(共36张PPT)
4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
素养·目标定位
课前·基础认知
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随 堂 训 练
素养·目标定位
课前·基础认知
1.对数函数的概念
一般地,函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,定义域是 (0,+∞) .
微判断(1)函数 是对数函数.( )
(2)函数y=2log3x是对数函数.( )
(3)函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).( )
×
×
×
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x轴 对称.
微训练(1)对数函数y=logax与y=logbx的图象如图,则( )
A.a<0,b<0 B.a<0,b>0
C.0
1 D.0答案:(1)C (2)B
课堂·重难突破
一 对数函数的概念
典例剖析
1.(1)下列函数中,是对数函数的有( )
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则f(8)= .
答案:(1)B (2)-3
解析:(1)∵①中自变量在底数位置上,∴①不是对数函数;
∵②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,∴②不是对数函数;
∵⑤⑦的真数分别为x+2,x+1,∴⑤⑦不是对数函数;
∵⑥中对数符号前面的系数为2,
∴⑥不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵f(x)的图象过点(4,-2),∴f(4)=loga4=-2,
规律总结
判定一个函数是对数函数的依据
学以致用
1.已知函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则 等于( )
A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38
答案:B
二 与对数函数有关的函数的定义域
典例剖析
规律总结
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
学以致用
2.(1)函数f(x)=ln(x+1)+ 的定义域为 .
(2)函数f(x)=log(x+1)(16-4x)的定义域为 .
答案:(1)(-1,1)∪(1,+∞) (2)(-1,0)∪(0,2)
三 与对数函数有关的函数的图象
典例剖析
3.(1)函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的大致图象为( )
答案:C
(2)函数y=loga(x-3)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
答案:(4,3)
解析:当x-3=1,即x=4时,y=loga(x-3)+3=0+3=3,
所以函数y=loga(x-3)+3的图象恒过定点(4,3).
(3)画出函数y=lg|x-1|的图象.
解:第一步,画出函数y=lg x的图象(如图).
第二步,画出函数y=lg|x|的图象(如图).
第三步,画出函数y=lg|x-1|的图象(如图).
互动探究
(变条件)将本例(3)中“y=lg|x-1|”改为“y=|lg x|”,画出它的图象.
解:第一步,画出函数y=lg x的图象(如图).
第二步,画出函数y=|lg x|的图象(如图).
规律总结
现在画图象很少单纯依靠描点,大多是以基本初等函数的图象为基础,通过变换得到,所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论,另一方面要关注定义域、值域、关键点等.
学以致用
3.(1)函数y=lg|x+1|的大致图象是( )
答案:B
∴当x>-1时,y=lg(x+1)的图象是由函数y=lg x的图象向左平移1个单位长度得到的;
当x<-1时,y=lg(-x-1)的图象与函数y=lg(x+1)(x>-1)的图象关于直线x=-1对称.
∴函数y=lg|x+1|的大致图象是选项B.故选B.
(2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b= ,c= .
答案:-2 2
随 堂 训 练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
答案:D
解析:选项A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D选项符合.
2.若函数y=f(x)的定义域是[1,2 024],则函数 的定义域是( )
A.(0,2 023] B.(0,1)∪(1,2 023]
C.(1,2 024] D.[-1,1)∪(1,2 023]
答案:B
答案:A
4.已知函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则b=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析:由题意知函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象过定点A(0,2),
则2=20+b=1+b,得b=1.故选B.
5.函数y=loga(4-x)+lg(x-2)(a>0,且a≠1)的定义域为 .
答案:(2,4)(共41张PPT)
4.4 对数函数
第2课时 对数函数的图象与性质
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1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
2.反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为 反函数 ,它们的定义域与值域正好 互换 .
微拓展并不是任何一个函数y=f(x),都有反函数.只有定义域和值域满足一一对应的函数才有反函数.
微训练函数 的反函数是 .
课堂·重难突破
一 比较大小
典例剖析
1.比较下列各题中两个值的大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
(2)log30.2,log40.2;
(3)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x是增函数,且0.3<2,
所以ln 0.3(2)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,
(方法二)因为在区间(0,1)上,y=log3x的图象在y=log4x图象的下方,所以log30.2(3)当a>1时,函数y=logax在区间(0,+∞)内是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1当0又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
(4)因为函数y=log3x是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
规律总结
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
学以致用
1.(1)已知 ,a=ln x,b=2ln x,c=(ln x)3,那么( )
A.aC.b(2)下列不等式成立的是(其中a>0,且a≠1)( )
答案:(1)C (2)B
解析:(1)∵x∈( ,1),∴a=ln x∈(-1,0),
则b=2ln x=ln x2ln x=a,∴b(2)对于选项A,因为a和1的大小关系不确定,无法确定对数函数的单调性,故A不成立;对于选项B,因为以 为底的对数函数是减函数,所以成立;对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,所以不成立;对于选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,故不成立.故选B.
二 求解对数不等式
典例剖析
2.解下列不等式:
规律总结
对数不等式的常见解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
学以致用
2.解下列不等式:
(1)log2(2x+3)≥log2(5x-6);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
三 与对数函数复合的函数的单调性与值域
典例剖析
3.(1)函数 的单调递增区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,0] D.[0,1)
(2)已知函数f(x)=loga(x2-2ax+8)在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.[2,3)
C.(0,1)∪[2,+∞) D.(0,1)∪[2,3)
答案:(1)D (2)D
解析:(1)因为1-x2>0,
所以-1(2)由题意可知,a>0,且a≠1.
设g(x)=x2-2ax+8,可得其图象的对称轴为直线x=a.
4.求下列函数的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
解:(1)f(x)的定义域为R.∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
规律总结
形如y=logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0,当a>1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性一致.当0学以致用
3.(1)若函数f(x)=loga(6-ax)在区间[0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
(2)函数f(x)=log3(x2+2x+4)的值域为 .
答案:(1)B (2)[1,+∞)
四 对数函数性质的综合应用
典例剖析
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)用函数单调性的定义证明:函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
规律总结 常见的对数函数的综合问题及解决策略
(1)已知某函数是奇函数或偶函数,求其中某参数值时,常用方法有两种:
①由f(-x)=±f(x)直接列关于参数的方程(组)求解.
②由f(-a)=±f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组),求解,但此时需检验.
(2)用定义证明y=logaf(x)型函数的单调性时,应先比较与x1,x2对应的两真数间的大小关系,再利用对数函数的单调性,比较两函数值之间的大小关系.
学以致用
4.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x),其中a>0,且a≠1, F(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数F(x)的定义域;
(2)判断F(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)当a>1时,求使F(x)>0成立的x的取值集合.
解:(1)F(x)=f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
所以函数F(x)的定义域为{x|-1(2)F(x)为奇函数.理由如下:
F(x)=f(x)-g(x),其定义域为(-1,1),
且F(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)
=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-F(x),所以F(x)是奇函数.
(3)F(x)>0,即loga(x+1)-loga(1-x)>0,
即loga(x+1)>loga(1-x).
∴使F(x)>0成立的x的取值集合为{x|0随 堂 训 练
1.函数y=( )x与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
答案:A
2.已知实数a=log23,b=( )0,c=log0.32,则a,b,c的大小关系为
( )
A.bC.c答案:D
解析:∵a=log23>log22=1,b=( )0=1,c=log0.32∴c答案:D
4.函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是 .
答案:(-1,1]
解析:由-x2+2x+3>0得-1又y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].
答案:(-∞,0)(共31张PPT)
4.4 对数函数
第3课时 不同函数的增长差异
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三种常见函数模型的增长差异
比较三种函数模型的性质,填写下表.
微判断(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.( )
(2)函数y=log2x增长的速度越来越慢.( )
(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>100x.( )
√
√
×
解析:(1)因为一次函数的图象是一条直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.
(2)由函数y=log2x的图象(图略)可知其增长的速度越来越慢.
(3)根据指数函数和一次函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>100x.
课堂·重难突破
一 函数模型的增长差异的比较
典例剖析
1.已知函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较f(x)与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),
f(2 023),g(2 023)的大小.
解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,
曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);当x1当x>x2时,f(x)>g(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(14),
所以1x2.
从题图可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 023)>g(2 023).
又g(2 023)>g(6),所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6).
规律总结
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:y=kx+b(k>0),增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1),增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(3)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0, x>0,a>1),增长特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂型函数模型:f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0,α≠1),增长情况由a和α的取值确定.
学以致用
1.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
典例剖析
2.一个高为H,容量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现向鱼缸中匀速加水,直到注满为止.当鱼缸水深为h时,水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是( )
答案:B
解析:由题图可知,当水深h越大时,水的体积V就越大,故函数V=f(h)单调递增.
根据鱼缸的形状,下边较细,中间较粗,上边较细,所以随着水深的增加,水的体积的变化速度是先快后慢.故选B.
规律总结
一般来说,函数模型的增长速度与图象的关系如下表:
学以致用
2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年的年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系用图象表示,正确的是( )
答案:A
三 函数模型的选择问题
典例剖析
3.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
现有三个奖励函数模型:①y=0.03x+8;②y=0.8x+200;③y=100log20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
互动探究
(变问法)若使用本例中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元
解:由100log20x+50≥350,即log20x≥3,解得x≥8 000,所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.
规律总结
如何选择函数模型
观察法:对于给出部分具体数据的题型,在选择函数模型时,需要整体观察数据的变化趋势,大体上确定函数类型,然后将具体数值代入,进行排除,找出最佳的函数模型.
散点图法:根据数据作出散点图,通过升、降情况选择函数模型.常见的散点图对应的函数模型:
指数型函数模型或幂型函数模型
对数型函数模型或幂型函数模型
二次函数模型
一次函数模型
学以致用
3.下列选项是投资预期的收益y关于时间x的函数,从长远的角度看,更为有前途的投资是( )
A.y=10×1.05x B.y=20+x1.5
C.y=30+lg(x-1) D.y=50
答案:A
解析:由所给函数的增长差异可知,指数型函数y=10×1.05x增长最快,所以A的预期收益最大.故选A.
随 堂 训 练
答案:B
1.某同学最近5年内的学习费用y(单位:千元)与时间x(单位:年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )
A.y=ax+b(a,b为常数,a≠0)
B.y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
C.y=a·ex+b(a,b为常数,a≠0)
D.y=aln x+b(a,b为常数,a≠0)
2.在同一直角坐标系中画出函数y=logax,y=ax,y=x+a的图象,可能正确的是( )
答案:D
解析:由题意可知,a>0,且a≠1.当01时,函数y=logax,y=ax,y=x+a在定义域上单调递增,且函数y=x+a的图象与y轴交点的纵坐标大于1,观察题中图象可知,D选项满足条件,故选D.
3.使不等式log2xA.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(0,2)∪(4,+∞)
答案:D
解析:在同一直角坐标系中分别画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图象(图略).由图可知,满足条件的x的取值范围是(0,2)∪(4,+∞).故选D.
4.某学习小组通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现:该服装在过去的一个月内(以30天计),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示.
给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-25|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=a·logbx.根据表中的数据,你认为最适合描述该服装在过去的一个月内(以30天计)的日销售量Q(x)与时间x的变化关系的一种函数模型为 (填序号).
答案:②
解析:由题中表格可知,日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的关系不单调.
又因为①Q(x)=ax+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx为单调函数,所以不能描述Q(x)与x的变化关系.
对于②Q(x)=a|x-25|+b,当a<0时,函数先增后减,可以描述Q(x)与x的变化关系.
故最适合的函数模型为②.