(共35张PPT)
习题课一
函数的单调性与最大(小)值的简单应用
一 函数单调性的判断
1.函数单调性的主要判定方法
(1)定义法,即“取值—作差变形—定号—下结论”.
(2)图象法,根据函数图象的升、降趋势进行判断.
(3)直接法,运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可以直接得出.
2.判断函数单调性常用的几个结论
(1)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反.
(2)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c(c为常数)的单调性相同.
(3)当a>0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当a<0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
(6)若f(x)>0,g(x)>0,且它们在公共区间上都单调递增(减),则y=f(x)g(x)在此公共区间上单调递增(减);若f(x)<0,g(x)<0,且它们在公共区间上都单调递增(减),则y=f(x)g(x)在此公共区间上单调递减(增).
(7)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.
规律总结
函数y=2x和 在其公共区间上均为增函数,利用“增函数+增函数=增函数”即可判断原函数的单调性.
【跟踪训练1】求函数f(x)=x2+|x|的单调区间.
解法一:函数f(x)=x2+|x|的定义域为R.
函数y=x2在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增;函数y=|x|在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)=x2+|x|的单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞).
画出函数f(x)的图象(图略),由图象可知函数f(x)=x2+|x|的单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞).
【典型例题2】已知函数
(1)判断函数f(x)在区间[1,+∞)内的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值.
解:(1)函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增.
证明如下:
x1,x2∈[1,+∞),且x1
∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,
规律总结
答案:(-∞,-1],[1,+∞) [-1,(0,1]
当0即f(x2)当1≤x10,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
同理可得,f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,
在区间[-1,0)上单调递减.
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞);
单调递减区间是[-1,0),(0,1].
二 函数单调性的应用
函数的单调性是函数的重要性质之一,常见的应用有:
(1)应用单调性比较大小.
(2)已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围.
(3)利用单调性求函数的值域或函数的最值.
(4)利用单调性解抽象不等式.
【典型例题4】如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x).试比较f(1),f(2),f(4)的大小.
解:由题意知,f(x)图象的对称轴为直线x=2,
故f(1)=f(3).
∵f(x)=x2+bx+c,
∴f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.
∴f(2)规律总结
利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数值的大小,即已知f(x)在区间I上单调递增,则对x1,x2∈I,x1(2)利用单调性比较函数值的大小,务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较,最后写结果时再还原回去.
【跟踪训练4】若函数f(x)的定义域为R,且在区间(0,+∞)内单调递减,则下列不等式成立的是( )
答案:B
【典型例题5】已知二次函数y=x2-2ax+6在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
答案:[4,+∞)
解析:二次函数y=x2-2ax+6的图象的对称轴是直线x=a.
∵二次函数y=x2-2ax+6在区间(-∞,4]上单调递减,∴a≥4.
答案: A
答案:A
答案:B
【典型例题7】已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) 规律总结
利用函数单调性解不等式的依据
(1)若y=f(x)在给定区间上单调递增,则当f(x1)f(x2)时,x1>x2.
(2)若y=f(x)在给定区间上单调递减,则当f(x1)x2;当f(x1)>f(x2)时,x1提醒:解答此类问题不要忽视函数的定义域.
规律总结
1.本题是增函数定义的逆用:若f(x)是增函数,且f(x1)2.解决这类与抽象函数有关的不等式问题时,关键在于将不等式两边化成函数值的结构,然后利用函数的单调性转化为熟悉的不等式(组).
【跟踪训练8】已知函数f(x),对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明: x1,x2∈R,且x10,∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x1)(2)解:∵对任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3.∴f(3m2-m-2)<3=f(2).
∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2,
三 二次函数的最值问题
【典型例题9】已知函数f(x)=x2-ax+1,
(1)求f(x)在区间[0,1]上的最大值;
(2)当a=1时,求f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值.
规律总结
含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k(a≠0)的形式,再依据a的符号确定二次函数图象的开口方向,依据对称轴x=-h得出顶点的位置,再根据x的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值.
【跟踪训练9】若函数f(x)=x2-6x+10在区间[0,a]上的最小值是2,求实数a的值.
解:由题意知,f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,
①若a≥3,则f(x)min=f(3)=1,不符合题意;
②若0所以f(x)min=f(a)=2,
解得a=2或a=4.
又0所以a=2.
综上所述,a=2.(共41张PPT)
章末核心素养整合
知识体系构建
专题归纳突破
知识体系构建
专题归纳突破
专题一 函数的定义域与值域问题
1.函数的定义域
(1)已知函数解析式求函数的定义域,即求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.
(2)抽象函数(没有给出具体对应关系的函数)的定义域.①已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知g(x)的取值范围是A,求x的取值范围;②已知f(g(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知x∈B,求g(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域;③已知f(φ(x))的定义域求f(h(x))的定义域,先由x的取值范围,求出φ(x)的取值范围,即f(x)中x的取值范围,也就是f(h(x))中h(x)的取值范围,再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围.
(3)实际问题的定义域,既要考虑解析式有意义,还要考虑使实际问题有意义.
答案:[-1,1)∪(1,2)
【典型例题2】(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求f(x2+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1),求f(1-3x)的定义域.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为[0,1],所以0≤x2+1≤1.
所以-1≤x2≤0,所以x=0.故f(x2+1)的定义域为{0}.
(2)因为f(2x-1)的定义域为[0,1),
所以0≤x<1,所以-1≤2x-1<1,
所以f(x)的定义域为[-1,1).
【跟踪训练1】(1)求函数 的定义域;
(2)将一根长为a的铁丝折成一个矩形框,求矩形框的面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.
2.函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应关系,因此求函数的值域时应首先考虑定义域.求函数的值域主要有以下几种方法.
(1)观察法:有些函数的结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察得出函数的值域.
(2)配方法:与二次函数有关的函数,可用配方法求解,但要注意定义域.
(6)图象法:作出函数的图象,采用数形结合的方法求得函数的值域,求分段函数的值域常用此法.
【典型例题3】求下列函数的值域:
【跟踪训练2】已知函数
(1)画出f(x)的图象;
(2)求f(x)的定义域和值域.
解:(1)作出f(x)的图象,如图所示.
(2)由题意知,函数f(x)的定义域为R.
由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
专题二 函数的单调性与奇偶性问题
1.函数的单调性和奇偶性是高考考查的重点,经常把单调性与奇偶性结合起来考查函数知识.
2.与函数单调性和奇偶性有关的问题主要有:(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性;(2)通过图象或单调性和奇偶性的结论求函数的单调区间;(3)应用函数的单调性和奇偶性求最值、解不等式、比较大小;(4)应用函数的单调性和奇偶性求参数的值或取值范围.
【典型例题4】已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数
g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
专题三 函数的应用
1.对于给出函数图象的应用性问题,首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式,然后再用函数解析式来解决问题,最后再转化成具体问题,作出解答.
2.对于借助函数图象表达题目信息的问题,读懂图象是解题的关键.
【典型例题5】某通信公司为了配合客户的不同需要,现设计A,B两种优惠方案,这两种方案的应付话费y(单位:元)与通话时间x(单位:分)之间的函数关系图象如图所示(实线部分).(注:图中MN∥CD)
(1)若通话时间为2小时,则按方案A,B各应付话费多少元
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠
解:由题图可知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x),fB(x),则
【跟踪训练4】为弘扬中华传统文化,某学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查,小明同学两类读物的阅读量统计如下:
小明“经典名著”的阅读量f(t)(单位:字)与时间t(单位:分)满足二次函数关系,部分数据如下表所示:
t 0 10 20 30
f(t) 0 2 700 5 200 7 500
“古诗词”的阅读量g(t)(单位:字)与时间t(单位:分)满足的函数关系图象如图所示.
(1)请分别写出函数f(t)和g(t)的解析式;
(2)在每天的一小时课外阅读活动中,小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间,使每天的阅读量最大,最大值是多少
解:(1)因为f(0)=0,所以可设f(t)=at2+bt(a≠0),代入(10,2 700)与(30,7 500),解得a=-1,b=280,所以f(t)=-t2+280t.
当0≤t≤40时,可设g(t)=kt(k≠0),代入(40,8 000),解得k=200,
故g(t)=200t.
当40≤t≤60时,可设g(t)=mt+n(m≠0),
代入(40,8 000),(60,11 000),解得m=150,n=2 000,
故g(t)=150t+2 000.
(2)设每天阅读量为h(t),小明对“经典名著”的阅读时间为t(0≤t≤60),则对“古诗词”的阅读时间为60-t,
①当0≤60-t<40,即20h(t)=f(t)+g(60-t)=-t2+280t+200(60-t)=-t2+80t+12 000
=-(t-40)2+13 600,
所以当t=40时,h(t)有最大值13 600.
②当40≤60-t≤60,即0≤t≤20时,
h(t)=f(t)+g(60-t)=-t2+280t+150(60-t)+2 000=-t2+130t+11 000,
因为h(t)图象的对称轴为直线t=65,
所以当0≤t≤20时,h(t)是单调递增,
所以当t=20时,h(t)有最大值13 200.
因为13 600>13 200,所以阅读量h(t)的最大值为13 600,此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟,对“古诗词”的阅读时间为20分钟.
专题四 思想方法专题
1.数形结合的思想
数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面,两方面相辅相成,互为补充.根据题意能把抽象的数量关系与直观的几何图形联系起来,从而使问题在解答过程中更加直观化、形象化.
解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.
【跟踪训练5】已知奇函数
(1)求实数m的值;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)若函数f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定a的取值范围.
解:(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x,所以当x<0时,f(x)=x2+2x,故m=2.
函数f(x)的图象如图所示.
(3)由图象可知f(x)在区间[-1,1]上单调递增,要使f(x)在区间
[-1,|a|-2]上单调递增,只需-1<|a|-2≤1,即1<|a|≤3,
解得-3≤a<-1或1即a的取值范围是[-3,-1)∪(1,3].
2.分类讨论的思想
当所研究的问题含有参数时,往往要对参数进行讨论,其步骤是:(1)确定分类讨论的对象,即对哪个参数进行讨论;(2)对所讨论的对象进行合理的分类;(3)逐类讨论,即对各类问题逐个讨论,逐个解决;(4)归纳总结,即对各类情况进行归纳,得出结论.
【典型例题7】已知函数f(x)=x2-(2a-4)x+2在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.
解:对二次函数配方,得f(x)=[x-(a-2)]2-(a-2)2+2,x∈[-1,1],f(x)图象的对称轴为直线x=a-2.
当a-2<-1,即a<1时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以函数f(x)的最小值为g(a)=f(-1),即g(a)=2a-1.当-1≤a-2≤1,即1≤a≤3时,函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(a)=f(a-2),即g(a)=-(a-2)2+2.当a-2>1,即a>3时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以函数f(x)的最小值为g(a)=f(1),即g(a)=-2a+7.
综上所述,所求g(a)的解析式为
【跟踪训练6】已知函数f(x)=x2+4.
(1)设 ,根据函数单调性的定义证明g(x)在区间[2,+∞)内单调递增;
(2)当a>0时,解关于x的不等式f(x)>(1-a)x2+2(a+1)x.
由x2>x1≥2,得x1-x2<0,x1x2-4>0.
于是g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)所以函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增.