(共33张PPT)
3.3 幂函数
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1.幂函数的概念
一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数.
微思考怎样判断一个函数是不是幂函数
提示:判断一个函数是不是幂函数,就是看函数的表达式是不是y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
2.幂函数的图象与性质
(1)幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象如图所示.
(2)幂函数的性质
(3)幂函数性质的延伸
①当α>0时,幂函数的图象过 (0,0) , (1,1) 两点;当α<0时,幂函数的图象过 (1,1) 点.
②当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递 增 ;特别地,当α>1时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内下凸;当0<α<1时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内上凸.
当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递 减 .
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一 幂函数的概念
典例剖析
1.(1)(多选题)下列函数是幂函数的有( )
A.y=x-2 B.y=x0 C.y=2x D.
(2)若函数f(x)=(2m+3)是幂函数,则m的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:(1)ABD (2)A
解析:(2)幂函数是形如f(x)=xα的函数,∴2m+3=1,∴m=-1.
规律总结
判断幂函数的依据
形如y=xα的函数叫幂函数,它具有三个特点
(1)xα的系数为1.
(2)指数为常数(也可以为0).
(3)底数为自变量.
学以致用
1.已知点 在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:B
二 幂函数的图象及应用
典例剖析
2.已知幂函数f(x)=xα的图象过点 ,试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
∴f(x)=x-2.f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
规律总结
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
2.幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
3.根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号.
学以致用
2.(1)若幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>a B.a>b>c>d
C.d>c>a>b D.a>b>d>c
(2)函数 的图象关于x轴的对称图象大致是( )
答案:(1)B (2)B
解析:(1)在第一象限内,直线x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,对应幂函数的幂指数依次增大,所以a>b>c>d.故选B.
三 幂函数性质的综合应用
典例剖析
命题角度1 比较大小
3.比较下列各组中数的大小:
(1)0.213,0.233;
解:(1)∵函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,
∴0.213<0.233.
命题角度2 解不等式
解:∵函数在区间(0,+∞)内单调递减,
∴3m-9<0,解得m<3.
又m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1.
规律总结
1.比较幂值大小的方法
(1)若指数相同,底数不同,则考虑利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同,底数相同,则考虑借助图象求解.
(3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数介于所比较的两数之间,进而比较大小.
2.利用幂函数的性质解不等式的步骤
(1)确定可以利用的幂函数.
(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系.
(3)解不等式求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
学以致用
3.比较下列各组数的大小:
(1)3-1与3.1-1;
(2)4.12,3.8-2,(-1.9)3.
解:(1)因为函数y=x-1在区间(0,+∞)内单调递减,
又3<3.1,所以3-1>3.1-1.
(2)4.12>12=1,0<3.8-2<1-2=1,而(-1.9)3<0,
所以4.12>3.8-2>(-1.9)3.
4.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2a+1)>16,求实数a的取值范围.
解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数,
所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去;
当m=3时,m+1=4符合题意,
所以f(x)=x4.
(2)由(1)知,不等式f(2a+1)>16化为(2a+1)4>16,
解得2a+1<-2或2a+1>2,
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1.已知 ,则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α的值为( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
答案:A
2.若幂函数f(x)的图象经过点(-2,4),则f(x)在定义域内( )
A.为增函数 B.为减函数 C.有最小值 D.有最大值
答案:C
解析:设f(x)=xα.由f(-2)=4,得α=2,即f(x)=x2,则f(x)在定义域内有最小值.
3.函数 的图象大致是( )
答案:B
4.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=4f(2),则 的值等于
. (共37张PPT)
3.4 函数的应用(一)
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1.几类常见的函数模型
2.解函数应用题的一般步骤
第一步:阅读理解、认真审题.
第二步:引进数学符号,建立数学模型.根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数解析式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
第三步:利用数学的方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.
第四步:转译成具体问题作出解答.
注意:(1)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域;(2)在解决函数模型后,必须验证解的合理性.
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一 用一次函数模型、二次函数模型解决实际问题
典例剖析
1.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
(1)在平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数解析式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P(单位:元),根据上述解析式写出P关于x的函数解析式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润.
解:(1)在平面直角坐标系中画出各点,如图.
这些点近似地分布在一条直线上,猜想y与x之间的关系为一次函数关系,设y=f(x)=kx+b(k≠0,且k,b为常数),
∴y=f(x)=-3x+150,经检验,点(45,15)、点(50,0)也在此直线上.
∴y与x之间的函数解析式为y=-3x+150(30≤x≤50).
(2)由题意,得P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4 500
=-3(x-40)2+300(30≤x≤50).
∴当x=40时,P有最大值300.
故当销售单价为40元时,日销售利润最大.
规律总结
在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数模型后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
学以致用
1.有l米长的钢材,要做成窗框(如图所示):上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的大矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所通过的光线最多 并求出窗户面积的最大值.
解:设小矩形的长为x米,宽为y米,窗户的面积为S平方米,则由题图可得9x+πx+6y=l,所以6y=l-(9+π)x,
二 用幂函数模型解决实际问题
典例剖析
2.某同学在做考试用时为120 min,满分为150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时,卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P(单位:分)和Q(单位:分),在每部分至少做了20 min的条件下,发现它们与投入时间m(单位:min)的关系有经验公式
(1)求该同学的数学总成绩y(单位:分)与对卷Ⅱ投入时间x(单位:min)的函数解析式及其定义域.
(2)如何分配使用时间,才能使所得分数最高
规律总结
在用幂函数模型解决实际问题时,一般地,设自变量为x,因变量为y,必要时引入其他相关的辅助变量,并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,即将实际问题数学化,即建立数学模型.
学以致用
2.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x(单位:万元)的函数解析式.
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元
三 用分段函数模型解决实际问题
典例剖析
3.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v可以达到最大 并求出最大值(精确到1辆/时).
解:(1)由题意,当0当20≤x≤200时,设v=ax+b(a,b为常数,a≠0),
规律总结
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式.
学以致用
3.某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票张数x之间的函数关系图象如图所示,试解决下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,则每天至少需要卖出多少张门票
解:(1)当x∈[0,200]时,可设y1=k1x+b1(k1≠0),代入点(0,-1 000)和(200,1 000),解得k1=10,b1=-1 000,所以y1=10x-1 000,x∈[0,200].
当x∈(200,300]时,可设y2=k2x+b2(k2≠0),代入点(200,500)和(300,2 000),解得k2=15,b2=-2 500,所以y2=15x-2 500, x∈(200,300].
(2)若每天的盈利额超过1 000元,则x∈(200,300],
所以y=15x-2 500.
由15x-2 500>1 000,解得x> ≈233.3,
故每天至少需要卖出234张门票.
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1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )
A.3 100元 B.3 000元
C.2 900元 D.2 800元
答案:B
解析:由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,8 000),(2,13 000)代入得a=5 000,b=3 000.故y=5 000x+3 000,当x=0时,y=3 000.
2.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分)满足函数关系p=at2+bt+c(b,c是常数,a≠0),如图,记录了三次试验的数据,根据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分 B.3.75分
C.4.00分 D.4.25分
答案:B
解析:由题意得,二次函数p=at2+bt+c(a≠0,b,c是常数)的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),将它们的坐标分别代入解析式,
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大.故选B.
3.把一根长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,则这两个三角形面积之和的最小值为 cm2.
解析:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,两个三角形的面积和为S cm2.
4.某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(单位:元)与产品的日销售量y(单位:件)之间的关系如表所示:
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
如果日销售量y是关于售价x的一次函数,那么,要使每天所获得的利润最大,每件产品的售价应定为多少元 此时每天的销售利润是多少
当每件产品的售价为x元时,每件产品的销售利润为(x-120)元,
设每天的销售利润为S元,则S=(200-x)·(x-120)=-x2+320x-24000 =-(x-160)2+1 600,120所以当x=160时,S取得最大值1 600.
所以,要使每天所获得的利润最大,每件产品的售价应定为160元,此时每天的销售利润为1 600元.
