第十八章 平行四边形单元测试卷（含答案）
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| 名称 | 第十八章 平行四边形单元测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-27 17:17:34 | ||
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文档简介
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2024人教版数学八年级下学期
第十八章 平行四边形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·湖南邵阳期末)正方形具有,而菱形不具有的性质是 ( )
A.四条边都相等 B.对角线互相垂直
C.四个角都相等 D.对角线互相平分
2.(2022·河北保定莲池区期末)下列四边形中,其图中阴影部分的面积不一定等于大平行四边形面积一半的是 ( )
A B C D
3.(2022·吉林敦化期末)如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点M在边BC上,若MA平分∠DMB,则CM的长是 ( )
A.3 B.1 C.2 D.
(第3题) (第4题)
4.(2022·安徽合肥包河区二模)如图,一块三角板放在一张菱形纸片上,其斜边与菱形的一边平行,则∠1的度数是 ( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
5.(2021·河南许昌期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接DE,DC,EF,若EF=5,则AB的长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.18
(第5题) (第6题)
6.(2022·江苏南京模拟)如图,在 ABCD中,以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交边AB,BC于点F,G,再分别以点F,G为圆心,大于FG的长为半径作弧,两弧交于点H,作射线BH交边AD于点E,连接CE.若CE⊥DE,AE=5,DE=3,则S ABCD= ( )
A.20 B.28 C.32 D.40
7.(2022·北京东城区期中改编)如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法中正确的是 ( )
A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形
C.若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
(第7题) (第8题)
8.(2022·山东济南槐荫区一模)四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形,当内角的大小发生变化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是 ( )
A. B.
C. D.1
9.(2022·四川成都青羊区期中)如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE.若AB=10,AE=3,则ED=( )
A.7 B.2 C. D.8
(第9题) (第10题)
10.(2022·江苏连云港期末)如图,矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点F在CD上,且DF=5,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE,EF的中点,则在点E从B向C运动的过程中,线段MN所扫过的图形面积是 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·辽宁鞍山铁东区期末)一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次,就能得到矩形踏板.理由是 .
(第11题) (第12题)
12.(2021·福建厦门期末)如图,四边形ABCD是正方形,E为正方形ABCD外一点,已知△DCE为等边三角形,连接BE交边DC于点G.写出图中一个度数为75°的角: .(写出一个即可)
13.(2022·福建莆田城厢区段考)在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是(-2,5),(-3,-1),(1,-1),在x轴上方找到点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标是 .
14.(2022·广东汕头金平区期末)如图,菱形ABCD的面积为96,正方形AECF的面积为72,则菱形ABCD的周长为 .
(第14题) (第15题)
15.(2022·安徽滁州南谯区期末)如图,∠MEN=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别是∠MEN两边上的动点,已知BC=6,CD=3,请完成下列探究:
(1)若点F是BC的中点,那么EF= ;
(2)点D,点E两点之间距离的最大值是 .
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(6分)(2021·上海浦东新区期末)如图,已知AD是△ABC的中线,M是AD的中点,过点A作AE∥BC,CM的延长线与AE,AB分别交于点E,F,连接EB.求证:四边形AEBD是平行四边形.
17.(8分)(2022·湖北十堰中考)如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形 请说明理由.
18.(8分)(2022·重庆黔江区期末)
(1)如图,请用尺规在△ABC的边BC,AC,AB上分别取点D,E,F,使得四边形BDEF为菱形;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠A=80°,∠C=30°,求∠BED的度数.
19.(10分)(2021·山东滨州一模)如图,P是正方形ABCD对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:PA=EF;
(2)若正方形ABCD的边长为12,求四边形PFCE的周长.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.
(2)①当四边形CEDF是矩形时,求AE的长;
②当四边形CEDF是菱形时,AE的长为 cm.
21.(13分)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的两条直线分别交边AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H.
(1)感知
如图(1),若四边形ABCD是正方形,且AG=BE=CH=DF,则S四边形AEOG= S正方形ABCD;
(2)拓展
如图(2),若四边形ABCD是矩形,且S四边形AEOG=S矩形ABCD,设AB=a,AD=b,BE=m,求AG的长(用含a,b,m的代数式表示);
(3)探究
如图(3),若四边形ABCD是平行四边形,且AB=3,AD=5,BE=1,试确定F,G,H的位置,使直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分.
图(1) 图(2) 图(3)
第十八章 平行四边形
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A D C A C D A C C
11.有一个角为直角的平行四边形是矩形 12.∠ABG(或∠CGB,∠DGE)
13.(-6,5)或(2,5) 14.40 15.(1)3 (2)3+3
1.C
2.A 【点拨】运用“割补法”求解
3.D ∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=1,AD∥CB,BC=AD=2,∠C=90°,∴∠DAM=
∠AMB.∵MA平分∠DMB,∴∠AMB=∠AMD,∴∠DAM=∠AMD,∴DM=AD=2,∴CM=
==.
4.C 如图,∵EF∥CD,∴∠GEF=∠ADC=60°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADB=30°.
∵∠G=90°,∴∠1=60°.
5.A ∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE=BC,DE∥BC.∵CF=BC,∴DE=CF.又DE∥CF,∴四边形DEFC为平行四边形,∴CD=EF=5.∵∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴AB=2CD=10.
6.C 由作法得BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠CBE=∠AEB,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=5,∴CD=5.∵CE⊥DE,
∵AD=AE+DE=5+3=8,∴在Rt△CDE中,CE===4,∵AD=AE+DE=5+3=8,
∴S ABCD=AD·CE=8×4=32.
7.D ∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=BD=FG,
EH∥BD∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF,∴四边形EFGH为菱形,A选项错误;由AC⊥BD,可得EH⊥EF,∴四边形EFGH为矩形,B选项错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,C选项错误;由四边形EFGH是正方形,可得EF⊥EH且EF=EH,∴AC与BD互相垂直且相等,D选项正确.故选D.
8.A 如图,过点D'作D'M⊥AB于点M,则∠D'MA=90°.∵四边形ABCD是正方形,
∴正方形ABCD的面积=AB2.∵∠DAD'=30°,∴∠D'AM=60°,∠AD'M=30°.在Rt△D'AM中,由勾股定理可得D'M=AD'.∵四边形ABC'D'是菱形,∴AD'=AB,即D'M=AB.∴菱形ABC'D'的面积=AB×D'M=AB2,∴菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比==.
9.C 如图,连接BE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD.又AE=AE,∴△ABE≌△ADE,∴BE=DE.∵EF⊥AB于点F,AE=3,∴AF=EF=3.∵AB=10,
∴BF=7,∴BE==,∴ED=BE=.
10.C
图示速解
如图,当点E与点B重合时,点M位于AB中点,点N位于BF中点;
当点E与点C重合时,点M'位于AC中点,点N'位于FC中点.∵M是AB的中点,M'是AC的中点,N是BF的中点,N'是FC的中点,∴MM',NN'分别是△ABC,△FBC的中位线,∴MM'∥BC且MM'=BC,NN'∥BC且NN'=BC,∴四边形MM'N'N为平行四边形,∴MN扫过的区域为平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=9.∵DF=5,∴FC=9-5=4,
∴S平行四边形MM'N'N=BC·(AB-FC)=×12×(×9-×4)=15.
11.有一个角为直角的平行四边形是矩形
12.∠ABG(或∠CGB,∠DGE) ∵四边形ABCD是正方形,△DCE为等边三角形,∴CD=
EC=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∠DCE=60°,∴∠ECB=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°.∵CE=BC,∴∠EBC=∠CEB=(180°-∠ECB)=15°,∴∠ABG=∠ABC-∠GBC=90°-15°=75°.∵AB∥CD,∴∠DGE=∠ABG=75°.∵对顶角相等,∴∠CGB=∠DGE=75°.
13.(-6,5)或(2,5)
图示速解
满足条件的点D有两个,如图所示,坐标分别为(-6,5)或(2,5).
14.40 如图,连接AC,BD相交于点O.由正方形和菱形的对角线互相垂直平分可知,点B,E,O,F,D共线.∵正方形AECF的面积为72,∴AC2=72,∴AC==12.∵菱形ABCD的面积为96,∴AC·BD=96 ,∴BD==16.在Rt△ABO中,AO=AC=6,BO=BD=8,
∴AB==10,即菱形ABCD的边长为10,∴菱形ABCD的周长为40.
15.(1)3 (2)3+3 (1)∵∠MEN=90°,F是BC的中点,∴EF=BC=3.(2)连接DE、DF,如图,根据三角形的三边关系得EDEF+DF.∵F是BC的中点,∴CF=3.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴FD=
==3,∴ED的最大值为EF+DF=3+3.
16.【参考答案】证明:∵M是AD的中点,∴AM=DM.
∵AE∥BC,∴∠AEM=∠DCM.
又∠AME=∠DMC,
∴△AEM≌△DCM,∴AE=CD. (3分)
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,∴AE=BD.
又AE∥BD,
∴四边形AEBD是平行四边形. (6分)
17.【参考答案】(1)证明:如图,连接DE,BF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC.
∵E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=OA,OF=OC,
∴EO=FO.
∵BO=OD,EO=FO,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BE=DF. (5分)
(2)当k为2时,四边形DEBF是矩形. (6分)
理由如下:
当四边形DEBF是矩形时,BD=EF.
由(1)易得,AE+CF=OE+OF=EF,
∴AC=2EF,
∴AC=2BD,
∴当k=2时,四边形DEBF是矩形. (8分)
18.【参考答案】(1)D,E,F的位置如图所示.
(4分)
(2)∵∠A=80°,∠C=30°,
∴∠ABC=180°-80°-30°=70°,
∵四边形BDEF是菱形,
∴∠FED=∠ABC=70°,
∴∠BED=∠FED=35°. (8分)
19.【参考答案】(1)证明:如图,连接PC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠BCD=90°.
在△ABP与△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°, (4分)
∴四边形PFCE是矩形,
∴EF=PC,
∴PA=EF. (6分)
(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,
∴PE=CF,PF=CE.
∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,
∴∠BPE=45°,
∴BE=PE. (8分)
由题意可知BC=12,
∴矩形PFCE的周长=2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24. (10分)
20.【解题思路】(1)只要证明△FCG≌△EDG,就可得到四边形CEDF的对角线互相平分,进而可得该四边形是平行四边形.(2)①若四边形CEDF是矩形,则∠CED=90°.在Rt△CED中,可求出ED的长,由此可得AE的长;②若四边形CEDF是菱形,则CE=ED,由①可知,∠CDA=60°,可得△CED是等边三角形,由此可得DE的长,进而可得AE的长.
【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,即CF∥ED,
∴∠FCG=∠EDG.
∵G是CD的中点,∴CG=DG.
在△FCG和△EDG中,
∴△FCG≌△EDG,∴FG=EG.
∴四边形CEDF是平行四边形. (4分)
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3 cm,AD=BC=5 cm.
∵四边形CEDF是矩形,
∴∠CED=90°,∴∠ECD=30°.
在Rt△CED中,易得ED=CD=1.5 cm,
∴AE=AD-ED=5-1.5=3.5(cm).
故当四边形CEDF是矩形时,AE=3.5 cm. (8分)
②2 (10分)
解法提示:∵四边形CEDF是菱形,∴CE=ED.
由①可知,∠CDA=60°,
∴△CED是等边三角形,∴DE=CD=AB=3 cm.
∴AE=AD-DE=5-3=2(cm).
故当四边形CEDF是菱形时,AE=2 cm.
21.【参考答案】(1) (2分)
(2)在题图(2)中,过点O分别作ON⊥AD于点N,OM⊥AB于点M,则OM=AD=b,ON=AB=a.
∵S△AOB=S矩形ABCD,S四边形AEOG=S矩形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
即S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=BE·OM=m·b=mb,
S△AOG=AG·ON=AG·a=AG·a,
∴mb=AG·a,
∴AG=. (7分)
(3)在题图(3)中,过点O分别作OK⊥AB于点K,OQ⊥AD于点Q,并分别延长KO,QO交CD,BC于点L,P.
易得KL=2OK,PQ=2OQ.
∵S平行四边形ABCD=AB·KL=AD·PQ,
∴3×2OK=5×2OQ,
∴=.
∵S△AOB=S平行四边形ABCD,S四边形AEOG=S平行四边形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
∴S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=BE·OK=×1×OK,S△AOG=AG·OQ,
∴×1×OK=AG·OQ,∴AG==.
易证△AOG≌△COH,△BOE≌△DOF,
∴CH=AG=,DF=BE=1.
∴当点G到点A的距离、点H到点C的距离均为,点F到点D的距离为1时,直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分. (13分)
高分锦囊
类比探究型问题的解题方法
类比探究型问题是共性条件与特殊性条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解题思路一脉相承的综合性题目,解决类比探究型问题的一般方法:
(1)根据题干,结合分支条件解决第一问;
(2)用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变特征,探索新的解题方法(照搬字母,照搬辅助线,照搬全等或以后要学习的相似等,也就是知识的迁移).
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第十八章 平行四边形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·湖南邵阳期末)正方形具有,而菱形不具有的性质是 ( )
A.四条边都相等 B.对角线互相垂直
C.四个角都相等 D.对角线互相平分
2.(2022·河北保定莲池区期末)下列四边形中,其图中阴影部分的面积不一定等于大平行四边形面积一半的是 ( )
A B C D
3.(2022·吉林敦化期末)如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点M在边BC上,若MA平分∠DMB,则CM的长是 ( )
A.3 B.1 C.2 D.
(第3题) (第4题)
4.(2022·安徽合肥包河区二模)如图,一块三角板放在一张菱形纸片上,其斜边与菱形的一边平行,则∠1的度数是 ( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
5.(2021·河南许昌期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接DE,DC,EF,若EF=5,则AB的长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.18
(第5题) (第6题)
6.(2022·江苏南京模拟)如图,在 ABCD中,以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交边AB,BC于点F,G,再分别以点F,G为圆心,大于FG的长为半径作弧,两弧交于点H,作射线BH交边AD于点E,连接CE.若CE⊥DE,AE=5,DE=3,则S ABCD= ( )
A.20 B.28 C.32 D.40
7.(2022·北京东城区期中改编)如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法中正确的是 ( )
A.若AC=BD,则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形
C.若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
(第7题) (第8题)
8.(2022·山东济南槐荫区一模)四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形,当内角的大小发生变化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是 ( )
A. B.
C. D.1
9.(2022·四川成都青羊区期中)如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE.若AB=10,AE=3,则ED=( )
A.7 B.2 C. D.8
(第9题) (第10题)
10.(2022·江苏连云港期末)如图,矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点F在CD上,且DF=5,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE,EF的中点,则在点E从B向C运动的过程中,线段MN所扫过的图形面积是 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·辽宁鞍山铁东区期末)一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次,就能得到矩形踏板.理由是 .
(第11题) (第12题)
12.(2021·福建厦门期末)如图,四边形ABCD是正方形,E为正方形ABCD外一点,已知△DCE为等边三角形,连接BE交边DC于点G.写出图中一个度数为75°的角: .(写出一个即可)
13.(2022·福建莆田城厢区段考)在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是(-2,5),(-3,-1),(1,-1),在x轴上方找到点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标是 .
14.(2022·广东汕头金平区期末)如图,菱形ABCD的面积为96,正方形AECF的面积为72,则菱形ABCD的周长为 .
(第14题) (第15题)
15.(2022·安徽滁州南谯区期末)如图,∠MEN=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别是∠MEN两边上的动点,已知BC=6,CD=3,请完成下列探究:
(1)若点F是BC的中点,那么EF= ;
(2)点D,点E两点之间距离的最大值是 .
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(6分)(2021·上海浦东新区期末)如图,已知AD是△ABC的中线,M是AD的中点,过点A作AE∥BC,CM的延长线与AE,AB分别交于点E,F,连接EB.求证:四边形AEBD是平行四边形.
17.(8分)(2022·湖北十堰中考)如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形 请说明理由.
18.(8分)(2022·重庆黔江区期末)
(1)如图,请用尺规在△ABC的边BC,AC,AB上分别取点D,E,F,使得四边形BDEF为菱形;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠A=80°,∠C=30°,求∠BED的度数.
19.(10分)(2021·山东滨州一模)如图,P是正方形ABCD对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:PA=EF;
(2)若正方形ABCD的边长为12,求四边形PFCE的周长.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.
(2)①当四边形CEDF是矩形时,求AE的长;
②当四边形CEDF是菱形时,AE的长为 cm.
21.(13分)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的两条直线分别交边AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H.
(1)感知
如图(1),若四边形ABCD是正方形,且AG=BE=CH=DF,则S四边形AEOG= S正方形ABCD;
(2)拓展
如图(2),若四边形ABCD是矩形,且S四边形AEOG=S矩形ABCD,设AB=a,AD=b,BE=m,求AG的长(用含a,b,m的代数式表示);
(3)探究
如图(3),若四边形ABCD是平行四边形,且AB=3,AD=5,BE=1,试确定F,G,H的位置,使直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分.
图(1) 图(2) 图(3)
第十八章 平行四边形
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A D C A C D A C C
11.有一个角为直角的平行四边形是矩形 12.∠ABG(或∠CGB,∠DGE)
13.(-6,5)或(2,5) 14.40 15.(1)3 (2)3+3
1.C
2.A 【点拨】运用“割补法”求解
3.D ∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=1,AD∥CB,BC=AD=2,∠C=90°,∴∠DAM=
∠AMB.∵MA平分∠DMB,∴∠AMB=∠AMD,∴∠DAM=∠AMD,∴DM=AD=2,∴CM=
==.
4.C 如图,∵EF∥CD,∴∠GEF=∠ADC=60°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADB=30°.
∵∠G=90°,∴∠1=60°.
5.A ∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE=BC,DE∥BC.∵CF=BC,∴DE=CF.又DE∥CF,∴四边形DEFC为平行四边形,∴CD=EF=5.∵∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴AB=2CD=10.
6.C 由作法得BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠CBE=∠AEB,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=5,∴CD=5.∵CE⊥DE,
∵AD=AE+DE=5+3=8,∴在Rt△CDE中,CE===4,∵AD=AE+DE=5+3=8,
∴S ABCD=AD·CE=8×4=32.
7.D ∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=BD=FG,
EH∥BD∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF,∴四边形EFGH为菱形,A选项错误;由AC⊥BD,可得EH⊥EF,∴四边形EFGH为矩形,B选项错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,C选项错误;由四边形EFGH是正方形,可得EF⊥EH且EF=EH,∴AC与BD互相垂直且相等,D选项正确.故选D.
8.A 如图,过点D'作D'M⊥AB于点M,则∠D'MA=90°.∵四边形ABCD是正方形,
∴正方形ABCD的面积=AB2.∵∠DAD'=30°,∴∠D'AM=60°,∠AD'M=30°.在Rt△D'AM中,由勾股定理可得D'M=AD'.∵四边形ABC'D'是菱形,∴AD'=AB,即D'M=AB.∴菱形ABC'D'的面积=AB×D'M=AB2,∴菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比==.
9.C 如图,连接BE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD.又AE=AE,∴△ABE≌△ADE,∴BE=DE.∵EF⊥AB于点F,AE=3,∴AF=EF=3.∵AB=10,
∴BF=7,∴BE==,∴ED=BE=.
10.C
图示速解
如图,当点E与点B重合时,点M位于AB中点,点N位于BF中点;
当点E与点C重合时,点M'位于AC中点,点N'位于FC中点.∵M是AB的中点,M'是AC的中点,N是BF的中点,N'是FC的中点,∴MM',NN'分别是△ABC,△FBC的中位线,∴MM'∥BC且MM'=BC,NN'∥BC且NN'=BC,∴四边形MM'N'N为平行四边形,∴MN扫过的区域为平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=9.∵DF=5,∴FC=9-5=4,
∴S平行四边形MM'N'N=BC·(AB-FC)=×12×(×9-×4)=15.
11.有一个角为直角的平行四边形是矩形
12.∠ABG(或∠CGB,∠DGE) ∵四边形ABCD是正方形,△DCE为等边三角形,∴CD=
EC=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∠DCE=60°,∴∠ECB=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°.∵CE=BC,∴∠EBC=∠CEB=(180°-∠ECB)=15°,∴∠ABG=∠ABC-∠GBC=90°-15°=75°.∵AB∥CD,∴∠DGE=∠ABG=75°.∵对顶角相等,∴∠CGB=∠DGE=75°.
13.(-6,5)或(2,5)
图示速解
满足条件的点D有两个,如图所示,坐标分别为(-6,5)或(2,5).
14.40 如图,连接AC,BD相交于点O.由正方形和菱形的对角线互相垂直平分可知,点B,E,O,F,D共线.∵正方形AECF的面积为72,∴AC2=72,∴AC==12.∵菱形ABCD的面积为96,∴AC·BD=96 ,∴BD==16.在Rt△ABO中,AO=AC=6,BO=BD=8,
∴AB==10,即菱形ABCD的边长为10,∴菱形ABCD的周长为40.
15.(1)3 (2)3+3 (1)∵∠MEN=90°,F是BC的中点,∴EF=BC=3.(2)连接DE、DF,如图,根据三角形的三边关系得ED
==3,∴ED的最大值为EF+DF=3+3.
16.【参考答案】证明:∵M是AD的中点,∴AM=DM.
∵AE∥BC,∴∠AEM=∠DCM.
又∠AME=∠DMC,
∴△AEM≌△DCM,∴AE=CD. (3分)
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,∴AE=BD.
又AE∥BD,
∴四边形AEBD是平行四边形. (6分)
17.【参考答案】(1)证明:如图,连接DE,BF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC.
∵E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=OA,OF=OC,
∴EO=FO.
∵BO=OD,EO=FO,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BE=DF. (5分)
(2)当k为2时,四边形DEBF是矩形. (6分)
理由如下:
当四边形DEBF是矩形时,BD=EF.
由(1)易得,AE+CF=OE+OF=EF,
∴AC=2EF,
∴AC=2BD,
∴当k=2时,四边形DEBF是矩形. (8分)
18.【参考答案】(1)D,E,F的位置如图所示.
(4分)
(2)∵∠A=80°,∠C=30°,
∴∠ABC=180°-80°-30°=70°,
∵四边形BDEF是菱形,
∴∠FED=∠ABC=70°,
∴∠BED=∠FED=35°. (8分)
19.【参考答案】(1)证明:如图,连接PC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠BCD=90°.
在△ABP与△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°, (4分)
∴四边形PFCE是矩形,
∴EF=PC,
∴PA=EF. (6分)
(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,
∴PE=CF,PF=CE.
∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,
∴∠BPE=45°,
∴BE=PE. (8分)
由题意可知BC=12,
∴矩形PFCE的周长=2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24. (10分)
20.【解题思路】(1)只要证明△FCG≌△EDG,就可得到四边形CEDF的对角线互相平分,进而可得该四边形是平行四边形.(2)①若四边形CEDF是矩形,则∠CED=90°.在Rt△CED中,可求出ED的长,由此可得AE的长;②若四边形CEDF是菱形,则CE=ED,由①可知,∠CDA=60°,可得△CED是等边三角形,由此可得DE的长,进而可得AE的长.
【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,即CF∥ED,
∴∠FCG=∠EDG.
∵G是CD的中点,∴CG=DG.
在△FCG和△EDG中,
∴△FCG≌△EDG,∴FG=EG.
∴四边形CEDF是平行四边形. (4分)
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3 cm,AD=BC=5 cm.
∵四边形CEDF是矩形,
∴∠CED=90°,∴∠ECD=30°.
在Rt△CED中,易得ED=CD=1.5 cm,
∴AE=AD-ED=5-1.5=3.5(cm).
故当四边形CEDF是矩形时,AE=3.5 cm. (8分)
②2 (10分)
解法提示:∵四边形CEDF是菱形,∴CE=ED.
由①可知,∠CDA=60°,
∴△CED是等边三角形,∴DE=CD=AB=3 cm.
∴AE=AD-DE=5-3=2(cm).
故当四边形CEDF是菱形时,AE=2 cm.
21.【参考答案】(1) (2分)
(2)在题图(2)中,过点O分别作ON⊥AD于点N,OM⊥AB于点M,则OM=AD=b,ON=AB=a.
∵S△AOB=S矩形ABCD,S四边形AEOG=S矩形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
即S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=BE·OM=m·b=mb,
S△AOG=AG·ON=AG·a=AG·a,
∴mb=AG·a,
∴AG=. (7分)
(3)在题图(3)中,过点O分别作OK⊥AB于点K,OQ⊥AD于点Q,并分别延长KO,QO交CD,BC于点L,P.
易得KL=2OK,PQ=2OQ.
∵S平行四边形ABCD=AB·KL=AD·PQ,
∴3×2OK=5×2OQ,
∴=.
∵S△AOB=S平行四边形ABCD,S四边形AEOG=S平行四边形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
∴S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=BE·OK=×1×OK,S△AOG=AG·OQ,
∴×1×OK=AG·OQ,∴AG==.
易证△AOG≌△COH,△BOE≌△DOF,
∴CH=AG=,DF=BE=1.
∴当点G到点A的距离、点H到点C的距离均为,点F到点D的距离为1时,直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分. (13分)
高分锦囊
类比探究型问题的解题方法
类比探究型问题是共性条件与特殊性条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解题思路一脉相承的综合性题目,解决类比探究型问题的一般方法:
(1)根据题干,结合分支条件解决第一问;
(2)用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变特征,探索新的解题方法(照搬字母,照搬辅助线,照搬全等或以后要学习的相似等,也就是知识的迁移).
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