(共25张PPT)
4.3.1 对数的概念
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.对数的概念
(1)对数的概念:
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做 以a为底N的对数 ,记作 x=logaN ,其中a叫做 对数的底数 ,N叫做 真数 .
(2)常用对数与自然对数:
通常,我们将以10为底的对数叫做 常用对数 ,并把log10N记为 lg N ,另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为 自然对数 ,并把logeN记为 ln N .
微思考在对数的定义中,为什么不能取a≤0及a=1呢
②若a=0,当N≠0时,不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;当N=0时,对任意非零实数x,都有ax=N成立,logaN不确定.
③若a=1,当N≠1时,logaN不存在;当N=1时,loga1有无数个值,不能确定.
2.对数与指数的关系
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a>0,且a≠1时,ax=N x= logaN .
对数的性质:
(1)负数和0 没有对数 .
(2)loga1= 0 (a>0,且a≠1).
(3)logaa= 1 (a>0,且a≠1).
微训练(1)若 ,则x= .
(2)若log3(2x-1)=0,则x= .
答案:(1)6 (2)1
(2)若log3(2x-1)=0,则2x-1=1,解得x=1.
课堂·重难突破
一 指数式与对数式的互化
典例剖析
1.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
规律总结
对数式与指数式的关系如图
学以致用
1.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)43=64;(2)ln a=b(a>0);
解:(1)log464=3.
(2)eb=a.
(4)103=1 000.
二 利用指数式与对数式的互化求变量的值
典例剖析
互动探究
(变问法)若本例(1)中条件不变,求am-n的值.
规律总结
对数式中求值的基本思想和方法
基本思想:在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数的值,要注意利用方程思想求解.
基本方法:(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算.
学以致用
2.利用指数式、对数式的互化,求下列各式中x的值.
(2)由logx25=2,得x2=25.
∵x>0,且x≠1,∴x=5.
(3)由log5x2=2,得52=x2,∴x=±5.
∵52=25>0,(-5)2=25>0,∴x=5或x=-5.
三 对数性质与对数恒等式的应用
典例剖析
3.求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lg x)=1.
解:(1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,
∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000.
规律总结
1.求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
2.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:
学以致用
3.(1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为
( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案:(1)A (2)215
解析:(1)∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.
∴x=3.同理y=4,z=2.∴x+y+z=9.
随 堂 训 练
1.已知log3a=2,则a等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案:D
解析:由题意,得a=32=9.
答案:C
2.在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)∪(5,+∞) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(3,4)
答案:C
4.若a=log310,b=log37,则3a-b= .
5.若10lg x=100,则x= .
答案:100(共31张PPT)
4.3.2 对数的运算
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
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素养·目标定位
课前·基础认知
微总结指数与对数运算性质对照表(其中a>0,且a≠1,m,n,M,N均大于0):
2.换底公式
对数换底公式: (a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
特别地:logab·logba= 1 (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).
微思考换底公式中底数c是特定数还是任意数
提示:是大于0且不等于1的任意数.
微训练log35×log56×log69= .
答案:2
课堂·重难突破
一 利用对数的运算性质化简、求值
典例剖析
1.求下列各式的值.
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.
(2)原式=[(1-log63)2+log62·(log63+log66)]÷log64
=[(log66-log63)2+log62·(log63+log66)]÷(2log62)
=[(log62)2+log62·(log63+log66)]÷(2log62)
=[log62·(log62+log63+log66)]÷(2log62)=2log62÷(2log62)=1.
规律总结
对数式化简(求值)的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式,化简(求值)的常用方法是:
①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化成一个对数式;
②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
(2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简(求值).
学以致用
1.求下列各式的值.
二 利用换底公式化简、求值
典例剖析
2.(1)(log43+log83)(log32+log92)= ;
(2)已知log37=a,3b=2,试用a,b表示log1456.
解:因为3b=2,所以b=log32,
又因为a=log37,
互动探究
1.(变条件)将本例(2)中条件“3b=2”改为“2b=3”,则结果又是什么
2.(变条件)将本例(2)中条件“3b=2”改为“b=log36”,则结果又是什么
解:因为log36=log33+log32=b,
所以log32=b-1.
又因为log37=a,
规律总结
利用换底公式化简、求值
2.(1)已知log1227=a,求log616的值;
(2)计算(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)的值.
三 利用对数式与指数式的互化解题
典例剖析
3.(1)已知2log2x=log7y,且 ,则xy的值是( )
A.98 B.49 C.28 D.14
答案:A
规律总结
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于指数连等式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式将各项化为同底的对数,从而使问题得解.
学以致用
随 堂 训 练
1.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式恒成立的是( )
A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb
C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac
答案:B
2.已知a=log32,则log38-2log36用a表示是( )
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2
答案:A
解析:原式=log323-2log32-2log33=log32-2=a-2.
3.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
答案:A
解析:设太阳的星等为m1=-26.7,天狼星的星等为m2=-1.45.
则太阳的亮度为E1,天狼星的亮度为E2,
故选A.
4.若logab·log3a=4,则b的值为 .
答案:81
答案:1
