(共48张PPT)
3.1.1 函数的概念
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1.函数的概念
微思考1(1)在函数的概念中,函数的值域就是集合B,对吗 它们的关系是什么
(2)如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗
提示:(1)不对,值域是集合B的子集.
(2)确定,一一对应.
2.区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a,b是两个实数,且a
(2)特殊区间的表示
设a,b是两个实数,规定如下:
微思考2(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
(2)“∞”是数吗 如何正确使用“∞”
提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.
(2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
3.同一个函数
如果两个函数的定义域 相同 ,并且对应关系 完全一致 ,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
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一 函数的概念
典例剖析
1.(1)下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
(2)下列对应关系是集合P上的函数的是 (填序号).
①P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;
②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
③P={x|x是三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
答案:(1)C (2)②
解析:(1)由函数的定义可知,选项C正确.
(2)②中对应关系是集合P上的函数,由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素,并且③中的集合P不是数集,从而①③中的对应关系不是集合P上的函数.
规律总结 1.判断所给对应关系是不是函数的步骤
(1)观察两个数集A,B是否非空.
(2)验证对应关系下,集合A中x的任意性,集合B中y的唯一性.
2.根据图形判断对应关系是不是函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则该对应关系是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则该对应关系不是函数.
学以致用
1.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作是从集合A到B的函数关系的是( )
答案:D
二 求函数的定义域
典例剖析
命题角度1 求具体函数的定义域
2.求下列函数的定义域:
命题角度2 求抽象函数的定义域
3.已知函数f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.{x|-1≤x≤9} B.{x|-3≤x≤7}
C.{x|-2≤x≤1}
答案:D
解析:∵函数y=f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},
∴-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,即函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.
∴对函数f(2x+1),有-3≤2x+1≤2,
命题角度3 求实际问题中函数的定义域
4.如图所示,用长为1 m的铁丝(无剩余)做一个下面为矩形、上面为半圆的框架,若半圆的半径为x m,求此框架围成的面积y(单位:m2)与x的函数.
规律总结 求函数定义域要注意应用下列原则
(1)若f(x)是分式,则分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
(6)抽象函数的定义域,注意相同的对应关系所作用对象的范围是一致的.即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)的范围相同.
学以致用
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<0,且x≠-1} D.{x|x≠0,且x≠-1}
答案:C
答案:A
3.已知某山海拔7 500 m,海平面温度为25 ℃,如果气温是高度的函数,而且高度每升高100 m,温度就下降0.6 ℃,那么山中气温T随高度x变化的函数解析式为 ,其定义域为 .
三 同一个函数的判断
典例剖析
5.判断下列各组中的两个函数是不是同一个函数.
解:(1)不是同一个函数,因为f(x)的定义域为{x|x≠-3},而g(x)的定义域为R.
(2)是同一个函数,因为g(x)=2|x|,它与f(x)的定义域和对应关系均相同.
规律总结
判断两个函数是不是同一个函数的方法:先看定义域,若定义域不同,则两个函数不是同一个函数;若定义域相同,则再看对应关系,即化简后的式子,若相同,则为同一个函数,若不同,则不是同一个函数.
学以致用
4.下列各组函数表示同一个函数的是( )
③f(x)=x3-2x2-1与g(t)=t3-2t2-1.
A.①② B.②③
C.③ D.①③
答案:C
四 求函数值和值域
典例剖析
命题角度1 求函数值
6.已知 (x∈R,且x≠2),g(x)=x+4(x∈R).
(1)求f(1),g(1)的值;
(2)求f(g(1)),g(f(1))的值;
(3)当a≠±2时,求f(g(a)),g(f(a))的值.
命题角度2 求函数的值域
7.求下列函数的值域:
规律总结
1.求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由内往外的原则.
2.求函数值域的常用方法
(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法:此方法主要是针对分式函数,即将分式函数转化为“反比例函数”的形式,便于求值域.
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1.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},下列对应关系能构成M到N的函数的是( )
A.y=x2 B.y=x+1
C.y=x-1 D.y=|x|
答案:D
解析:A,B,C中,M中的元素4在N中没有元素对应,故A,B,C不符合函数定义.故选D.
答案:B
解析:A,C中两个函数的定义域不同,D中两个函数的定义域相同,但对应关系不同.B中两个函数的定义域、对应关系均相同.
答案:(-∞,-1)∪(-1,2]
4.已知函数f(x)=|x-1|+|x2-a|,a∈R.若f(2)=1,则f(1)= .
答案:3
解析:由f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|=1,得a=4,
所以f(x)=|x-1|+|x2-4|,
所以f(1)=|1-1|+|1-4|=3.
5.求下列函数的值域:
(1)f(x)=1-x2,x∈{-2,-1,0,1,2};
(2)f(x)=x2+2x-3.
解:(1)因为f(-2)=-3,f(-1)=0,f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-3,
所以函数f(x)的值域为{-3,0,1}.
(2)f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,所以函数f(x)的值域为[-4,+∞).(共41张PPT)
3.1.2 函数的表示法
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1.常用的函数表示法
微思考1任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗
提示:不一定.
2.函数的三种表示法的优缺点
3.分段函数
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
微思考2分段函数是一个函数还是几个函数
提示:分段函数是一个函数,而不是几个函数.
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一 函数的三种表示方法
典例剖析
1.某商场新进了10台电视机,每台售价3 000元,试求售出台数x(单位:台)与销售收入y(单位:元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解:①列表表示如下:
②图象法:如图所示.
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
规律总结
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意:
(1)解析法必须注明函数的定义域.
(2)列表法中选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
(3)图象法中要注意是否连线.
学以致用
1.(1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示该学生与学校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.
答案:(1)D (2)1 1
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ;当g(f(x))=2时,x= .
解析:(1)结合题意可知,该学生与学校的距离先快速减少,然后较慢减少,最后到0,故选D.
(2)由于函数关系是用表格形式给出的,知g(1)=3, ∴f(g(1))=f(3)=1.
由于g(2)=2,∴f(x)=2,∴x=1.
二 求函数解析式
典例剖析
2.(1)已知 ,则f(x)= ;
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)= ;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)= .
规律总结
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.
(3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
(4)方程组法:当同一个对应关系中的两个变量之间存在互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.
学以致用
2.(1)已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(3)已知函数f(x)满足 ,求f(x)的解析式.
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1.
∴f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
又f(x+1)-f(x)=2x,
(2)方法一(配凑法):
∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
方法二(换元法):令t=x+1,则x=t-1,
∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,即f(x)=x2-5x+6.
三 分段函数问题
典例剖析
命题角度1 分段函数求值问题
(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不符合题意,舍去.
当-2∴(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3.
∵1∈(-2,2),-3 (-2,2),∴a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
命题角度2 分段函数的图象及应用
4.已知函数f(x)=|2x+3|-1.
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)求f(x)的定义域和值域.
(2)图象如图.
(3)定义域为R.由图象知,值域为[-1,+∞).
规律总结
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
3.分段函数图象的画法
画分段函数的图象时,应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”.要特别注意端点处是实心点还是空心点.
学以致用
答案:8
①用分段函数的形式表示该函数;
②画出该函数的图象;
③写出该函数的值域.
③由②中图象知,f(x)在区间(-2,2]上的值域为[1,3).
随 堂 训 练
1.已知一次函数f(x)的图象过点A(-1,0)和B(2,3),则下列各点在函数f(x)的图象上的是( )
A.(2,1) B.(-1,1) C.(1,2) D.(3,2)
答案:C
解析:设一次函数的解析式为f(x)=kx+b(k≠0).
由函数图象过点A(-1,0),B(2,3),
故函数f(x)的解析式为f(x)=x+1.
结合选项中各点的坐标知选C.
A.1 B.0
C.2 D.-1
答案:C
解析:∵f(0)=1,
∴f(f(0))=f(1)=1+1=2.
3.观察下表:
则f(3)+g(-3)=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:D
解析:由题表知,f(3)=5,g(-3)=1,所以f(3)+g(-3)=5+1=6.
4.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是( )
A.f(x)=x2+6x
B.f(x)=x2+8x+7
C.f(x)=x2+2x-3
D.f(x)=x2+6x-10
答案:A
解析:令t=x-1,则x=t+1,代入原式有f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,故f(x)=x2+6x.
5.已知函数y=f(x)=|x2-2x|.
(1)先完成下面的表格,再画出函数y=f(x)在区间[-2,3]上的图象;
(2)求函数g(x)=f(x)+2在区间[-2,3]上的取值范围.
解:(1)填表如下:
所作图象如图.
若x∈[-2,0]∪[2,3],则当x=0或x=2时,f(x)取最小值0,
当x=-2时,f(x)取最大值8,
∴f(x)∈[0,8].
当x∈(0,2)时,f(x)∈(0,1],
∴f(x)在区间[-2,3]上的取值范围为[0,8].
∵g(x)=f(x)+2,
∴g(x)在区间[-2,3]上的取值范围为[2,10].