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考点7 斜面模型问题
一、单选题
1．为了探究滑雪者（视为质点）在直线滑道上滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图所示的示意图，是滑道的竖直高度，点是上的一点，且有，滑雪者从坡顶A点由静止开始沿滑道向下滑动，取重力加速度大小，不计摩擦，则滑雪者在滑道上滑行的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设斜面坡角为θ，则
物体做匀加速直线运动，对物体受力分析，受重力和支持力，将重力沿着平行斜面和垂直斜面正交分解，根据牛顿第二定律，有
根据速度位移公式，有
解得
故选D。
2．编号为1~6的六个固定的光滑斜面倾角如图甲、乙所示，甲图中三个斜面等高，乙图中三个斜面同底，可视为质点的小滑块从六个斜面最高点沿斜面运动到底端的时间分别为、、、、、，则下列关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】小滑块分别从等高斜面最高点运动到斜面底端，由
可得
可知倾角越小，时间越长，图甲中
小滑块分别从同底斜面最高点运动到斜面底端，由
可得
可见时时间最短，图乙中
故选D。
3．某儿童乐园要在空地上建一个如图所示的滑梯，根据空地的空间大小，滑梯的高度确定为，经测试滑梯和儿童之间的动摩擦因数最大为，为使儿童能够顺利滑下，则设计时滑梯的长度不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为使儿童能够顺利滑下，则滑梯的倾角最小值需满足
解得
θ=30°
滑梯的长度不能超过
故选C。
4．如图甲所示，长为、倾角为的斜面固定在水平地面上，一质量为的物块从斜面顶端由静止释放并沿斜面向下滑动，物块与斜面间的动摩擦因数与下滑距离的变化图像如图乙所示.则下列说法正确的是（ ）
A．物块下滑的加速度逐渐减小
B．物块下滑的速度逐渐增大
C．物块沿斜面下滑的最大速度为
D．物块沿斜面下滑的最大速度为
【答案】C
【详解】AB．当物块沿斜面匀速下滑时，有
解得
由图可知从开始到过程中，物块与斜面间的摩擦因数小于，根据牛顿第二定律有
解得
由此可知物块做加速度减小的加速运动；从到L过程中，物块与斜面间的摩擦因数大于，根据牛顿第二定律有
解得
由此可知物块做加速度增大的减速运动，故AB错误；
CD．由上分析可知物块沿斜面下滑时速度最大，根据动能定理，有
其中
联立可得
故C正确，D错误。
故选C。
5．如图所示，质量为m的物块在粗糙斜面上，受到竖直向下的力F的作用，沿斜面向下以加速度a做匀加速运动。（ ）
A．若增大F，则物块加速下滑且加速度将增大
B．若增大F，则物块加速下滑且加速度将不变
C．若撤去F，则物块可能沿斜面减速下滑
D．若撤去F，则物块可能沿斜面匀速下滑
【答案】A
【详解】AB．物块受到竖直向下的重力mg，垂直于斜面向上的支持力FN，沿斜面向上的摩擦力f和竖直向下的力F，设斜面倾角为，则沿斜面方向上有
垂直于斜面方向上有
且有
联立以上各式有
则当F增大时，物块的加速度一定增大，A正确，B错误；
CD．由于物块原本做匀加速运动，则必有
当撤去F后，加速度会减小，但不可能为0，物块依旧做匀加速运动，CD错误。
故选A。
6．如图所示，光滑水平面放有一个质量为5kg的光滑斜面体A，将另一个质量为3kg物块B放在斜面上，为了保持物块与斜面相对静止，需用水平向左80N的力F推斜面。现将斜面固定，对B施加用水平向右的力F1使其静止在斜面上，g取10m/s2.则F1大小为（ ）
A．30N B．15N C．50N D．80N
【答案】A
【详解】水平向左80N的力F推斜面时，对整体，根据牛顿第二定律得
对B受力分析，根据牛顿第二定律可知，B受到重力和支持力的合力
F合=mBa=30N
斜面固定，对B施加用水平向右的力F1使其静止在斜面上时，B合力为零，根据共点力平衡条件可知
F1=F合=30N
故A正确，BCD错误。
故选A。
7．为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新型车，乘客的座椅能随着斜坡坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平。如图所示，当质量为m的乘客乘坐这种车以大小为a的加速度沿倾角为的斜坡上坡时，座椅对乘客的摩擦力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】乘客乘坐这种车上坡时，其水平向前的加速度分量大小为acosθ，根据牛顿第二定律可得，此时座椅对乘客的摩擦力大小f=macosθ。
故选B。
8．如图所示，一辆货车载着一些相同的圆柱形光滑空油桶，底部一层油桶平整排列且相互紧贴，上一层只有一只桶C自由摆放在A、B桶之间。当向左行驶的货车紧急刹车时，桶C有可能脱离桶B而撞向驾驶室造成危险。取重力加速度大小，为了安全，货车刹车时加速度最大不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对桶C进行受力分析，当C刚脱离B时，只受到重力和A对C的支持力，由于C的加速度方向向后，故C的合外力方向水平向后，根据几何关系及牛顿第二定律有
解得
选项B正确。
二、多选题
9．如图所示，一物体从竖直平面内圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道AB下滑至B点，那么（ ）
A．只要知道弦长，就能求出运动时间
B．只要知道圆半径，就能求出运动时间
C．只要知道倾角，就能求出运动时间
D．只要知道弦长和倾角就能求出运动时间
【答案】BD
【详解】B．设半径为R，则物体运动的位移为
物体运动的加速度
根据
则
则只要知道圆半径，就能求出运动时间，故B正确；
ACD．设弦长为，由图根据几何关系可知
则
则知道弦长和倾角也能求出运动时间，故AC错误D正确。
故选BD。
10．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为，为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】1号小球的加速度为
位移为
运动时间为
2号小球的加速度为
位移为
运动时间为
3号小球的加速度为
位移为
运动时间为
4号小球的加速度为
位移为
运动时间为
则
，
故选BC。
11．如图所示，斜面静止在粗糙水平地面上，物块放在斜面上时恰能沿斜面匀速下滑，若物块在下滑过程中施加一恒力作用，恒力过物块重心且与竖直方向夹角为，已知斜面倾角为，则在下滑过程中正确的是（ ）
A．若力F竖直向下，物块将仍沿斜面匀速下滑
B．若力F垂直斜面向下，物块仍能保持匀速下滑
C．若力F沿斜面向下，斜面受到地面给的摩擦力方向水平向右
D．地面对斜面无摩擦力
【答案】AD
【详解】A．设物体的质量为m，根据题意有
当力F竖直向下时，也有
故物体沿斜面匀速下滑，故A正确；
B．若力F垂直斜面向下，物体在斜面上的滑动摩擦力为
根据题意有
则有
所以物块不能保持匀速下滑，故B错误；
C．当无外力时，斜面对物体的支持力为N，斜面对物体的摩擦力为f，对物体受力分析水平分解有
则物体对斜面的压力与斜面对物体的支持力为作用力与反作用力，等大反向，同理，物体对斜面的摩擦力也等大反向，则斜面在水平方向的分量也平衡，故地面对斜面没有摩擦力，当力F沿斜面向下时，物体对斜面的压力不变，滑动摩擦力大小也不变，故斜面仍不受地面给的摩擦力，故C错误；
D．如图所示
任意角度的力F，都可以分解成竖直向下的分量及沿斜面向下的分量，竖直向下的分量与物体重力的作用效果一致，不会使地面对斜面产生摩擦力，沿斜面向下的分量，根据上面的分析，也不会使地面对斜面产生摩擦力，故力F不管与竖直方向的夹角为多少，地面对斜面均不会有摩擦力，故D正确。
故选AD。
12．如图所示，在水平地面上有一倾角为θ，表面光滑的斜面体。在斜面体顶端固定一与斜面垂直的挡板，用质量不计的细线系着一个质量为m的小球。现对斜面体施加一水平方向的外力F，使斜面体做加速度大小为a的匀加速直线运动。已知，重力加速度大小为g，则（ ）
A．若斜面体以加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零
B．若斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
D．当斜面体以加速度向左加速运动时，线中拉力为零
【答案】BCD
【详解】A．若斜面体以临界加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零，则小球只受到重力和细线的拉力，将细线拉力正交分解后有
又由牛顿第二定律有
代入数据解得小球刚好离开斜面的零临界加速度为
若斜面体以加速度向右加速运动时，此时向右的加速度小于临界加速度，则小球对滑块压斜面仍然有压力，故A错误；
B．若斜面体以加速度向右加速运动时，由牛顿第二定律有水平方向的合力大小为
对小球受力分析可知，小球受力分析如下
水平和竖直方向分别满足如下关系
代入数据解得细线的拉力大小为
故B正确；
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，超过临界加速度，小球离开斜面，由牛顿第二定律有水平方向绳子的分力大小为
由勾股定理可知线中拉力为
故C正确；
D．若斜面体以临界加速度向左加速运动时，细线对小球的拉力为零，则小球只受到重力和斜面的支持力，将支持力正交分解后如图所示
满足
又由牛顿第二定律有
代入数据解得细线刚好没有拉力的零临界加速度为
当斜面体以加速度向左加速运动时，可知超过临界加速度，细线对小球没有拉力，故D正确。
故选BCD。
三、解答题
13．如图所示，一物体从光滑斜面的顶端由静止开始下滑，倾角，斜面静止不动，重力加速度。求：
（1）物体下滑过程的加速度是多大？
（2）若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数，物体下滑过程的加速度又是多大？
（3）若斜面长，物体与斜面间的动摩擦因数，物体需要几秒能滑到底端？滑到底端的速度多大？
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）对物体进行受力分析，沿斜面方向有
解得
（2）若斜面不光滑，下滑时摩擦力为
，
得
解得
（3）根据匀变速直线运动公式
得
到达底端的速度为
14．如图所示，升降机以加速度a匀加速上升，质量为m的物块A置于升降机内倾角为α的固定斜面上，并相对斜面静止，重力加速度为g．试求：物块A受到支持力、摩擦力的大小分别为多少？
【答案】支持力为，摩擦力
【分析】考虑斜面对物块支持力N，摩擦力f，不妨设二者的合力为F，用F列牛顿第二定律，再用力的合成与分解的知识求N、f即可．
【详解】设斜面对物块支持力为N，摩擦力为f，设二者的合力为F．
如图所示，
由牛顿第二定律得
F-mg=ma
根据力的合成与分解
N=Fcosα
f=Fsinα
解得：N=m（g+a）cosα
f=m（g+a）sinα．
15．如图所示，装卸工要将质量为50kg的木箱（可视为质点）移到卡车上，他找来长为5.5 m的直木板，做了一个倾角为的固定斜面。装卸工用大小为550N、方向沿斜面向上的拉力F将木箱从斜面底端由静止拉上卡车。已知木箱与木板间的动摩擦因数μ=0.5，，，g取10 m/s2。求：
（1）木箱沿斜面向上加速运动时加速度的大小；
（2）要将木箱拉上卡车，拉力F至少需作用多长的距离。
【答案】（1）1m/s2；（2）5m
【详解】（1）根据牛顿第二定律
解得
（2）设至少作用的距离为x1，则
后续拉力撤掉后，加速度大小满足
解得
因此后续位移为
根据题意
解得
16．如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？
【答案】45°，
【详解】
如图所示，通过屋顶作直线AC与水平线BC相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切；然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B……从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线；根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为
屋顶的倾角满足
tan α＝＝1
可得
α＝45°
17．如图，矩形拉杆箱上放着平底箱包，在与水平方向成α=37°的拉力F作用下，一起沿水平面从静止开始加速运动。已知箱包的质量m=1.0kg，拉杆箱的质量M=9.0kg，箱底与水平面间的夹角θ=37°，平底箱包与拉杆箱之间的动摩擦因数μ=0.5，不计其它摩擦阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）若F=25N，求拉杆箱的加速度大小a；
（2）在（1）的情况下，求拉杆箱运动x=4.0m时的速度大小v；
（3）要使箱包不从拉杆箱上滑出，求拉力的最大值Fm。
【答案】（1）2m/s2；（2）4m/s；（3）250N
【详解】（1）若F=25N，以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律可得
解得
（2）根据速度位移关系可得
解得
（3）箱包恰好不从拉杆箱上滑出时，箱包与拉杆之间的弹力刚好为零，以箱包为研究对象，受到重力、支持力和摩擦力的作用，此时箱包的加速度为a0，
根据牛顿第二定律可得
解得
以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律可得
解得拉力的最大值为
18．如图所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦．现将质量分别为M、m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上，两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．则
（1）在α(或tanα)、M、m和满足何种关系时，M、m与相对绸带不发生滑动，且此时M、m与绸带间摩擦力的大小为多少
（2）试讨论在α(或tanα)、M、m和满足何种关系时，小物块与绸带发生相对滑动后相对斜面运动有几种情况 且写出对应M、m与绸带间摩擦力大小
【答案】（1）；（2）时，m相对斜面向上滑动；时，m相对斜面静止；时，m相对斜面下滑
【详解】（1）对M、m和丝绸沿斜面方向，有
解得
此时丝绸所受的张力为
发现它们共同加速有
则有
此时M、m与丝绸是静摩擦力，故有
（2）当时，小滑块m与丝绸会发生相对滑动，但滑块M与丝绸共同运动，此时M与丝绸间存在静摩擦力 ，m与丝绸有滑动摩擦力，且有
同时可设m相对地面（或斜面）有三种情况：
①时，m相对斜面向上滑动；
②时，m相对斜面静止；
③时，m相对斜面下滑。
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考点7 斜面模型问题
一、单选题
1．为了探究滑雪者（视为质点）在直线滑道上滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图所示的示意图，是滑道的竖直高度，点是上的一点，且有，滑雪者从坡顶A点由静止开始沿滑道向下滑动，取重力加速度大小，不计摩擦，则滑雪者在滑道上滑行的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．编号为1~6的六个固定的光滑斜面倾角如图甲、乙所示，甲图中三个斜面等高，乙图中三个斜面同底，可视为质点的小滑块从六个斜面最高点沿斜面运动到底端的时间分别为、、、、、，则下列关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．某儿童乐园要在空地上建一个如图所示的滑梯，根据空地的空间大小，滑梯的高度确定为，经测试滑梯和儿童之间的动摩擦因数最大为，为使儿童能够顺利滑下，则设计时滑梯的长度不能超过（ ）
A． B． C． D．
4．如图甲所示，长为、倾角为的斜面固定在水平地面上，一质量为的物块从斜面顶端由静止释放并沿斜面向下滑动，物块与斜面间的动摩擦因数与下滑距离的变化图像如图乙所示.则下列说法正确的是（ ）
A．物块下滑的加速度逐渐减小
B．物块下滑的速度逐渐增大
C．物块沿斜面下滑的最大速度为
D．物块沿斜面下滑的最大速度为
5．如图所示，质量为m的物块在粗糙斜面上，受到竖直向下的力F的作用，沿斜面向下以加速度a做匀加速运动。（ ）
A．若增大F，则物块加速下滑且加速度将增大
B．若增大F，则物块加速下滑且加速度将不变
C．若撤去F，则物块可能沿斜面减速下滑
D．若撤去F，则物块可能沿斜面匀速下滑
6．如图所示，光滑水平面放有一个质量为5kg的光滑斜面体A，将另一个质量为3kg物块B放在斜面上，为了保持物块与斜面相对静止，需用水平向左80N的力F推斜面。现将斜面固定，对B施加用水平向右的力F1使其静止在斜面上，g取10m/s2.则F1大小为（ ）
A．30N B．15N C．50N D．80N
7．为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新型车，乘客的座椅能随着斜坡坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平。如图所示，当质量为m的乘客乘坐这种车以大小为a的加速度沿倾角为的斜坡上坡时，座椅对乘客的摩擦力大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，一辆货车载着一些相同的圆柱形光滑空油桶，底部一层油桶平整排列且相互紧贴，上一层只有一只桶C自由摆放在A、B桶之间。当向左行驶的货车紧急刹车时，桶C有可能脱离桶B而撞向驾驶室造成危险。取重力加速度大小，为了安全，货车刹车时加速度最大不能超过（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，一物体从竖直平面内圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道AB下滑至B点，那么（ ）
A．只要知道弦长，就能求出运动时间
B．只要知道圆半径，就能求出运动时间
C．只要知道倾角，就能求出运动时间
D．只要知道弦长和倾角就能求出运动时间
10．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为，为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，斜面静止在粗糙水平地面上，物块放在斜面上时恰能沿斜面匀速下滑，若物块在下滑过程中施加一恒力作用，恒力过物块重心且与竖直方向夹角为，已知斜面倾角为，则在下滑过程中正确的是（ ）
A．若力F竖直向下，物块将仍沿斜面匀速下滑
B．若力F垂直斜面向下，物块仍能保持匀速下滑
C．若力F沿斜面向下，斜面受到地面给的摩擦力方向水平向右
D．地面对斜面无摩擦力
12．如图所示，在水平地面上有一倾角为θ，表面光滑的斜面体。在斜面体顶端固定一与斜面垂直的挡板，用质量不计的细线系着一个质量为m的小球。现对斜面体施加一水平方向的外力F，使斜面体做加速度大小为a的匀加速直线运动。已知，重力加速度大小为g，则（ ）
A．若斜面体以加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零
B．若斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
D．当斜面体以加速度向左加速运动时，线中拉力为零
三、解答题
13．如图所示，一物体从光滑斜面的顶端由静止开始下滑，倾角，斜面静止不动，重力加速度。求：
（1）物体下滑过程的加速度是多大？
（2）若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数，物体下滑过程的加速度又是多大？
（3）若斜面长，物体与斜面间的动摩擦因数，物体需要几秒能滑到底端？滑到底端的速度多大？
14．如图所示，升降机以加速度a匀加速上升，质量为m的物块A置于升降机内倾角为α的固定斜面上，并相对斜面静止，重力加速度为g．试求：物块A受到支持力、摩擦力的大小分别为多少？
15．如图所示，装卸工要将质量为50kg的木箱（可视为质点）移到卡车上，他找来长为5.5 m的直木板，做了一个倾角为的固定斜面。装卸工用大小为550N、方向沿斜面向上的拉力F将木箱从斜面底端由静止拉上卡车。已知木箱与木板间的动摩擦因数μ=0.5，，，g取10 m/s2。求：
（1）木箱沿斜面向上加速运动时加速度的大小；
（2）要将木箱拉上卡车，拉力F至少需作用多长的距离。
16．如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？
17．如图，矩形拉杆箱上放着平底箱包，在与水平方向成α=37°的拉力F作用下，一起沿水平面从静止开始加速运动。已知箱包的质量m=1.0kg，拉杆箱的质量M=9.0kg，箱底与水平面间的夹角θ=37°，平底箱包与拉杆箱之间的动摩擦因数μ=0.5，不计其它摩擦阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）若F=25N，求拉杆箱的加速度大小a；
（2）在（1）的情况下，求拉杆箱运动x=4.0m时的速度大小v；
（3）要使箱包不从拉杆箱上滑出，求拉力的最大值Fm。
18．如图所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦．现将质量分别为M、m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上，两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．则
（1）在α(或tanα)、M、m和满足何种关系时，M、m与相对绸带不发生滑动，且此时M、m与绸带间摩擦力的大小为多少
（2）试讨论在α(或tanα)、M、m和满足何种关系时，小物块与绸带发生相对滑动后相对斜面运动有几种情况 且写出对应M、m与绸带间摩擦力大小
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