误；排球从垫出到落回垫出位置所用时间为t＝＝1.6 s，故C正确，D错误。]
6．某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度大小；
(2)火箭上升离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到返回发射点的时间(结果保留三位有效数字)。
[解析] (1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v，
根据运动学公式有h＝t
解得v＝20 m/s。
(2)燃料用完后，火箭能够继续上升的时间t1＝＝2 s
火箭能够继续上升的高度h1＝＝20 m
因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m。
(3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝＝2 s
火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s。
[答案] (1)20 m/s (2)60 m (3)9.46 s素养提升课(二) 运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动
学习任务 1．知道一般的直线运动和匀变速直线运动的x t图像和v t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义。 2．能根据图像分析加速度、位移等物理量及物体的运动规律。 3．掌握追及相遇问题的分析思路和方法。 4．掌握竖直上抛运动的特点，能用全过程分析法或者分段法解决竖直上抛运动的问题。
运动图像的意义及应用
1．x t图像与v t图像的比较
比较项目 x t图像 v t图像
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 ①平行t轴直线表示静止；②倾斜直线表示匀速直线运动 ①平行t轴直线表示匀速运动；②倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动；交点表示速度相等
2．图像问题的4点注意
(1)x t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。
(2)v t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。
(3)无论是x t图像还是v t图像都只能描述直线运动，都不表示物体运动的轨迹，图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(4)形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。
【典例1】 如图所示的x t图像和v t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x t图像中t1时刻v1＞v2
C．v t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动
[听课记录]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·云南弥勒市一中高一阶段检测)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
2．某物体沿直线运动，其v t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．物体8 s内始终向一个方向运动
B．前3 s内物体做加速运动
C．4～6 s内物体做减速运动
D．第8 s末物体回到原点
追及、相遇问题的分析与求解
1．问题实质
分析追及、相遇问题实质上是讨论两个物体在同一时刻的位置关系。
2．追及问题满足的“两个关系、一个条件”
(1)时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等。
(2)位移关系：x2＝x0＋x1。其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移。
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2。
3．分析追及问题的一般方法
(1)一般解题思路
(2)解题技巧
①抓住三个关系，即“位移关系”“时间关系”“速度关系”；用好示意图。
②寻找隐含的临界条件，如“刚好”“恰好”等关键词往往是解题的突破点。
③若被追赶的物体做减速运动，要判断它何时停下。
【典例2】 汽车正以14 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为5 m/s2的匀减速直线运动，且汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远。
[思路点拨] 本题求解可按如下程序进行：
[听课记录]
解追及、相遇问题的三种常用方法
函数法 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇
图像法 (1)若用x t图像求解，分别作出两物体的x t图像，如果两物体的位移—时间图线相交，则说明两物体相遇 (2)若用v t图像求解，则注意比较图线与时间轴所围图形的面积
临界法 审明题意、挖掘题中的隐含条件，建立两物体运动的情境并画出示意图，找出两物体的位移、速度及时间关系，选择公式列方程求解
[跟进训练]
3．(多选)(2022·黑龙江铁人中学高一期中)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x t)图像和速度—时间(v t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是( )
A B
C D
4．平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的实质
初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
2．竖直上抛运动的规律
基本公式
推论
3．竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
【典例3】 (2022·黑龙江部分中学检测)一个氢气球以40 m/s的速度匀速上升，在某时刻从气球上掉下一个重物，已知重物掉下时距离地面的高度为100 m，此重物从氢气球上掉下后，要经过多长时间返回地面？(g取10 m/s2)
[听课记录]
竖直上抛运动的处理方法
分段法 上升阶段是初速度为v0、a＝－g的匀减速直线运动；下落阶段是自由落体运动
全过程 分析法 全过程看作初速度为v0、a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0，下落阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方
[跟进训练]
5．(多选)(2022·山东青岛高一期末)女排运动员在某次训练中将排球以8 m/s速度竖直向上垫出，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
A．排球上升的最大高度为3.2 m
B．排球上升的最大高度为6.4 m
C．排球从垫出到落回垫出位置所用时间为1.6 s
D．排球从垫出到落回垫出位置所用时间为0.8 s
6．某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度大小；
(2)火箭上升离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到返回发射点的时间(结果保留三位有效数字)。
主题提升课1 机械运动与物理模型
主题一 质点模型的建构
了解建立质点模型的抽象方法和质点模型的适用条件，能在特定情境下将物体抽象为质点，体会物理模型建构的思想和方法。
【典例1】 (多选)下列四幅图中，各运动物体不能看成质点的是( )
A．研究投出的篮球的运动路径 B．观众欣赏体操表演
C．研究地球绕太阳公转 D．研究子弹头穿过鸡蛋的时间
BD [研究投出的篮球的运动路径时，可以将篮球看成质点；观众欣赏体操表演时，不可以把表演者看成质点，否则无法欣赏其动作；研究地球绕太阳公转时，可以忽略地球的大小，地球可以看成质点；研究子弹头穿过鸡蛋的瞬间时，不能把子弹头看成质点。本题选不能看成质点的，故选B、D。]
主题二 物理概念的建构
通过瞬时速度和加速度概念的建构，体会物理问题研究中的极限方法和抽象思维方法。知道证据是物理研究的基础，能使用简单直接的证据表达自己的观点。
【典例2】 在“用打点计时器测速度”的实验中，打点计时器使用的交流电的频率为50 Hz，记录小车运动的纸带如图所示，在纸带上选择0、1、2、3、4、5共6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出，纸带旁并排放着带有最小分度为毫米的刻度尺，零点跟“0”计数点对齐，由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离并填入表格中。
距离 x1 x2 x3
测量值/cm
计算小车通过计数点“2”的瞬时速度为v2＝______ m/s。
[解析] 测量数据直接读出
x1＝1.20 cm，x2＝5.40 cm，x3＝12.00 cm。
由v2＝＝，Δt＝10T，T＝0.02 s。
得v2＝0.21 m/s。
[答案] 见解析
【典例3】 像打点计时器一样，光电计时器也是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图甲所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。现利用图乙所示装置测量，乙图中MN是水平桌面，PQ是长1 m左右的木板，Q是木板与桌面的接触点，1和2是固定在木板上适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出。此外在木板顶端的P点悬挂着一个铅锤，让滑块从木块的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为5.0×10-2 s和2.0×10-2 s。用游标卡尺测出小滑块的宽度d，读出滑块的宽度d＝5.015 cm。
则滑块通过光电门1的速度v1＝________ m/s，滑块通过光电门2的速度v2＝________ m/s。
[解析] 审题时应注意以下两点：(1)挡光时间，滑块通过光电门所用的时间；(2)小滑块宽度，此宽度等于挡光时间内滑块的位移。滑块通过光电门1的时间t1＝5.0×10-2 s，位移是x1＝5.015 cm＝5.015×10-2 m，平均速度＝＝1.003 m/s，所以滑块通过光电门1的速度v1＝＝1.003 m/s。滑块通过光电门2的时间t2＝2.0×10-2 s，位移x2＝5.015 cm＝5.015×10-2 m，平均速度＝≈2.508 m/s，所以滑块通过光电门2的速度v2＝＝2.508 m/s。
[答案] 1.003 2.508
主题三 运动规律的探究
能用位移、速度、加速度等物理量描述物体的直线运动，能用匀变速直线运动的规律解释或解决生活中的具体问题。
【典例4】 伽利略对自由落体运动及运动和力的关系的研究，开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法。图(a)、(b)分别表示这两项研究中实验和逻辑推理的过程，对这两项研究，下列说法正确的是( )
A．图(a)通过对自由落体运动的研究，合理外推得出小球在斜面上做匀变速运动
B．图(a)中先在倾角较小的斜面上进行实验，可“冲淡”重力，使时间测量更容易
C．图(b)中完全没有摩擦阻力的斜面是实际存在的，实验可实际完成
D．图(b)的实验为“理想实验”，通过逻辑推理得出物体的运动需要力来维持
B [伽利略设想物体下落的速度与时间成正比，因为当时无法测量物体的瞬时速度，所以伽利略通过数学推导证明，如果速度与时间成正比，那么位移与时间的二次方就成正比。由于当时用滴水法计时，无法记录自由落体的较短时间，伽利略设计了让铜球沿阻力很小的斜面滚下，来“冲淡”重力的作用效果，而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多，运动相同位移所用时间长得多，所以容易测量。伽利略做了上百次实验，并通过抽象思维在实验结果上进行了合理外推，得出了正确结论，故A错误，B正确；完全没有摩擦阻力的斜面是不存在的，故C错误；伽利略用抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法得到物体的运动不需要力来维持的结论，故D错误。]主题提升课1 机械运动与物理模型
主题一 质点模型的建构
了解建立质点模型的抽象方法和质点模型的适用条件，能在特定情境下将物体抽象为质点，体会物理模型建构的思想和方法。
【典例1】 (多选)下列四幅图中，各运动物体不能看成质点的是( )
A．研究投出的篮球的运动路径 B．观众欣赏体操表演
C．研究地球绕太阳公转 D．研究子弹头穿过鸡蛋的时间
[听课记录]
主题二 物理概念的建构
通过瞬时速度和加速度概念的建构，体会物理问题研究中的极限方法和抽象思维方法。知道证据是物理研究的基础，能使用简单直接的证据表达自己的观点。
【典例2】 在“用打点计时器测速度”的实验中，打点计时器使用的交流电的频率为50 Hz，记录小车运动的纸带如图所示，在纸带上选择0、1、2、3、4、5共6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出，纸带旁并排放着带有最小分度为毫米的刻度尺，零点跟“0”计数点对齐，由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离并填入表格中。
距离 x1 x2 x3
测量值/cm
计算小车通过计数点“2”的瞬时速度为v2＝________ m/s。
[听课记录]
【典例3】 像打点计时器一样，光电计时器也是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图甲所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。现利用图乙所示装置测量，乙图中MN是水平桌面，PQ是长1 m左右的木板，Q是木板与桌面的接触点，1和2是固定在木板上适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出。此外在木板顶端的P点悬挂着一个铅锤，让滑块从木块的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为5.0×10-2 s和2.0×10-2 s。用游标卡尺测出小滑块的宽度d，读出滑块的宽度d＝5.015 cm。
则滑块通过光电门1的速度v1＝________ m/s，滑块通过光电门2的速度v2＝________ m/s。
[听课记录]
主题三 运动规律的探究
能用位移、速度、加速度等物理量描述物体的直线运动，能用匀变速直线运动的规律解释或解决生活中的具体问题。
【典例4】 伽利略对自由落体运动及运动和力的关系的研究，开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法。图(a)、(b)分别表示这两项研究中实验和逻辑推理的过程，对这两项研究，下列说法正确的是( )
A．图(a)通过对自由落体运动的研究，合理外推得出小球在斜面上做匀变速运动
B．图(a)中先在倾角较小的斜面上进行实验，可“冲淡”重力，使时间测量更容易
C．图(b)中完全没有摩擦阻力的斜面是实际存在的，实验可实际完成
D．图(b)的实验为“理想实验”，通过逻辑推理得出物体的运动需要力来维持
[听课记录]
