素养提升课(三) 摩擦力的综合分析
学习任务 1．进一步理解摩擦力，掌握滑动摩擦力和静摩擦力的区别。 2．知道摩擦力可以发生突变，并能解决摩擦力的突变问题。
摩擦力的理解与分析
1．静摩擦力与滑动摩擦力对比
名称 静摩擦力 滑动摩擦力
定义 两个具有相对运动趋势的物体间在接触面上产生的阻碍相对运动趋势的力 两个具有相对运动的物体间在接触面上产生的阻碍相对运动的力
产生 条件 (1)接触面粗糙 (2)接触处有压力 (3)两物体间有相对运动趋势 (1)接触面粗糙 (2)接触处有压力 (3)两物体间有相对运动
大小 (1)静摩擦力为被动力，与正压力无关，满足0方向 与受力物体相对运动趋势的方向相反 与受力物体相对运动的方向相反
作用 效果 总是阻碍物体间的相对运动趋势 总是阻碍物体间的相对运动
2．分析计算摩擦力时的四点注意
(1)首先分清摩擦力的性质，因为一般只有滑动摩擦力才能利用公式F＝μFN计算，静摩擦力通常只能根据物体的运动状态求解。
(2)公式F＝μFN中，FN为两接触面间的压力，与物体的重力没有必然关系，不一定等于物体的重力。
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面面积的大小也无关。
(4)摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反，但与物体的实际运动方向可能相同、可能相反，也可能不共线。
角度1 两类摩擦力的理解
【典例1】 (2022·甘肃兰州高一期末)关于摩擦力，下列说法正确的是( )
A．物体受到静摩擦力作用时，一定处于静止状态
B．只有运动的物体才有可能受滑动摩擦力作用
C．具有相对运动的两物体间一定存在摩擦力作用
D．摩擦力的方向可能与物体运动方向相同
D [运动的物体也可能受静摩擦力，比如在水平路面上，汽车启动时，车厢地板上的物体会受到静摩擦力作用，A错误；静止的物体也可以受到滑动摩擦力，如物体在地面上滑动时，地面虽静止，地面仍受到滑动摩擦力，B错误；如果发生相对运动的两物体接触面光滑，也没有摩擦力，C错误；摩擦力的方向可能与运动方向相同，如放在传送带上的物体，其在摩擦力的作用下运动，则受到的摩擦力与运动方向相同，D正确。]
角度2 摩擦力的计算
【典例2】 (2022·浙江金华高一期末)如图所示，重为800 N的沙发放在水平地面上，体重600 N的小王至少要用96 N的水平力推沙发，才能使沙发从原地开始运动。沙发开始运动以后，小王用80 N的水平力推沙发，就可以使沙发保持匀速直线运动。以下说法正确的是( )
A．沙发与地面之间的动摩擦因数为0.12
B．若用90 N的水平力推这个静止的沙发，则此时沙发所受的摩擦力大小为80 N
C．若用96 N的水平力推这个已经在运动的沙发，则此时沙发所受的摩擦力大小为96 N
D．小王盘腿坐在沙发上，小李用140 N的水平力推已经在运动的沙发，可使小王和沙发保持匀速运动
D [由题意知用80 N的水平力推沙发，就可以使沙发保持匀速直线运动，由平衡条件得T＝μmg，解得沙发与地面之间的动摩擦因数为μ＝＝0.1，故A错误；由题意知至少要用96 N的水平力推沙发，才能使沙发从原地开始运动，即沙发与地面间的最大静摩擦为96 N，所以若用90 N的水平力推这个静止的沙发，则此时沙发不动，所受的摩擦力大小与推力相等，即为90 N，故B错误；若用96 N的水平力推这个已经在运动的沙发，则此时沙发所受的摩擦力为滑动摩擦力，大小仍为80 N，故C错误；小王盘腿坐在沙发上，想使小王和沙发保持匀速运动，则小李需要的水平力为F＝μ(M＋m)g＝140 N，故D正确。]
[跟进训练]
1．(2022·北京市顺义区第九中学高一期中)在中学秋季田径运动会上，李好同学奋力拼搏，勇夺男子100 m冠军，如图为该同学奔跑途中的两个瞬间，用Ff 1、Ff 2分别表示该同学在图甲、乙两瞬间所受到的摩擦力，则关于Ff 1、Ff 2的方向，以下说法正确的是( )
A．Ff 1向后，Ff 2向后 B．Ff 1向前，Ff 2向前
C．Ff 1向前，Ff 2向后 D．Ff 1向后，Ff 2向前
C [当该同学奔跑途中，后脚用力向后蹬，人才向前运动，正是由于地面给后脚有个向前的静摩擦力，使运动员能向前运动。而当前脚向前跨时，正是由于地面给前脚有个向后的静摩擦力，否则运动员会向前滑动。所以前脚受到地面的向后的静摩擦力。]
2．(2022·安徽马鞍山高一期末)如图所示，质量为m的物块和质量为M的木板叠放在水平地面上，物块在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始终处于静止状态，物块与木板间动摩擦因数为μ1，木板与地面间动摩擦因数为μ2，那么下列说法正确的是( )
A．物块受到的摩擦力大小一定为F
B．物块对木板的摩擦力方向水平向左
C．地面对木板的摩擦力是水平向左的静摩擦力
D．地面对木板的摩擦力大小一定是μ2(M＋m)g
C [物块在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始终处于静止状态，物块运动的情况不清楚，当物块匀速运动时物块受到的摩擦力大小为F，A错误；物块相对木板向右运动，则木板相对物块向左运动，木板受到物块的滑动摩擦力方向水平向右，B错误；木板受到物块的滑动摩擦力方向水平向右，木板始终处于静止状态，则地面对木板的摩擦力是水平向左的静摩擦力，C正确；木板受到物块的滑动摩擦力为μ1mg ，木板始终处于静止状态，则地面对木板的摩擦力大小一定是μ1mg，D错误。]
摩擦力的突变问题
摩擦力的突变问题，无论怎样变化，其本质就是静摩擦力和滑动摩擦力大小或方向的变化分析问题，以下是摩擦力突变的常见情况：
分类 说明 案例图示
静—静 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下处于平衡状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，如果物体仍能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小或方向将会发生“突变” 在水平力F作用下物体静止于斜面，F突然增大时物体仍静止，则所受静摩擦力大小或方向将“突变”
静—动 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”为滑动摩擦力 放在粗糙水平面上的物体，水平作用力F从零逐渐增大，物体开始滑动时，物体受到地面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力
动—静 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下做减速运动，突然停止滑行时，物体将不受摩擦力作用，或受到的滑动摩擦力“突变”为静摩擦力 滑块以速度v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置静止时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
动—动 “突变” 某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变” 水平传送带的速度v1大于滑块的速度v2，滑块受到的滑动摩擦力方向向右，当传送带突然被卡住停止传动时滑块受到的滑动摩擦力方向“突变”为向左
【典例3】 (2022·浙江湖州高一期末)小张同学利用如图甲所示的装置研究物块受到的摩擦力情况。质量为4 kg的物块放置在粗糙的长木板上，通过轻绳与固定在水平实验操作台上的力传感器连接。现用水平向左的力F将长木板从物块下面拉出，传感器记录的FT-t图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．2.5～3.5 s内物块受到的是滑动摩擦力
B．长木板受到的摩擦力总是水平向右
C．物块与长木板间的动摩擦因数约为0.25
D．向左拉长木板的F-t图线和图乙的图线相同
B [2.5～3.5 s内物块受到的FT一直在变化，根据平衡调节，故摩擦力也在变化，正压力和接触面不变，说明这段时间物块受到的是静摩擦力，A错误；根据平衡条件物块受到长木板对它的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律，长木板受到的摩擦力总是水平向右，B正确；根据图像可得绳的拉力稳定时为8 N，故滑动摩擦力大小为8 N，则有Ff＝μFN＝μmg，解得μ＝＝0.2，C错误；长木板与操作台间有摩擦力，且不能保证长木板匀速运动，故拉长木板的力和图乙的细线所受的力不同，D错误。]
物体受到的外力发生变化时，物体受到的摩擦力就有可能发生突变。解决这类问题的关键：正确对物体进行受力分析和运动状态分析，从而找到物体摩擦力的突变“临界点”。
[跟进训练]
3．如图所示为一同学从t＝0时刻起逐渐增加水平推力推动箱子过程中三个时刻(t1、t2、t3)的漫画图。假设t1时刻同学对箱子的推力为5 N，t2时刻推力为10 N，t3时刻推力为15 N。下列说法正确的是( )
A．箱子对地面的压力就是箱子的重力
B．t1时刻，箱子所受地面的摩擦力大于5 N
C．t2时刻，箱子所受合外力与t1时刻相同
D．箱子与地面的滑动摩擦力一定为15 N
C [重力和压力是两种不同性质的力，只能说箱子对地面的压力大小等于箱子的重力，A错误；t1时刻，箱子没动，水平方向由二力平衡可知，箱子所受地面的静摩擦力等于5 N，B错误；t2时刻和t1时刻箱子都处于平衡状态，所受的合力均为零，C正确；t3时刻推力为15 N，此时箱子动了，但不能确定箱子的运动状态，故不能确定与地面的滑动摩擦力是否等于15 N，D错误。]
4．(多选)如图甲所示，重为G的物体在水平向右的压力F作用下静止在竖直墙上，F随时间t均匀减小，如图乙所示。物体与墙之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体始终静止。设墙
对物体的弹力为N、物体与墙的最大静摩擦力为Fmax、物体受到的摩擦力为Ff，下列图像能正确表示各力随时间变化的是( )
A B C D
AB [在水平方向上对物体分析可知，物体受到的墙的弹力一直与压力大小相等，方向相反，故变化规律与F的规律相同，故A正确；最大静摩擦力Fmax＝μF，故说明最大静摩擦力也随着压力的减小而减小，故变化规律与F相同，故B正确；物体保持静止，则说明物体处于平衡状态，摩擦力大小一直等于重力，故C、D错误。]素养提升课(三) 摩擦力的综合分析
学习任务 1．进一步理解摩擦力，掌握滑动摩擦力和静摩擦力的区别。 2．知道摩擦力可以发生突变，并能解决摩擦力的突变问题。
摩擦力的理解与分析
1．静摩擦力与滑动摩擦力对比
名称 静摩擦力 滑动摩擦力
定义 两个具有相对运动趋势的物体间在接触面上产生的阻碍相对运动趋势的力 两个具有相对运动的物体间在接触面上产生的阻碍相对运动的力
产生 条件 (1)接触面粗糙 (2)接触处有压力 (3)两物体间有相对运动趋势 (1)接触面粗糙 (2)接触处有压力 (3)两物体间有相对运动
大小 (1)静摩擦力为被动力，与正压力无关，满足0方向 与受力物体相对运动趋势的方向相反 与受力物体相对运动的方向相反
作用 效果 总是阻碍物体间的相对运动趋势 总是阻碍物体间的相对运动
2．分析计算摩擦力时的四点注意
(1)首先分清摩擦力的性质，因为一般只有滑动摩擦力才能利用公式F＝μFN计算，静摩擦力通常只能根据物体的运动状态求解。
(2)公式F＝μFN中，FN为两接触面间的压力，与物体的重力没有必然关系，不一定等于物体的重力。
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面面积的大小也无关。
(4)摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反，但与物体的实际运动方向可能相同、可能相反，也可能不共线。
角度1 两类摩擦力的理解
【典例1】 (2022·甘肃兰州高一期末)关于摩擦力，下列说法正确的是( )
A．物体受到静摩擦力作用时，一定处于静止状态
B．只有运动的物体才有可能受滑动摩擦力作用
C．具有相对运动的两物体间一定存在摩擦力作用
D．摩擦力的方向可能与物体运动方向相同
[听课记录]
角度2 摩擦力的计算
【典例2】 (2022·浙江金华高一期末)如图所示，重为800 N的沙发放在水平地面上，体重600 N的小王至少要用96 N的水平力推沙发，才能使沙发从原地开始运动。沙发开始运动以后，小王用80 N的水平力推沙发，就可以使沙发保持匀速直线运动。以下说法正确的是( )
A．沙发与地面之间的动摩擦因数为0.12
B．若用90 N的水平力推这个静止的沙发，则此时沙发所受的摩擦力大小为80 N
C．若用96 N的水平力推这个已经在运动的沙发，则此时沙发所受的摩擦力大小为96 N
D．小王盘腿坐在沙发上，小李用140 N的水平力推已经在运动的沙发，可使小王和沙发保持匀速运动
[听课记录]
[跟进训练]
1．(2022·北京市顺义区第九中学高一期中)在中学秋季田径运动会上，李好同学奋力拼搏，勇夺男子100 m冠军，如图为该同学奔跑途中的两个瞬间，用Ff1、Ff2分别表示该同学在图甲、乙两瞬间所受到的摩擦力，则关于Ff1、Ff2的方向，以下说法正确的是( )
A．Ff1向后，Ff2向后 B．Ff1向前，Ff2向前
C．Ff1向前，Ff2向后 D．Ff1向后，Ff2向前
2．(2022·安徽马鞍山高一期末)如图所示，质量为m的物块和质量为M的木板叠放在水平地面上，物块在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始终处于静止状态，物块与木板间动摩擦因数为μ1，木板与地面间动摩擦因数为μ2，那么下列说法正确的是( )
A．物块受到的摩擦力大小一定为F
B．物块对木板的摩擦力方向水平向左
C．地面对木板的摩擦力是水平向左的静摩擦力
D．地面对木板的摩擦力大小一定是μ2(M＋m)g
摩擦力的突变问题
摩擦力的突变问题，无论怎样变化，其本质就是静摩擦力和滑动摩擦力大小或方向的变化分析问题，以下是摩擦力突变的常见情况：
分类 说明 案例图示
静—静 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下处于平衡状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，如果物体仍能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小或方向将会发生“突变” 在水平力F作用下物体静止于斜面，F突然增大时物体仍静止，则所受静摩擦力大小或方向将“突变”
静—动 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”为滑动摩擦力 放在粗糙水平面上的物体，水平作用力F从零逐渐增大，物体开始滑动时，物体受到地面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力
动—静 “突变” 物体在摩擦力和其他力作用下做减速运动，突然停止滑行时，物体将不受摩擦力作用，或受到的滑动摩擦力“突变”为静摩擦力 滑块以速度v0冲上斜面做减速运动，当到达某位置静止时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
动—动 “突变” 某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变” 水平传送带的速度v1大于滑块的速度v2，滑块受到的滑动摩擦力方向向右，当传送带突然被卡住停止传动时滑块受到的滑动摩擦力方向“突变”为向左
【典例3】 (2022·浙江湖州高一期末)小张同学利用如图甲所示的装置研究物块受到的摩擦力情况。质量为4 kg的物块放置在粗糙的长木板上，通过轻绳与固定在水平实验操作台上的力传感器连接。现用水平向左的力F将长木板从物块下面拉出，传感器记录的FT-t图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．2.5～3.5 s内物块受到的是滑动摩擦力
B．长木板受到的摩擦力总是水平向右
C．物块与长木板间的动摩擦因数约为0.25
D．向左拉长木板的F-t图线和图乙的图线相同
[听课记录]
物体受到的外力发生变化时，物体受到的摩擦力就有可能发生突变。解决这类问题的关键：正确对物体进行受力分析和运动状态分析，从而找到物体摩擦力的突变“临界点”。
[跟进训练]
3．如图所示为一同学从t＝0时刻起逐渐增加水平推力推动箱子过程中三个时刻(t1、t2、t3)的漫画图。假设t1时刻同学对箱子的推力为5 N，t2时刻推力为10 N，t3时刻推力为15 N。下列说法正确的是( )
A．箱子对地面的压力就是箱子的重力
B．t1时刻，箱子所受地面的摩擦力大于5 N
C．t2时刻，箱子所受合外力与t1时刻相同
D．箱子与地面的滑动摩擦力一定为15 N
4．(多选)如图甲所示，重为G的物体在水平向右的压力F作用下静止在竖直墙上，F随时间t均匀减小，如图乙所示。物体与墙之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体始终静止。设墙对物体的弹力为N、物体与墙的最大静摩擦力为Fmax、物体受到的摩擦力为Ff，下列图像能正确表示各力随时间变化的是( )
A B C D素养提升课(四) 共点力平衡条件的应用
学习任务 1．进一步理解平衡状态和平衡条件。 2．知道物体动态平衡问题的特点，掌握动态平衡问题的求解方法。 3．知道平衡中临界问题的特点，掌握平衡中临界问题的求解方法。
物体的动态平衡问题
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化 (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式 (2)确定未知量大小的变化情况
角度1 解析法、图解法的应用
【典例1】 如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
B [法一 解析法
对球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对球的压力N1、木板对小球的支持力N2′而处于平衡状态。则有tan θ＝＝，N1＝ ，从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tan θ逐渐增大，故N1始终减小。从图中可以看出，N2′＝，从图示位置开始缓慢地转到水平位置， θ逐渐增大，sin θ逐渐增大，故N2′始终减小。球对木板的压力N2与木板对小球的支持力N2′是一对作用力与反作用力，大小相等，故N2始终减小。选项B正确。
法二 图解法
小球受重力G、墙面对球的压力N1、木板对小球的支持力N2′而处于平衡状态。此三力必构成一封闭三角形，如图乙所示。从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，α逐渐减小，据图可知N1始终减小，N2′始终减小。由于N2与N2′是一对作用力与反作用力，大小相等，所以N2始终减小。选项B正确。]
图解法解题的步骤
(1)首先确定研究对象，并对研究对象进行受力分析。
(2)再根据平行四边形定则画出不同状态下的力的矢量图，为了便于比较，画在同一个图上。
(3)最后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的大小变化情况。
角度2 相似三角形法的应用
【典例2】 如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
A [重物对B点的拉力大小等于重力，根据作用效果分解为F1、F2，F1等于杆BC所受的力，F2等于绳AB所受拉力。如图所示，△GF1B∽△ABC，则＝，因为LAC、LBC均不变，所以F1不变。因此A项正确。
]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·福建莆田一中高一期末)如图所示，用竖直挡板将光滑小球夹在挡板和斜面之间，若逆时针缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是( )
A．挡板对小球的压力先增大后减小
B．挡板对小球的压力先减小后增大
C．斜面对小球的支持力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力逐渐减小
D [取小球为研究对象，小球受到重力G、挡板对小球的支持力FN1和斜面对小球的支持力FN2三个力作用，如图所示，FN1和FN2的合力与重力大小相等，方向相反，FN2总垂直接触面(斜面)，方向不变，根据图解可以看出，在FN1方向改变时，其大小(箭头)只能沿PQ线变动。显然在挡板移动过程中，FN1先变小后变大，FN2一直减小，故B、D正确。
]
2．(多选)(2022·青海海东市第一中学高一检测)如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点(重心处)。在人向上攀爬的过程中可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变，人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形，则( )
A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力
B．在此时刻，轻绳对人的拉力大小等于G
C．在虚线位置时，轻绳AC承受的拉力更小
D．在虚线位置时，OC段承受的压力不变
BD [轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对作用力和反作用力，故A错误；重力、轻绳对人的拉力、OC的支持力构成等边三角形，所以轻绳对人的拉力和OC的支持力大小都等于人的重力大小G，故B正确；根据相似三角形，有＝＝，则有T＝N＝G，在虚线位置时，AC更长，则轻绳承受的拉力更大，OC段受到的压力一直不变，故C错误，D正确。]
平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
(2)问题特点：
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)分析方法：
①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例3】 如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)。
[解析] 设绳AB弹力为F1，绳AC弹力为F2，A的受力情况如图，由平衡条件得
F sin θ＋F1sin θ－mg＝0
F cos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N。
[答案] N≤F≤ N
临界与极值问题的分析技巧
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
[跟进训练]
3．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为( )
A． B． C． D．
B [B恰好不下滑时，以滑块B为研究对象，μ1F＝mBg；A恰好不滑动时，以A、B整体为研究对象，则F＝μ2(mAg＋mBg)，所以＝，选项B正确。]
4．一个人最多能提起质量m0＝20 kg的重物。如图所示，在倾角θ＝15°的固定斜面上放置一物体(可视为质点)，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中F是人拖重物的力，求人能够向上拖动该重物质量的最大值m。已知sin 15°＝，cos 15°＝。
[解析] 设F与斜面的夹角为α时，人能拖动重物的最大质量为m，由平衡条件可得
F cos α－mg sin 15°－μFN＝0 ①
FN＋F sin α－mg cos 15°＝0 ②
由已知可得F＝m0g ③
联立①②③式得m＝，其中μ＝，
得重物质量的最大值为mmax＝20 kg。
[答案] 20 kg素养提升课(四) 共点力平衡条件的应用
学习任务 1．进一步理解平衡状态和平衡条件。 2．知道物体动态平衡问题的特点，掌握动态平衡问题的求解方法。 3．知道平衡中临界问题的特点，掌握平衡中临界问题的求解方法。
物体的动态平衡问题
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化 (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式 (2)确定未知量大小的变化情况
角度1 解析法、图解法的应用
【典例1】 如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
[听课记录]
图解法解题的步骤
(1)首先确定研究对象，并对研究对象进行受力分析。
(2)再根据平行四边形定则画出不同状态下的力的矢量图，为了便于比较，画在同一个图上。
(3)最后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的大小变化情况。
角度2 相似三角形法的应用
【典例2】 如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[听课记录]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·福建莆田一中高一期末)如图所示，用竖直挡板将光滑小球夹在挡板和斜面之间，若逆时针缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是( )
A．挡板对小球的压力先增大后减小
B．挡板对小球的压力先减小后增大
C．斜面对小球的支持力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力逐渐减小
2．(多选)(2022·青海海东市第一中学高一检测)如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点(重心处)。在人向上攀爬的过程中可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变，人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形，则( )
A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力
B．在此时刻，轻绳对人的拉力大小等于G
C．在虚线位置时，轻绳AC承受的拉力更小
D．在虚线位置时，OC段承受的压力不变
平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
(2)问题特点：
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)分析方法：
①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例3】 如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)。
[听课记录]
临界与极值问题的分析技巧
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
[跟进训练]
3．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为( )
A． B．
C． D．
4．一个人最多能提起质量m0＝20 kg的重物。如图所示，在倾角θ＝15°的固定斜面上放置一物体(可视为质点)，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中F是人拖重物的力，求人能够向上拖动该重物质量的最大值m。已知sin 15°＝，cos 15°＝。
素养提升练(三) 摩擦力的综合分析
一、选择题
1．如图甲所示的平板小车在搬运货物方面有着广泛的应用，图乙是某同学用平板小车运送货物的原理图，小车在拉力作用下由静止向右滑行了一段距离x，同时车上的货物A相对车向左滑行L，则下列说法正确的是( )
A．物体A受到的摩擦力为阻力，方向水平向左
B．物体A受到的摩擦力为阻力，方向水平向右
C．物体A受到的摩擦力为动力，方向水平向左
D．物体A受到的摩擦力为动力，方向水平向右
2．一物块m在水平力F拉动下，沿静止的水平传送带由左端匀速运动到右端，如图甲所示，这时物块所受摩擦力为Ff1；现开动机械让传送带向左匀速传动，再次将同样的物块m由传送带的左端匀速拉动到右端，这时物块所受摩擦力大小为Ff2，如图乙所示。则Ff1、Ff2的大小关系满足( )
A．Ff1＝Ff2
B．Ff1C．Ff1>Ff2
D．上述三种情况都有可能
3．(多选)如图所示，A、B两长方体物块叠放在水平地面上，物块A受到水平向右的力F作用，两物块均处于静止状态，下列说法正确的是( )
A．A、B之间没有摩擦力
B．A、B之间有摩擦力
C．地面对B有水平向右的摩擦力
D．地面对B有水平向左的摩擦力
4．一块质量为1 kg、长为0.4 m的匀质长木板放在固定的水平桌面上，已知木板与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，当用水平力F＝3 N推木板，使它经过如图所示的位置时，桌面对木板的摩擦力为( )
A．3 N B．2 N C．1.5 N D．0.5 N
5．用如图所示装置研究静摩擦力，物块放在水平桌面上，弹簧秤对物块的拉力沿水平方向，逐渐增大拉力。当拉力小于10 N时，物块保持静止，等于10 N时，物块刚刚开始运动，由此可知( )
A．物块和桌面间的最大静摩擦力是10 N
B．当弹簧秤的示数为5 N时，物块受到的摩擦力是15 N
C．当弹簧秤的示数为15 N时，物块受到的摩擦力是15 N
D．当弹簧秤的示数为15 N时，物块受到的摩擦力是0
6．如图所示，将一张A4纸(质量可忽略不计)夹在物理习题册内，A4纸上方书页总质量为0.3 kg，A4纸下方书页总质量为0.5 kg，A4纸与书页之间、书与桌面之间的动摩擦因数均为0.4，要把A4纸从书中拉出，拉力至少应为(取g＝10 m/s2)( )
A．4 N B．5.6 N C．2.4 N D．3.2 N
7．(多选)如图甲所示，一人用由零逐渐增大的水平力F推静止于水平地面上质量为10 kg的木箱，木箱所受的摩擦力Ff与F的关系如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．木箱所受的最大静摩擦力fm＝21 N
B．木箱所受的最大静摩擦力fm＝20 N
C．木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.21
D．木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.2
8．(2022·江苏省南通中学高一阶段检测)用水平力F拉着一物体在水平地面上做匀速直线运动，从t＝0时刻起水平力F的大小随时间均匀减小，到t1时刻F减小为零，则物体所受的摩擦力Ff随时间t的变化图像可能是如图中的( )
A B C D
9．如图所示，一个质量为m的物体A，向其施加一个水平方向的力F，使A沿竖直墙壁匀速下滑，若物体A与墙面间的动摩擦因数为μ，那么A物体与墙面间的摩擦力为( )
A．Ff＝μmg 向上
B．Ff＝mg 向下
C．Ff＝F 向下
D．Ff＝μF 向上
二、非选择题
10．如甲图所示把一根长20 cm的轻质弹簧上端固定，下端系一质量为1 kg的木块，当木块静止时，弹簧长为25 cm；把此木块放在水平桌面上，用这个轻质弹簧水平拉它，当弹簧长为22 cm时，木块沿桌面匀速运动，如乙图所示。(g取10 m/s2)求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)木块与桌面间的动摩擦因数。
11．如图所示，一质量M＝2 kg的物体放在动摩擦因数μ＝0.2的粗糙水平面上，用一条质量不计的细绳绕过定滑轮和一只m0＝0.1 kg的小桶相连。已知M与水平面间的最大静摩擦力Fm＝4.5 N，滑轮的摩擦不计，g取10 N/kg，求在以下情况中M受到的摩擦力的大小。
(1)只挂m0，处于静止状态时；
(2)只挂m0，但在M上再放一个M′＝3 kg的物体时；
(3)在桶内加入m1＝0.33 kg的沙子时。
素养提升练(三)
1．D 2．A
3．BD [以A物块为研究对象进行受力分析，其处于静止状态，受到水平向右的力F作用，A物块有向右运动的趋势，则A、B之间有摩擦力，A错误，B正确；对整体进行受力分析，两物块均处于静止状态，在水平方向上整体受到向右的拉力，有向右运动的趋势，则地面对B有向左的摩擦力，D正确。]
4．B 5．A 6．C
7．AD [由题图乙知木箱受的最大静摩擦力为fm＝21 N，故A正确，B错误；当木箱运动后受的是滑动摩擦力，大小为f＝μmg＝20 N，解得μ＝0.2，故C错误，D正确。]
8．D 9．D
10．解析：(1)当弹簧上端固定时，根据胡克定律得F1＝mg＝k(l1－l0)
则k＝＝ N/m＝200 N/m。
(2)木块沿桌面匀速运动时，弹簧对物块的拉力的大小F2＝k(l2－l0)＝200×(0.22－0.20) N＝4 N
由平衡条件得：F2＝μmg，解得μ＝0.4。
答案：(1)200 N/m (2)0.4
11．解析：(1)因为m0g＝1 N(2)在M上再放一个M′＝3 kg的物体，M仍静止，故所受静摩擦力F2＝F1＝m0g＝1 N。
(3)因为(m0＋m1)g＝4.3 N答案：(1)1 N (2)1 N (3)4.3 N素养提升练(四) 共点力平衡条件的应用
一、选择题
1．如图所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上，撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则( )
A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大
2．如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )
A．F1不变，F2变大 B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大 D．F1变小，F2变小
3．如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为FN，杆对A环的摩擦力为Ff，则( )
A．FN减小，Ff不变 B．FN减小，Ff增大
C．FN不变，Ff不变 D．FN不变，Ff增大
4．(2022·山东师大附中高一检测)如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中( )
A．F增大，FN减小 B．F减小，FN减小
C．F增大，FN增大 D．F减小，FN增大
5．(多选)气象研究小组用如图所示简易装置测定水平风速。在水平地面上竖直固定一根直杆，质量为m的薄空心塑料球用细线悬于杆顶端O，当水平风吹来时，球在水平风力的作用下飘起来。已知风力大小正比于风速，当风速v0＝3 m/s 时，测得球平衡时细线与竖直方向的夹角θ＝30°，重力加速度为g，则( )
A．θ＝30°时，细线拉力大小为
B．风速增大到某一值时，θ可能等于90°
C．细线拉力与风力的合力大于mg
D．θ＝30°时，风力大小F＝mg
6．(多选)木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链，如图所示。轻弹簧一端与铰链O固定连接，另一端系一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的小滑轮O′由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻弹簧从图示位置缓慢运动到O′正下方，且弹簧的长度始终不变，木板始终保持静止，则在整个过程中( )
A．外力F逐渐减小
B．弹簧弹力大小始终不变
C．地面对木板的支持力逐渐减小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
7．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时Oa绳上的拉力为( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
8．如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
9．(2022·河北卷)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中( )
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力逐渐增大
10．(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
二、非选择题
11．如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
12．如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球B相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10 m/s2，求：
(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ；
(3)当α为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？
素养提升练(四)
1．C 2．A 3．D 4．A
5．AD [选取小球为研究对象，则小球受重力、细线拉力和风力而处于平衡状态，如图所示，根据平衡条件可得FT＝＝，F＝mg tan θ＝mg，故A、D正确；因为风力和重力的合力方向不可能水平向右，可知拉力方向不可能水平向左，则θ不可能等于90°，故B错误；根据共点力平衡条件可知，细线拉力和风力的合力大小等于mg，故C错误。]
6．ABD [对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示，根据几何关系可知两三角形相似，因此＝＝，缓慢运动过程O′A越来越小，则F逐渐减小，A正确；由于弹簧的形变量保持不变，弹簧弹力大小始终不变，B正确；对木板，由于弹簧对木板的弹力大小不变，方向向右下，但弹簧的弹力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，C错误，D正确。
]
7．A 8．C 9．B 10．B
11．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足mg sin 30°＝μmg cos 30°
解得μ＝。
(2)设斜面倾角为α，由匀速直线运动的条件：F cos α＝mg sin α＋Ff
FN＝mg cos α＋F sin α，Ff＝μFN
解得：F＝
当cos α－μsinα＝0，即cot α＝μ时，F→∞，
即“不论水平恒力F多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行此时，临界角θ0＝α＝60°。
答案：(1) (2)60°
12．解析：(1)对B进行受力分析
设细绳对B的拉力为T，由平衡条件可得
F cos 30°＝T cos θ，F sin 30°＋T sin θ＝mg
解得tan θ＝，T＝10 N
即θ＝30°。
(2)对A进行受力分析，由平衡条件有
T sin θ＋Mg＝FN，T cos θ＝μFN
解得μ＝。
(3)对A、B进行受力分析，由平衡条件有F sin α＋FN＝(M＋m)g，F cos α＝μFN
解得F＝
令sin β＝，cos β＝，即tan β＝
则F＝＝
显然，当α＋β＝90°时，F有最小值，所以tan α＝μ＝，即α＝arctanF的值最小。
答案：(1)30° (2) (3)arctan
