宁夏银川市三沙源上游学校2023届高三上学期开学检测数学（理）试题（含解析）

宁夏银川市三沙源上游学校2023届高三上学期开学检测数学（理）试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知复数z满足,则的虚部为( )
A.1 B.-1 C.i D.
2、某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 5 6 6 8
若x,y线性相关,线性回归方程为,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )
A.万盒 B.万盒 C.万盒 D.万盒
3、2021年,面对复杂严峻的国际环境和国内疫情散发等多重考验,在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下,各地区各部门认真贯彻落实党中央、国务院决策部署,坚持稳中求进工作总基调,科学统筹疫情防控和经济社会发展,扎实做好“六稳”工作,全面落实“六保”任务,加强宏观政策跨周期调节,加大实体经济支持力度,国民经济持续恢复发展,改革开放创新深入推进,民生保障有力有效,构建新发展格局迈出新步伐,高质量发展取得新成效,实现“十四五”良好开局.据图1、图2判断,下列说法正确的是（ ）
A.2021年3月至9月的社会消费品零售总额逐步下降
B.2021年3月至9月的社会消费品零售总额增速逐月递减
C.2021年第1季度至第4季度国内生产总值逐渐减少
D.2021年第1季度至第4季度国内生产总值增速（季度同比）逐步放缓
4、袋内分别有红 白 黑球3,2,1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球
C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 D.至少有一个白球;红 黑球各一个
5、执行如图所示的程序框图,若输出的a的值为17,则输入的最小整数t的值为( )
A.9 B.12 C.14 D.16
6、定义函数,已知为虚数单位,则的展开式中常数项是( )
A.180 B.120 C.90 D.45
7、某中学有学生300人,其中一年级120人,二,三年级各90人,现要利用抽样方法取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一,二,三年级依次统一编号为1,2,…,300;使用系统抽样时,将学生统一编号为1,2,…,300,并将整个编号依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况：
①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277;
②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299;
③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281;
④31,61,91,121,151,181,211,241,271,299.
关于上述样本的下列结论中,正确的是( )
A.②④都不能为分层抽样 B.①③都可能为分层抽样
C. ①④都可能为系统抽样 D.②③都不能为系统抽样
8、4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率( )
A. B. C. D.
9、如图,用五种不同的颜色给图中的O,A,B,C,D,E六个点涂色（五种颜色不一定用完）,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂法种数是( )
A.480 B.720 C.1080 D.1200
10、下列说法正确的个数是( )
(1)在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%,结果这天没下雨,这表明天气预报并不科学
(3)回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
(4)在回归直线方程,当解释变量每增加1个单位时,预报变量多增加0.1个单位
A.2 B.3 C.4 D.1
11、已知,设,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
12、公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是：,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720 B.1440 C.2280 D.4080
二、填空题
13、执行如图所示的程序框图,输出的s值为_____________.
14、若的展开式中二项式系数之和为32,则的展开式中的系数为___________.
15、设复数,满足,,则=____________.
三、双空题
16、一个总体的容量为60,其中的个体编号为00,01,02,…,59.现需从中抽取一个容量为7的样本,请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11～12列的18开始,依次向下,到最后一行后向右,直到取足样本,则第一个入样的号码是_________,最后一个入样的号码是_____________.
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
四、解答题
17、在直角坐标系xOy中,曲线(t为参数,),曲线(为参数).
（1）以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;
（2）若曲线与曲线相交于点A,B,求.
18、已知某地区对高二年级8000名学生进行了体能达标测试,现从中随机抽取200名学生的成绩,将他们的测试成绩（满分：100分）分为6组：,,,,,,得到如下频数分布表.
成绩
频数 10 30 50 60 30 20
(1)求这200名学生的体能测试平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;
(2)在这200名学生中,规定：测试成绩不低于60分为“达标”,成绩低于60分为“不达标”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有85%的把握认为体能测试成绩是否达标与性别有关？
达标 不达标 总计
男生 20 120
女生 80
合计
参考公式和数据：
,其中;
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19、某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据 (,2,…,20),其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量,并计算得,,,,.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）;
（2）求样本 (,2,…,20)的相关系数（精确到0.01）;
（3）根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附：相关系数r=,.
20、从某酒店开车到机场有两条路线,为了解两条路线的通行情况,随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min）,数据如下表：
路线一 44 58 66 50 34 42 50 38 62 56
路线二 62 56 68 62 58 61 61 52 61 59
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和.
(1)求,,,
(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布,路线二的全程时间Y服从正态分布,分别用,,,作为,,,的估计值.现有甲 乙两人各自从该酒店打车去机场,甲要求路上时间不超过,乙要求路上时间不超过,为尽可能满足客人要求,司机送甲 乙去机场应该分别选哪条路线？
21、某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：不分类卖出,售价为20元/kg;
方案2：分类卖出,分类后的水果售价如下.
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元/ ） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望.
22、随着中美贸易战的不断升级,越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66
当时,建立了y与x的两个回归模型：模型①：;模型②：;当时,确定y与x满足的线性回归方程为.
（1）根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数,）
（2）为鼓励科技创新,当科技升级的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元,以回归方程为预测依据,比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：,）
（3）科技升级后,“麒麟”芯片的效率X大幅提高,经实际试验得X大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%,不予奖励：若芯片的效率超过50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元;若芯片的效率超过53%,每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励,求（精确到0.01）.
（附：若随机变量,则,）
参考答案
1、答案：A
解析：由,得,从而,所以的虚部为1.
故选：A.
2、答案：C
解析：由题意,根据表格中的数据可知：,
即样本中心为,代入回归直线,解得,即,
令,解得万盒,
故选:C.
3、答案：D
解析：根据社会消费品零售总额增速折线图可知,2021年3月至9月的社会消费品零售总额相比去年同期涨幅下降,不能得出社会消费品零售总额逐步下降,故A错误;
2021年8月的社会消费品零售总额增速（季度同比）是2.5%而9月的社会消费品零售总额增速（季度同比）是4.4%,因此说2021年3月至9月的社会消费品零售总额增速逐月递减是不对的,故B错误;
由国内生产总值增速折线图可知,2021年第1季度至第4季度国内生产总值增速（季度同比）逐步放缓,但不能判断2021年第1季度至第4季度国内生产总值逐渐减少,故C错D正确.
故选：D.
4、答案：D
解析：对于A,“至少有一个白球”说明有白球,白球的个数可能为1或2,
而“都是白球”说明两个全是白球,这两个事件可以同时发生,故A中事件不是互斥的;
对于B,当两球一个白球一个红球时,“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生,故不互斥;
对于C,“恰有一个白球”,表示黑球个数为0或1,即可能是一个白球和一个黑球,
这与“一个白球一个黑球”不互斥;
对于D,“至少一个白球”发生时,“红 黑球各一个”不会发生,故二者互斥,
从袋中任取2个也可能是两个红球,即二者可能都不发生,故二者不对立,
故选：D
5、答案：A
解析：第一次循环,,不成立;
第二次循环,,不成立;
第三次循环,.不成立;
第四次循环,,,成立,
所以,输入的最小整数t的值为9.
故选：A.
6、答案：A
解析：,,
由题可知,所以.
所以的展开式的通项为.
令,解得.所以展开式中的常数项是.
故选：A.
7、答案：B
解析：若采用简单随机抽样,根据简单随机抽样的特点,1~300之间任意一个号码都有可能出现;
若采用分层抽样,则1~120号为一年级,121~210为二年级,211~300为三年级.且根据分层抽样的概念,需要在1~120之间抽取4个,121~210与211~300之间各抽取3个;
若采用系统抽样,根据系统抽样的概念,需要在1~30,31~60,61~90,91~ 120,121~150,151~180,181~210,211~240,241~270,271~300之间各抽一个.
①项,1~120之间有 4个,121~210之间有 3个,211~300之间有 3个,并且满足系统抽样的条件,所以①项为系统抽样或分层抽样;
②项,1~120之间有 4个,121~210之间有 3个,211~300之间有 3个,可能为分层抽样;
③项,1~120之间有 4个,121~210之间有 3个,211~300之间有 3个,并且满足系统抽样的条件,所以③项为系统抽样或分层抽样;
④项,第一个数据大于30,所以④项不可能为系统抽样,并且④项不满足分层抽样的条件.
综上所述,B选项正确.
故选：B.
8、答案：D
解析：由已知,4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果,而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人,另一天三人,有种不同的结果;（2）周六、日各2人,有种不同的结果,故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果,所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为,选D.
9、答案：D
解析：先给O涂色,有种方法,接着给A涂色,有种方法,接着给B涂色,有种方法,
①若C与A同色,则有1种涂色方法,接着给D涂色,有3种涂色方法,
最后E有2种涂色方法;
②若C与A不同色,则有2种涂色方法,接着给D涂色,
若D与A同色,则有1种涂色方法,最后E有3种涂色方法;
若D与A不同色,则有2种涂色方法,最后E有2种涂色方法.
综上,涂色方法总数为
故选：D.
10、答案：A
解析：对(1),在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好,故错误;
对(2),概率只说明事件发生的可能性,某次事件不一定发生,所以并不能说明天气预报不科学,故错误;
对(3),在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,故正确;
对(4),在回归直线方程,当解释变量每增加1个单位时,预报变量增加0.1个单位,故正确.
故选:A.
11、答案：C
解析：因为,所以由组合数的性质得,
所以,
令,得,
即.
故选：C.
12、答案：C
解析：一共有7个数字,且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列,可以得到个不同的数字.
当前两位数字为11或12时,得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时,共可以得到个不同的数字,
则大于3.14的不同数字的个数为
故选：C.
13、答案：
解析：第1次,因为,所以,
第2次,因为,所以,
第3次,因为,所以,
因为不成立,所以输出,
故答案为：.
14、答案：-15
解析：由的展开式中二项式系数之和为32得,,故,的展开式通项为,故的项为,,即,
故答案为：-15.
15、答案：
解析：设,,,
,
,又,所以,,
.
故答案为：.
16、答案：18;39
解析：根据题意,读取的号码依次为18,81（舍去）,90（舍去）,82（舍去）,05,98（舍去）,90（舍去）,07,35,82（舍去）,96（舍去）,59,26,94（舍去）,66（舍去）,39,…,所以抽取入样的号码是18,05,07,35,59,26,39,则第一个入样的号码是18,最后一个入样的号码是39.
故答案为：18;39.
17、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）将化为普通方程为,
将,代入上式可得,
故曲线的极坐标方程为.
（2）将化为普通方程为,
因为曲线是以为圆心,为半径的圆,
所以圆心到直线的距离为,
所以弦长.
18、答案：(1)分
(2)分布列见解析,有的把握认为体能测试成绩是否达标与性别有关.
解析：（1）由频数分布表可得平均数为：,
即这200名学生的体能测试平均成绩为分.
（2）依题意可得列联表如下：
达标 不达标 总计
男生 100 20 120
女生 60 20 80
合计 160 40 200
所以,
故有的把握认为体能测试成绩是否达标与性别有关.
19、答案：（1）;
（2）;
（3）详见解析
解析：（1）样区野生动物平均数为,
地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(,2,…,20)的相关系数为
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,
由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异很大,
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
20、答案：(1),,,
(2)甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二
解析：（1）,
,
,
.
（2）由（1）知,
因为,且,
所以,
因为,
又,所以,
所以送甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二.
21、答案：(1);
(2)从采购商的角度考虑,应该采用方案1;
(3)分布列见解析,.
解析：（1）设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则,
恰好抽到2个礼品果的概率.
（2）设方案2中1水果的售价为Y,
则.
,
从采购商的角度考虑,应该采用方案1.
（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.
易知X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.
,
,,
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
22、答案：（1）见解析
（2）技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大.
（3）2.27元
解析：（1）由表格中的数据,,所以,
所以.
可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数.
所以回归模型②的拟合效果更好.
所以当亿元时,科技升级直接收益的预测值为
（亿元）.
（2）当时,由已知可得.
.
所以.
所以当时,y与x满足的线性回归方程为.
当时,科技升级直接收益的预测值为亿元.
当亿元时,实际收益的预测值为亿元亿元,
所以技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大.
（3）因为,,
所以
;
.
所以（元）.