(共33张PPT)
3.2.1 单调性与最大(小)值
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.增函数与减函数的定义
微思考1增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征
提示:定义中的x1,x2有以下3个特征:
(1)任意性,即“任意取定义域中的x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;
(2)有大小,通常规定x1
(3)属于同一个单调区间.
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 单调 区间.
3.函数的最大值与最小值
微思考3若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
课堂·重难突破
一 证明函数的单调性
典例剖析
1.证明:函数f(x)=-x3+1在其定义域上为减函数.
规律总结
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的正负.
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的正负及定义判断单调性.
提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.
学以致用
1.试用函数单调性的定义证明: 在区间(1,+∞)内单调递减.
因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,
所以f(x1)二 求函数的单调区间
典例剖析
2.求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是单调递增还是单调递减.
解:(1)函数 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),
其在区间(-∞,0),(0,+∞)内都单调递增.
(2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间[1,+∞)内单调递增.
根据解析式可作出函数的图象,如图所示,
由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).
f(x)在区间(-∞,-1],[0,1)内单调递增,在区间(-1,0),[1,+∞)内单调递减.
规律总结
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象,如本例(3).
提醒:若所求出的函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开.
学以致用
2.(1)如图所示,写出图象对应的函数在每一单调区间上的单调性;
(2)写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间.
解:(1)由题图可知,函数在区间[-1,0],[2,4]上单调递减,在区间[0,2],[4,5]上单调递增.
如图.
所以函数y=|x2-2x-3|的单调递减区间为(-∞,-1],[1,3],单调递增区间为[-1,1],[3,+∞).
三 求函数的最大(小)值
典例剖析
解:(1)(方法一)函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,f(x)的最大值为4.
(方法二)当x≤0时,f(x)单调递增;当01时,f(x)单调递减,故当x=1时,f(x)取得最大值,且最大值为f(1)=1+3=4.
规律总结
1.用图象法求最值的三个步骤
2.利用单调性求最值的步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性写出最值.
3.函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间[a,b]上单调递减,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b).
(2)若函数在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).
学以致用
3.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.-2,f(2) B.2,f(2)
C.-2,f(5) D.2,f(5)
答案:C
解析:由题中函数的图象知,当x=-2时,f(x)有最小值-2;当x=5时,f(x)有最大值f(5).
4.求下列函数的最值:
其图象如图所示.
所以函数y=|x+2|-1的最小值为-1,无最大值.
随 堂 训 练
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则此函数的单调递减区间的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
2.函数f(x)=2x-x2在区间[0,3]上的最大值M与最小值m的和等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
答案:D
解析:函数f(x)=2x-x2(x∈[0,3])在区间[0,1]上单调递增,在区间(1,3]上单调递减,故当x=1时,函数取得最大值M=1,当x=3时,函数取得最小值m=-3,故M+m=-2.
3.已知函数f(x)是R上的增函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a+3)>f(a-2) D.f(6)>f(a)
答案:C
解析:因为函数f(x)是R上的增函数,且a+3>a-2,
所以f(a+3)>f(a-2).
4.函数f(x)=x2-4x(x∈[-2,4])的单调递增区间是 .
答案:[2,4]
解析:f(x)=x2-4x的图象开口向上,对称轴为直线x=2,
所以函数f(x)=x2-4x(x∈[-2,4])的单调递增区间是[2,4].(共46张PPT)
3.2.2 奇偶性
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素养·目标定位
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1.函数的奇偶性
微提醒1.奇偶性是函数的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质,以加深理解).
2.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.
2.奇函数、偶函数的性质
(1)若一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,则一定有f(0)= 0 .
(2)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 一致 .
(3)若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 相反 .
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一 函数奇偶性的判断
典例剖析
1.判断下列函数的奇偶性:
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R.因为 x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R.因为 x∈R,都有-x∈R,
所以函数f(x)是偶函数.
规律总结
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
(2)图象法:
学以致用
1.判断下列函数的奇偶性:
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
因为f(-1)=0,f(1)=2,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
二 奇函数、偶函数的图象问题
典例剖析
2.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-5,5]上的图象关于原点对称.
由f(x)在区间[0,5]上的图象,可画出它在区间[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5).
互动探究
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,再求解上述问题.
解:(1)如图所示:
(2)由图象可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-5,-2)∪(2,5).
规律总结
巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题.
三 用奇偶性求解析式或参数值
典例剖析
命题角度1 用奇偶性求函数解析式3.(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,
f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;
(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 ,求函数f(x),g(x)的解析式.
解:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1.
又函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴当x<0时,f(x)=-x-1.
又x=0时,f(0)=0,
命题角度2 用奇偶性求参数值
4.(1)若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+b= .
规律总结
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
2.利用函数奇偶性求参数的方法
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解.
(3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
(4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0.
学以致用
(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1) =4,则g(1)等于 .
答案:(1)B (2)3
解析:(1)由题意可知2b-5+2b-3=0,即b=2.又f(x)是奇函数,
故f(-x)+f(x)=0,所以2ax2+2c=0对任意x∈[-1,1]都成立,
即a=c=0,
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,
f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
四 函数奇偶性与单调性的综合应用
典例剖析
命题角度1 利用奇偶性与单调性比较大小
5.若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
答案:B
解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,
6.已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x),且f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上为减函数.
规律总结
1.利用奇偶性与单调性比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
2.利用奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上.
(3)根据函数的单调性,脱掉函数符号“f”,建立关于参数的不等式(组).
(4)解关于参数的不等式(组).
提醒:注意不要忽略函数f(x)的定义域.
学以致用
4.(1)已知函数f(x)是偶函数,且f(x-2)在区间[0,2]上单调递减,则( )
A.f(-1)C.f(0)答案:C
解析:设g(x)=f(x-2),由函数f(x-2)在区间[0,2]上单调递减,
可知g(2)(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增,若f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-1答案:C
解析:因为函数f(x)在R上是偶函数,且f(3)所以f(3)所以3<|2a+1|,
解得a>1或a<-2.
故选C.
随 堂 训 练
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
答案:D
解析:函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故它既不是奇函数也不是偶函数.
2.若函数f(x)=ax3+b(a,b∈R)是R上的奇函数,则( )
A.a∈R,b=0 B.a∈R,b=1
C.a=0,b∈R D.a=1,b∈R
答案:A
解析:由x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,有a(-x)3+b=-ax3-b,
解得b=0,a∈R.
3.如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为
( )
A.-2 B.2
C.1 D.0
答案:A
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, ,则f(x)的解析式为 .
5.已知定义在区间[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示.
(1)请在平面直角坐标系中补全函数f(x)的图象;
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
解:(1)因为f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称,补全f(x)的图象,如图所示.
(2)由图象,知f(3)