第4节 力的合成和分解
第1课时 力的合成和分解
学习任务 1．知道合力和分力的概念，知道平行四边形定则的内容。 2．能区别矢量和标量。 3．知道力的合成和分解的方法，会用作图法和计算法进行力的合成与分解。
合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。如图所示：
2．合力与分力
假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，这几个力叫作那个力的分力。
3．合力与分力的关系
合力与分力之间是一种等效替代的关系，合力作用的效果与分力作用的效果相同。
如图所示，一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，用力为F；两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 。
问题1 一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，则成年人对水桶向上的拉力是多少？
提示：200 N。
问题2 当两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 ，此时两小孩对水桶的拉力是多少呢？
提示：200 N。
问题3 该成年人用的力与两个孩子的力作用效果是否相同？二者能否等效替代？
提示：作用效果相同，能等效替代。
问题4 F与F1、F2是什么关系？
提示：F与F1、F2是合力与分力的关系，F是F1和F2的合力，F1和F2是F的两个分力。
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)合力大小可以大于、等于或小于分力的大小，如图甲所示。
(2)两个分力大小一定时，夹角越大合力越小，如图乙所示。
(3)合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大，如图丙所示。
【典例1】 (多选)下列关于合力与分力的说法中正确的是( )
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力可能大于分力，也可能小于分力
D．当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力一定减小
[思路点拨] 解答本题时需要把握以下两点：
(1)合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上。
(2)合力与分力遵循平行四边形定则。
BCD [合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误，B正确；当两分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越小，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角大于120°时)，选项C、D正确。]
关于合力、分力的两个注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。
[跟进训练]
1．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，两个力的合力为F，下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
AD [若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A正确；根据平行四边形定则可知，合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误，D正确；如果夹角不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能增加，故C错误。]
求合力的方法
1．力的合成：求几个力的合力的过程。
2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图所示，F表示F1与F2的合力。
3．多个力的合成方法
先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55公里，其主体工程由6.7公里的海底沉管隧道、长达22.9公里的桥梁、逾20万平方米的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N。
问题1 这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
提示：不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。
问题2 两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
提示：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
1．作图法
(1)基本思路
(2)如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。
(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。如以下常见的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力大小相等，夹角为θ (1)大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (2)当θ＝120°时，F1＝F2＝F
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
3．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【典例2】 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示每根钢索中的拉力是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力大小为多少？方向如何？
[思路点拨] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，它们之间的对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[解析] 方法一：作图法
如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小F＝5.2×1×104N＝5.2×104N。
方法二：计算法
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB，OD＝OC。考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104×N≈5.2×104N。
[答案] 5.2×104N 竖直向下
两种方法的比较
“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，再利用数学知识求出合力，解题时，可通过作辅助线、特殊角求解或巧妙分组得到一些特殊情况下的力的合成，会使解答更简捷。
[跟进训练]
2．三个力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N D．13 N≤F≤23 N
A [先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力最小为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确。]
3．物体受到两个力F1和F2，F1＝30 N，方向水平向左；F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。
[解析] 解法一 图解法
取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度，取4个单位长度自O点引两条互相垂直的有向线段OF1和OF2。以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形，如图所示，则对角线OF就是所要求的合力F。量出对角线的长度为5个单位长度、则合力的大小F＝5×10 N＝50 N，用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°。
解法二 计算法
在解法一作的平行四边形中，△OF1F为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角θ，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ为53 °。
[答案] 50 N 合力的方向与F1成53°角
力的分解 矢量和标量
1．力的分解：求一个力的分力的过程。
2．力的分解
(1)力的分解也遵从平行四边形定则。
(2)如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。如图所示。
(3)一个已知力的分解要根据具体问题来确定。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。
提醒：矢量和标量的根本区别在于它们的运算法则不同，而不是有无方向。
如图甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面。将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变。
问题1 小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？
提示：斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋。
问题2 如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
提示：不会。
问题3 请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解。
提示：重力的分解如图所示。
1．根据力的作用效果分解力的基本思路
2．正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即Fx＝F1x＋F2x＋F3x；Fy＝F1y＋F2y＋F3y。
(4)求共点力的合力：合力大小F＝ ，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。
角度1 力的效果分解
【典例3】 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ 角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
[解析] 小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力F1＝F1′＝mg tan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；
小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。
[答案] 见解析
角度2 力的正交分解
【典例4】 如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 对四个共点力进行正交分解，如图所示。
则x方向的合力：Fx＝F cos 37°－Ff＝60×0.8 N－16 N＝32 N
y方向的合力：
Fy＝F sin 37°＋FN－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。
物体与地面间的动摩擦因数μ＝＝＝0.25。
[答案] 32 N，方向水平向右 0.25
正交分解的优点
(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。
(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。
[跟进训练]
4．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
B [设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝F sin 30°＝5 N。而5 N5．如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则球1对挡板的压力F1＝______，对斜面压力F2＝________；球2对挡板压力F3＝________，对斜面压力F4＝________。
[解析] 球1所受的重力有两个作用效果。第一，使小球欲沿水平方向推开挡板；第二，使小球压紧斜面。因此，力的分解如图甲所示，由此得两个分力的大小分别为
F1＝G tan θ，F2＝。
球2所受重力G有两个作用效果。第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球压紧斜面。因此力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝G sin θ，F4＝G cos θ。
[答案] G tan θ G sin θ G cos θ
1．下列关于合力和分力的说法，正确的是( )
A．合力总比任何一个分力都大
B．两个力的合力至少比其中的一个分力大
C．合力的方向只与两分力的夹角有关
D．合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间
D [根据平行四边形定则知，合力可能比分力大，可能比分力小，也可能与分力相等，A、B错误；根据平行四边形定则知，合力的方向取决于两分力的大小和方向，C错误；合力的大小取值范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间，D正确。]
2．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N
B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N
D．F1＝2 N，F2＝1 N
B [两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，A中合力为7 N≤F≤11 N，B中合力为4 N≤F≤12 N，C中的合力为7 N≤F≤9 N，D中的合力为1 N≤F≤3 N，故B正确。]
3．刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图所示是斧头劈木柴的情境。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A．F B．F C．F D．F
B [斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有
＝＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。]
4．如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B． C． D．
C [当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即：F＝μmg，当拉力倾斜时，对物体受力分析如图所示
由平衡条件得FN＝mg－F sin 60°，Ff＝F cos 60°，又Ff＝μFN，得摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin 60°)＝F cos 60°，联立解得μ＝，故选C。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果两个力在同一条直线上，如何求它们的合力？
提示：两个方向相同的力求合力，两个力的大小相加即为合力大小，方向沿着这两个力的方向；如果是两个方向相反的力求合力，则合力大小为较大的力减去较小的力，方向与较大的力相同。
2．如何求不在同一直线上的几个力的合力？
提示：根据平行四边形定则，先两个力合成，然后再与第3个力合成，最后得出这几个力的合力。第4节 力的合成和分解
第1课时 力的合成和分解
学习任务 1．知道合力和分力的概念，知道平行四边形定则的内容。 2．能区别矢量和标量。 3．知道力的合成和分解的方法，会用作图法和计算法进行力的合成与分解。
合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的________，或者它们的作用线____________，这几个力叫作共点力。如图所示：
2．合力与分力
假设一个力单独作用的________跟某几个力共同作用的________相同，这个力就叫作那几个力的________，这几个力叫作那个力的________。
3．合力与分力的关系
合力与分力之间是一种________的关系，合力作用的________与分力____________相同。
如图所示，一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，用力为F；两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 。
问题1 一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，则成年人对水桶向上的拉力是多少？
问题2 当两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 ，此时两小孩对水桶的拉力是多少呢？
问题3 该成年人用的力与两个孩子的力作用效果是否相同？二者能否等效替代？
问题4 F与F1、F2是什么关系？
1．合力与分力的性质
2．合力与分力的大小关系
(1)合力大小可以大于、等于或小于分力的大小，如图甲所示。
(2)两个分力大小一定时，夹角越大合力越小，如图乙所示。
(3)合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大，如图丙所示。
【典例1】 (多选)下列关于合力与分力的说法中正确的是( )
A．合力与分力同时作用在物体上
B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的
C．合力可能大于分力，也可能小于分力
D．当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力一定减小
[思路点拨] 解答本题时需要把握以下两点：
(1)合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上。
(2)合力与分力遵循平行四边形定则。
[听课记录]
关于合力、分力的两个注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。
[跟进训练]
1．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，两个力的合力为F，下列说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
求合力的方法
1．力的合成：求______________的过程。
2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为________作平行四边形，这两个邻边之间的________就代表合力的大小和方向，如图所示，________表示F1与F2的合力。
3．多个力的合成方法
先求出任意________的合力，再求出这个合力跟________的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55公里，其主体工程由6.7公里的海底沉管隧道、长达22.9公里的桥梁、逾20万平方米的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N。
问题1 这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
问题2 两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
1．作图法
(1)基本思路
(2)如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。
(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。如以下常见的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力大小相等，夹角为θ (1)大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (2)当θ＝120°时，F1＝F2＝F
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
3．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【典例2】 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示每根钢索中的拉力是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力大小为多少？方向如何？
[思路点拨] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，它们之间的对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[听课记录]
两种方法的比较
“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，再利用数学知识求出合力，解题时，可通过作辅助线、特殊角求解或巧妙分组得到一些特殊情况下的力的合成，会使解答更简捷。
[跟进训练]
2．三个力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N
B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N
D．13 N≤F≤23 N
3．物体受到两个力F1和F2，F1＝30 N，方向水平向左；F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。
力的分解 矢量和标量
1．力的分解：求____________的过程。
2．力的分解
(1)力的分解也遵从________________。
(2)如果没有限制，同一个力可以分解为________对大小、方向不同的分力。如图所示。
(3)一个已知力的分解要根据____________来确定。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从____________的物理量。
(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从________的物理量。
提醒：矢量和标量的根本区别在于它们的运算法则不同，而不是有无方向。
如图甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面。将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变。
问题1 小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？
问题2 如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
问题3 请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解。
1．根据力的作用效果分解力的基本思路
2．正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即Fx＝F1x＋F2x＋F3x；Fy＝F1y＋F2y＋F3y。
(4)求共点力的合力：合力大小F＝ ，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。
角度1 力的效果分解
【典例3】 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ 角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
[听课记录]
角度2 力的正交分解
【典例4】 如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[听课记录]
正交分解的优点
(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。
(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。
[跟进训练]
4．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
5．如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，小球所受重力均为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则球1对挡板的压力F1＝______，对斜面压力F2＝________；球2对挡板压力F3＝________，对斜面压力F4＝________。
1．下列关于合力和分力的说法，正确的是( )
A．合力总比任何一个分力都大
B．两个力的合力至少比其中的一个分力大
C．合力的方向只与两分力的夹角有关
D．合力的大小介于两个分力之差的绝对值与两个分力之和之间
2．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N
B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N
D．F1＝2 N，F2＝1 N
3．刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图所示是斧头劈木柴的情境。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A．F B．F C．F D．F
4．如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B． D．
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果两个力在同一条直线上，如何求它们的合力？
2．如何求不在同一直线上的几个力的合力？第2课时 实验：探究两个互成角度的力的合成规律
实验 目标 1．验证互成角度的两个力合成的平行四边形定则。 2．练习用作图法求两个力的合力。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的图示。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上。
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套。
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数。
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F。
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示。
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中，①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是__________________和__________________。
[解析] (1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而用两个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力，根据平行四边形定则作出两弹簧测力计拉力的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故选项B正确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作过程可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E。
②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
[答案] (1)F′ (2)B (3)①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮条、细绳套和一个弹簧测力计。
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，测量其劲度系数，得到的实验数据如表所示。
弹力F/N 0.50 1．00 1．50 2.00 2.50 3.00 3.50
伸长量 x/(×10-2 m) 0.74 1．80 2.80 3.72 4.60 5.58 6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝__________ N/m(保留三位有效数字)。
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图所示，其读数为________ N(保留三位有效数字)；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力值为2.50 N，请在图框中画出这两个共点力的合力F合。
(3)由图得到F合＝________ N。
[解析] (1)根据表格数据描点，然后连成一条过原点的直线，如图所示，直线的斜率表示弹簧的劲度系数，k＝ N/m≈54.5 N/m。
(2)读出弹簧测力计的读数为2.10 N(保留三位有效数字)；以O为顶点，画出两细绳套的方向就是两拉力方向，再确定并画好力的标度，画出两拉力的图示，以两拉力为邻边作出平行四边形，画出平行四边形的对角线，即合力F合。
(3)用刻度尺量出合力的长度，根据确定的标度算出合力的大小，即F合＝3.30 N。
[答案] (1)54.5(54.0～55.0均可) (2)2.10(2.08～2.12均可) 见解析图 (3)3.30(3.10～3.50均可)
类型三 创新实验设计
【典例3】 (2022·山东聊城高一检测)如图所示的实验装置可以用来验证力的平行四边形定则，带有滑轮的方木板竖直放置，为了便于调节绳子拉力的方向，滑轮可以安放在木板上的多个位置。
(1)请把下面的实验步骤补写完整：
①三段绳子各自悬挂一定数目的等质量钩码，调整滑轮在木板上的位置，使得系统静止不动。
②把一张画有等间距同心圆的厚纸，紧贴木板放置在绳子与木板之间，使得圆心位于绳子结点O处，有足够多等间距同心圆作为画图助手，这样做的目的是方便作出力的图示。你认为本实验有必要测量钩码所受的重力大小吗？答：________(选填“有”或“没有”，不必说明理由)。
③记录三段绳子悬挂的钩码个数以及三段绳子的方向。
④根据记录的数据，作出三段绳子上的拉力FA、FB、FC的图示。
⑤以表示FA、FB的线段为邻边，画出平行四边形，如果平行四边形的对角线所表示的力与FC近似________，则在实验误差允许的范围内验证了力的平行四边形定则。
(2)若在图中A、B、C三段绳子上分别悬挂了4、5、6个钩码而静止不动，图中OA、OB两段绳子与竖直方向的夹角分别为α、β，如果本实验是成功的，那么应接近于________。
[解析] (1)②每个钩码的重量相同，可以通过钩码的个数表示力的大小，没有必要测量钩码所受的重力大小。⑤FA、FB、FC三力平衡，通过平行四边形可以作出FA和FB的合力，若近似与FC等大反向，即可在实验误差允许的范围内验证了力的平行四边形定则。
(2)根据平衡条件可知在水平方向FA sin α＝FB sin β，
则＝＝＝1.25。
[答案] (1)②没有 ⑤等大反向 (2)1.25
1．(2022·河南郑州十九中高一检测)某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________ N。
(2)下列不必要的实验要求是________。(请填写选项前对应的字母)
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法：________________________________________________________；
___________________________________________________________________。
[解析] (1)图中弹簧测力计每一小格为0.1 N，故图中力的大小为F＝3.60 N。
(2)重物重力充当合力，应测量重物的重力，故A正确，不符合题意；为了减小测量误差，弹簧测力计在使用时应该调零，故B正确，不符合题意；要使三力在同一平面内，则必须使拉线方向与木板平行，故C正确，不符合题意；进行多次实验，O点位置可以发生变化，故D错误，符合题意。故选D。
(3)当弹簧测力计A的指针超出量程，说明FA偏大，即其中一个分力大，若夹角不变，可以减小合力，从而减小分力，即更换为质量更小的重物；若合力不变，也可以减小OP与竖直方向的夹角，减小分力。
[答案] (1)3.60 (2)D (3)减小OP与竖直方向的夹角 更换为质量更小的重物
2．(2022·山东青岛高一阶段检测)在“探究求合力的方法”实验中，某同学用两个弹簧测力计将橡皮筋的端点拉到点O，作出这两个拉力F1、F2的图示(图甲)，然后用一把弹簧测力计将橡皮筋的端点仍然拉到O，弹簧测力计示数F如图乙所示。
(1)弹簧测力计的示数F＝________ N；
(2)请帮他在图甲中画出力F的图示(图中a为记录F方向时所记录的一点)。
[解析] (1)弹簧测力计的最小刻度为0.2 N，可知弹簧秤的示数F＝2.8 N。
(2)根据图示法作出F的图示，如图所示：
[答案] (1) 2.8 (2) 见解析图
3．三位同学做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。
(1)图1是同学甲利用坐标纸记下了橡皮筋的结点位置O点以及两只弹簧测力计拉力的大小和方向，请作出F1和F2的合力图示，并用F表示合力。
(2)图2是李明和张华两位同学在做以上实验时得到的结果，图中力F′是用一只弹簧测力计拉时的图示，其中________的实验比较符合实验事实。
(3)在以上实验结果比较符合实验事实的一位同学中，造成误差的原因可能是：____________________________ (写出一条即可)。
(4)(多选)有关此实验，下列叙述正确的是________。
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大
B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O，这样做的目的是保证两次弹簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一只弹簧测力计的拉力大小而要保证橡皮筋结点位置不变，只需调整另一只弹簧测力计拉力的大小即可
[解析] (1)用平行四边形定则作图，即以F1、F2为两邻边作平行四边形，对角线就表示合力F，如图所示。
(2)作图法得到的F必为平行四边形的对角线，单个弹簧测力计的拉力F′一定与橡皮筋共线，故张华的实验比较符合实验事实。
(3)造成误差的原因可能是：F2的大小比真实值偏小，F1与F2的方向记录有误，作图时两虚线分别与F1线和F2线不严格平行等。
(4)两分力可以同时大于合力，故A正确；结点受三个力作用处于平衡状态，其中两弹簧测力计的拉力的合力与第三个力——橡皮筋拉力等大、反向，是一对平衡力，而橡皮筋的拉力不是合力，故B错误；只有保证结点在同一位置才能说明作用效果相同，故C正确；在此实验中，若两个分力的大小变化而方向都不变，则合力必定变化，故D错误。
[答案] (1)见解析图 (2)张华 (3)见解析 (4)AC
4．在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，橡皮条的一端固定，先用一个弹簧测力计通过细线拉橡皮条的另一端，将其与细线的结点拉到O点，记下拉力F；再用两个弹簧测力计通过细线拉橡皮条，将结点同样拉到O点，记下拉力F1、F2。回答下列问题。
(1)先后两次将结点拉到同一点O，其目的是________。
(2)如图甲所示，用两个弹簧测力计拉橡皮条的实验中，下列说法中正确的是________。
A．两根细线与橡皮条必须在同一平面内
B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下，且不能超过弹簧测力计的量程
C．橡皮条必须保持水平
D．为了便于计算，F1、F2方向间夹角必须为90°
(3)根据实验数据画出力的图示，并以F1、F2为邻边作平行四边形，其对角线为F′，根据图乙，你能得出的结论是____________________；其依据是__________。
[解析] (1)先后两次将结点拉到同一点O，其目的是确保两次力的作用效果相同。
(2)两根细线与橡皮条必须在同一平面内，故A正确。用弹簧测力计拉细线时，拉力方向不一定竖直向下，不能超过测力计的量程，故B错误。橡皮条不一定水平，故C错误。实验探究的是普遍规律，不能为了便于计算而将F1、F2方向间夹角确定为90°，故D错误。
(3)根据实验数据画出力的图示，根据图乙可看出，F与F′非常接近，则得出的结论是力的合成遵循平行四边形定则。
[答案] (1)确保力的作用效果相同 (2)A
(3)力的合成遵循平行四边形定则 F与F′非常接近第2课时 实验：探究两个互成角度的力的合成规律
实验 目标 1．验证互成角度的两个力合成的平行四边形定则。 2．练习用作图法求两个力的合力。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的图示。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上。
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套。
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数。
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F。
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示。
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中，①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是__________________和__________________。
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮条、细绳套和一个弹簧测力计。
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，测量其劲度系数，得到的实验数据如表所示。
弹力F/N 0.50 1．00 1．50 2.00 2.50 3.00 3.50
伸长量 x/(×10-2 m) 0.74 1．80 2.80 3.72 4.60 5.58 6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝__________ N/m(保留三位有效数字)。
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图所示，其读数为________ N(保留三位有效数字)；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力值为2.50 N，请在图框中画出这两个共点力的合力F合。
(3)由图得到F合＝________ N。
[听课记录]
类型三 创新实验设计
【典例3】 (2022·山东聊城高一检测)如图所示的实验装置可以用来验证力的平行四边形定则，带有滑轮的方木板竖直放置，为了便于调节绳子拉力的方向，滑轮可以安放在木板上的多个位置。
(1)请把下面的实验步骤补写完整：
①三段绳子各自悬挂一定数目的等质量钩码，调整滑轮在木板上的位置，使得系统静止不动。
②把一张画有等间距同心圆的厚纸，紧贴木板放置在绳子与木板之间，使得圆心位于绳子结点O处，有足够多等间距同心圆作为画图助手，这样做的目的是方便作出力的图示。你认为本实验有必要测量钩码所受的重力大小吗？答：________(选填“有”或“没有”，不必说明理由)。
③记录三段绳子悬挂的钩码个数以及三段绳子的方向。
④根据记录的数据，作出三段绳子上的拉力FA、FB、FC的图示。
⑤以表示FA、FB的线段为邻边，画出平行四边形，如果平行四边形的对角线所表示的力与FC近似________，则在实验误差允许的范围内验证了力的平行四边形定则。
(2)若在图中A、B、C三段绳子上分别悬挂了4、5、6个钩码而静止不动，图中OA、OB两段绳子与竖直方向的夹角分别为α、β，如果本实验是成功的，那么应接近于________。
[听课记录]
1．(2022·河南郑州十九中高一检测)某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________ N。
(2)下列不必要的实验要求是________。(请填写选项前对应的字母)
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法：__________________________________________________________；
____________________________________________________________________。
2．(2022·山东青岛高一阶段检测)在“探究求合力的方法”实验中，某同学用两个弹簧测力计将橡皮筋的端点拉到点O，作出这两个拉力F1、F2的图示(图甲)，然后用一把弹簧测力计将橡皮筋的端点仍然拉到O，弹簧测力计示数F如图乙所示。
(1)弹簧测力计的示数F＝________ N；
(2)请帮他在图甲中画出力F的图示(图中a为记录F方向时所记录的一点)。
3．三位同学做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。
(1)图1是同学甲利用坐标纸记下了橡皮筋的结点位置O点以及两只弹簧测力计拉力的大小和方向，请作出F1和F2的合力图示，并用F表示合力。
(2)图2是李明和张华两位同学在做以上实验时得到的结果，图中力F′是用一只弹簧测力计拉时的图示，其中________的实验比较符合实验事实。
(3)在以上实验结果比较符合实验事实的一位同学中，造成误差的原因可能是：____________________________ (写出一条即可)。
(4)(多选)有关此实验，下列叙述正确的是________。
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大
B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O，这样做的目的是保证两次弹簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一只弹簧测力计的拉力大小而要保证橡皮筋结点位置不变，只需调整另一只弹簧测力计拉力的大小即可
4．在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，橡皮条的一端固定，先用一个弹簧测力计通过细线拉橡皮条的另一端，将其与细线的结点拉到O点，记下拉力F；再用两个弹簧测力计通过细线拉橡皮条，将结点同样拉到O点，记下拉力F1、F2。回答下列问题。
(1)先后两次将结点拉到同一点O，其目的是________。
(2)如图甲所示，用两个弹簧测力计拉橡皮条的实验中，下列说法中正确的是________。
A.两根细线与橡皮条必须在同一平面内
B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下，且不能超过弹簧测力计的量程
C．橡皮条必须保持水平
D．为了便于计算，F1、F2方向间夹角必须为90°
(3)根据实验数据画出力的图示，并以F1、F2为邻边作平行四边形，其对角线为F′，根据图乙，你能得出的结论是____________________；其依据是__________。第5节 共点力的平衡
学习任务 1．知道什么是共点力及共点力作用下物体平衡状态的概念。 2．掌握共点力平衡的条件。 3．会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
共点力平衡的条件
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
2．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
3．在共点力的作用下物体平衡的条件是合力为0。
如图甲中悬挂风景画框的结点O受三个力，乙中的店牌受三个力，丙中的扁担也受三个力。
问题1 观察三幅图中的作用力，哪些是共点力？
提示：甲、乙图中都是共点力。丙图中不是共点力。
问题2 如何计算图乙中的合力？
提示：乙图中的力是共点力，可以应用平行四边形定则求合力。
问题3 图甲中的风景画框处于什么状态？所受合力是多少？
提示：平衡状态；为零。
1．共点力平衡的条件
合外力等于0，即F合＝0―→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．由平衡条件得出的三个结论
【典例1】 孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛亮所发明。当年，诸葛亮被司马懿围困于平阳，无法派兵出城求救。诸葛亮算准风向，制成会飘浮的纸灯笼，系上求救的讯息，其后果然脱险，于是后世就称这种灯笼为孔明灯。现有一孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速上升，则此时孔明灯所受空气的作用力(含风力)大小和方向是( )
A．0 B．mg，东北偏上方向
C．mg，竖直向上 D．mg，东北偏上方向
C [孔明灯向着东北偏上方向匀速上升，即处于平衡状态，则合力为零，由于所受重力方向竖直向下，根据平衡条件，空气的作用力大小F＝mg，方向竖直向上，故C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．相对静止的两个物体都处于平衡状态
B．物体做自由落体运动时处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反
CD [两个物体相对静止可能以相同的速度做变速运动，A错误；物体做自由落体运动时具有加速度，不是平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，满足F合＝0的条件，又因要F合＝0，必须要Fx、Fy同时为零，故物体沿任意方向的合力都必为零，C正确；如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，要满足F合＝0的条件，则任意两个力的合力必与第三个力大小相等，方向相反，D正确。]
2．(2022·哈尔滨六中高一检测)如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向 D．F4的方向
B [对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向。]
解答共点力平衡问题的三种常用方法
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
提示：有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT。
问题2 小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？
提示：是平衡力，满足大小相等，方向相反且共线。
问题3 重力产生的作用效果是什么？
提示：一是沿着金属丝向左下方拉金属丝，二是沿着水平方向向右拉小球。
问题4 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)
提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如图所示)。
1．处理静态平衡问题的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0， ＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0
矢量三 角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
2．应用共点力静态平衡条件解题的步骤
【典例2】 (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是( )
A．F1＝mg cos θ B．F1＝
C．F2＝mg sin θ D．F2＝
BD [解法一：合成法
由力的平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图所示，又考虑到F12＝mg，由几何关系得F1＝，F2＝。
解法二：正交分解法
将O点受的力沿水平方向、竖直方向正交分解，如图(a)所示。由力的平衡条件得F2cos θ－F1＝0，F2sin θ－mg＝0，解得F2＝，F1＝。
(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试)
解法三：(矢量三角形法)
O点受到mg、F1和F2的作用处于平衡状态，画出受力分析图，如图(b)所示。再将三个力的矢量平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭的三角形，如图(c)所示。则由几何关系可知F1＝，F2＝。]
[跟进训练]
3．用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
[解析] 以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示。
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cos 30°＝19.6× N≈17.0 N
F2＝F sin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N
所以，绳子OA对结点O的拉力大小是17.0 N，方向沿绳由O指向A；OB对结点O的拉力大小是9.8 N，方向沿绳由O指向B。
[答案] 见解析
4．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
A [对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程。水平方向有FNcos θ＝F，竖直方向有FNsin θ＝mg，联立解得F＝，FN＝
]
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。
(2)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：即杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，一绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体所受的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律求解。
(1)图1中细绳AD跨过轻质光滑定滑轮悬挂质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以＝。
(2)图1中，FTAC、FNC、M1g三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向与水平方向成30°，指向右上方。
(3)图2中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，所以FNG＝M2g＝M2g，方向水平向右。
[答案] (1) (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
[跟进训练]
5．如图所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在三图中的受力Fa、Fb、Fc的关系是( )
A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb
C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc
C [分别对三种形式的结点进行受力分析，设杆的作用力分别为F1、F2、F3，各图中FT＝mg。
在图(a)中，F1＝2G cos 30°＝G。
在图(b)中，F2＝G tan 60°＝G。
在图(c)中，F3＝G cos 30°＝G。
可知a＝b＞c，故C正确，A、B、D错误。]
1．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体( )
A．一定是静止的
B．一定做匀速直线运动
C．所受各共点力的合力可能不为零
D．所受各共点力的合力为零
D [物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，选项A、B错误；此时所受各共点力的合力一定为零，选项C错误，D正确。]
2．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是( )
A．F＝F1 B．F＝2F1 C．F＝3F1 D．F＝F1
D [以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝30°，由平衡条件可得F1sin 30°＝F2sin 30°，F1cos 30°＋F2cos 30°＝F，联立可得F＝F1，故D正确，A、B、C错误。]
3．如图所示质量为m的物体悬挂在A点，OA为可绕O点转动的轻杆，与竖直墙面的夹角θ＝30°，AB为轻绳，与竖直墙面的夹角α＝60°，轻绳AB和轻杆OA的弹力分别是( )
A．mg，mg B．mg，mg
C．mg、mg D．mg，mg
A [对节点O受力分析如图所示，根据平衡条件可得，轻杆OA中的弹力F＝mg cos θ＝mg cos 30°＝mg，轻绳AB的拉力T＝mg sin 30°＝mg，故选项A正确。
]
4．(2022·江西吉安高一期末)如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为l，则两重物的质量的比值为( )
A． B．2 C． D．
C [法一：合成法
因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin θ＝，而sin θ＝＝，所以＝，选项C正确。
法二：分解法
因c点处于平衡状态，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如图乙所示，则同样有sin θ＝，所以＝，选项C正确。
法三：正交分解法
将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1g·sin θ＝m2g，同样可得＝，选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
提示：静止或匀速直线运动状态；合外力为0即F合＝0。
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
提示：合成法、分解法、正交分解法、矢量三角形法。第5节 共点力的平衡
学习任务 1．知道什么是共点力及共点力作用下物体平衡状态的概念。 2．掌握共点力平衡的条件。 3．会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
共点力平衡的条件
1．平衡状态：物体保持________或________________状态。
2．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果________，方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
3．在共点力的作用下物体平衡的条件是__________。
如图甲中悬挂风景画框的结点O受三个力，乙中的店牌受三个力，丙中的扁担也受三个力。
问题1 观察三幅图中的作用力，哪些是共点力？
问题2 如何计算图乙中的合力？
问题3 图甲中的风景画框处于什么状态？所受合力是多少？
1．共点力平衡的条件
合外力等于0，即F合＝0―→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．由平衡条件得出的三个结论
【典例1】 孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛亮所发明。当年，诸葛亮被司马懿围困于平阳，无法派兵出城求救。诸葛亮算准风向，制成会飘浮的纸灯笼，系上求救的讯息，其后果然脱险，于是后世就称这种灯笼为孔明灯。现有一孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速上升，则此时孔明灯所受空气的作用力(含风力)大小和方向是( )
A．0 B．mg，东北偏上方向
C．mg，竖直向上 D．mg，东北偏上方向
[听课记录]
[跟进训练]
1．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．相对静止的两个物体都处于平衡状态
B．物体做自由落体运动时处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反
2．(2022·哈尔滨六中高一检测)如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向 D．F4的方向
解答共点力平衡问题的三种常用方法
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
问题2 小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？
问题3 重力产生的作用效果是什么？
问题4 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)
1．处理静态平衡问题的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0， ＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0
矢量三 角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
2．应用共点力静态平衡条件解题的步骤
【典例2】 (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是( )
A．F1＝mg cos θ B．F1＝
C．F2＝mg sin θ D．F2＝
[听课记录]
[跟进训练]
3．用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
4．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。
(2)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：即杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，一绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[听课记录]
[跟进训练]
5．如图所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在三图中的受力Fa、Fb、Fc的关系是( )
A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb
C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc
1．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体( )
A．一定是静止的
B．一定做匀速直线运动
C．所受各共点力的合力可能不为零
D．所受各共点力的合力为零
2．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是( )
A．F＝F1 B．F＝2F1
C．F＝3F1 D．F＝F1
3．如图所示质量为m的物体悬挂在A点，OA为可绕O点转动的轻杆，与竖直墙面的夹角θ＝30°，AB为轻绳，与竖直墙面的夹角α＝60°，轻绳AB和轻杆OA的弹力分别是( )
A．mg，mg B．mg，mg
C．mg、mg D．mg，mg
4．(2022·江西吉安高一期末)如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为l，则两重物的质量的比值为( )
A． B．2 C． D．
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
