上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·虹口期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为 .
2．（2023高二下·虹口期末）现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种.
3．（2023高二下·虹口期末）已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于 .
4．（2023高二下·虹口期末）若函数，则 ．
5．（2023高二下·虹口期末）若，则正整数的值等于 .
6．（2023高二下·虹口期末）棱长都是3的三棱锥的高等于 .
7．（2023高二下·虹口期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为 .
8．（2023高二下·虹口期末）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个.
9．（2023高二下·虹口期末）从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是 （结果用数字作答）
10．（2023高二下·虹口期末）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 .
11．（2023高二下·虹口期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于 .
二、单选题
12．（2023高二下·虹口期末）双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高一下·浦东期末） “，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023高一下·浦东期末） 下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
15．（2023高一下·浦东期末） 下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
16．（2023高一下·浦东期末） 已知为虚数单位，下列说法中错误的是（ ）
A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
三、解答题
17．（2023高二下·虹口期末）若：
（1）当时，求的值；
（2）求的值.
18．（2023高二下·虹口期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米.
（1）求几何体的体积；
（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求.
19．（2023高二下·虹口期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点.
（1）求点到直线的距离；
（2）若直线的斜率为，且，求实数的值.
20．（2023高二下·虹口期末）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
（1）求证：∥平面；
（2）若，，平面平面.求平面与平面所成锐二面角的大小.
21．（2023高二下·虹口期末）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面.若为中点，求证：.
22．（2023高二下·虹口期末）如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.
（1）证明：对任意的正整数，点都在抛物线：上；
（2）已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，且与抛物线交于另一点.记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值.
23．（2023高二下·虹口期末）如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.
（1）当时，求点的坐标；
（2）已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，与抛物线交于另一点，且与轴交于点.若为等腰直角三角形，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解： 若直线：.与直线：互相垂直，
则，解得.
故答案为： .
【分析】根据，列式求解.
2．【答案】
【知识点】排列及排列数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：原题意等价于将 4个医疗小组平均分配到4个需要援助的国家 ，
所以 不同的分配方法共有种.
故答案为：24.
【分析】原题意等价于将 4个医疗小组平均分配到4个需要援助的国家 ，结合排列数运算求解.
3．【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：因为平面 平面 ，
则直 线与平面所成的角 即为 直线与平面所成的角，
连接，
因为 平面 ，则直线与平面所成的角为，
设，则，
所以，
即直 线与平面所成的角正弦值为，角的大小等于 .
故答案为： .
【分析】根据平行关系可知直 线与平面所成的角 即为 直线与平面所成的角，根据线面夹角的定义结合正方体的结果特征运算求解.
4．【答案】1
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：1.
【分析】求导可得，代入即可得结果.
5．【答案】
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，所以.
故答案为：10.
【分析】根据组合数的性质运算求解.
6．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为3，
点P在底面ABC的投影为D，则D为的中心，可得，
所以，即 棱长都是3的三棱锥的高等于 .
故答案为： .
【分析】点P在底面ABC的投影为D，则D为的中心，根据正四面体的结构特征运算求解.
7．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的斜率，
则 直线 的斜率，
所以 的方程为 .
故答案为： .
【分析】先求直线的斜率，根据平行关系可知直线 的斜率，进而根据直线的斜截式方程可得结果.
8．【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为 平面， 则，
即为直角三角形，
又因为 ，即为直角三角形，
且，平面，可得平面，
可得，即为直角三角形，
可知 三棱锥 的4个面均为直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据线面垂直的性质和判定定理可得平面，结合垂直关系分析判断.
9．【答案】4
【知识点】组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：若组成 不同三棱锥 ，则必有顶点P，
剩余三个点从底面A，B，C，D中选3个，则有种.
故答案为：4.
【分析】根据题意可知若组成 不同三棱锥 ，则必有顶点P，剩余三个点从底面A，B，C，D中选3个，结合组合数运算求解.
10．【答案】4
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点为，准线方程为，
则 点P到直线的距离 即为，
因为圆 的圆心为，半径为，
则
当且仅当当P，C，F三点共线时，等号成立，
所以 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 4.
故答案为：4.
【分析】根据抛物线的定义可知 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和为，根据圆的性质结合图象分析求解.
11．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为 是等边三角形，、分别是边和的中点 ，
则，且，
设，可知，
则，所以 椭圆的离心率.
故答案为： .
【分析】根据题意可知，且，根据椭圆的定义结合离心率运算求解.
12．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，且焦点在x轴上，
所以其中一条渐近线的斜率，倾斜角为，
根据对称性可知 两条渐近线的夹角 为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意求渐近线的斜率和倾斜角，结合对称性分析求解.
13．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】充分性：，，则，充分性成立，
必要性：若 ，则，，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用正切函数周期判断充分性和必要性.
14．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】A、与终边相同角可以表示为，与不一定相等，A错误；
B、 锐角是取值范围为的角，是第一象限的角， B正确；
C、 第二象限角取值范围为，锐角是取值范围为的角，C错误；
D、锐角是取值范围为的角， 但，不是锐角，D错误.
故答案为：B
【分析】根据象限角和终边相同角的定义逐一判断选项.
15．【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】A、 若，只能得到与的长度相等， A错误；
B、 若，且与的方向相同， ，B正确；
C、 只有平面上所有单位向量的起点移到同一点时，其终点在同一个圆上，C错误；
D、 当时，，与方向不一定相同或相反 ，D错误.
故答案为：B
【分析】根据向量的模定义、向量的相等定义、共线向量定义逐一判断选项.
16．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】A、 ，，
，
即 ，A正确；
B、设 ，则，，， ， B正确；
C、由复数的模定义知复数的模实际上是复平面对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 ，C正确；
D、设 ，则 ，，即，
复数对应的点以为圆心，为半径的圆上，D错误.
故答案为：D
【分析】根据复数的几何意义、复数的模和共轭复数定义逐一判断选项.
17．【答案】（1）解：因为，
令，可得.
（2）解：令可得，
所以.
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 (1)令， 代入运算可得结果；
(2)令 ，代入运算结合（1）中结果运算求解.
18．【答案】（1）解：圆柱的体积，
圆锥的体积为，
几何体的体积；
（2）解：连接，，
根据题意可得，
为圆柱母线和圆锥母线所成的角，
，，，
，
圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小为．
又，
因为，所以，故该亭子满足建筑要求.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合圆柱、圆锥的体积公式运算求解；
(2) 根据题意分析可知 为圆柱母线和圆锥母线所成的角，进而可得所成角的大小为． 结合题意分析判断.
19．【答案】（1）解：椭圆：，则，，，
所以，，，
所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离.
（2）解：依题意直线的斜率存在，则直线的方程为，
由，消去整理可得，
则，即，
且，，
因为，所以，，，
即，
整理可得，
即，
即，
整理可得，
解得或，都符合，
所以的值为或．
【知识点】直线的两点式方程；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，即可得 ，，， 求 直线的方程 以及 点到直线的距离 ；
(2)设直线的方程为，联立方程， 根据垂直关系结合韦达定理运算求解.
20．【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：取中点，过点作的平行线，
因为平面平面，平面平面，因为是等边三角形，
所以，平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，
所以，
所以，
设平面的法向量，
所以，即，
令，则，所以，
由题可知平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 根据线面平行的判定定理分析证明；
(2)取中点，过点作的平行线 ，根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，建系，利用空间向量求二面角.
21．【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：若，则为等边三角形，如图，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质可得 平面， 结合线面垂直的性质和判定定理分析证明.
22．【答案】（1）证明：如图，
由题意，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，可得，
，
即对任意的正整数，点都在抛物线：上
（2）解：如图，
由可得，则，
所以过的切线的斜率，
所以直线的方程为，即，
则直线：，所以与轴交于点，
由，令，可得，
联立可得，，
设， 则，，
令，则，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数在最大值、最小值问题中的应用；两条直线的交点坐标；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ， 代入 检验即可；
(2) 利用导数可得 直线的方程为 ，与 抛物线： 联立，结合韦达定理分析求解.
23．【答案】（1）解：当时，，，所以直线，
令，则，；
（2）解：由，得，则，所以，
所以直线的方程为，即，令，则，即，
则直线，令，解得，则，
又，
是等腰直角三角形，所以，解得，
又，解得或（舍去），
，
则直线，直线，，，
由，消去整理得，解得、，
则，
所以．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 直线，令即可得结果；
（2）利用导数可设直线的方程，再根据是等腰直角三角形求出 ，，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出Q点坐标，即可得解．
1 / 1上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·虹口期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解： 若直线：.与直线：互相垂直，
则，解得.
故答案为： .
【分析】根据，列式求解.
2．（2023高二下·虹口期末）现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种.
【答案】
【知识点】排列及排列数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：原题意等价于将 4个医疗小组平均分配到4个需要援助的国家 ，
所以 不同的分配方法共有种.
故答案为：24.
【分析】原题意等价于将 4个医疗小组平均分配到4个需要援助的国家 ，结合排列数运算求解.
3．（2023高二下·虹口期末）已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于 .
【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：因为平面 平面 ，
则直 线与平面所成的角 即为 直线与平面所成的角，
连接，
因为 平面 ，则直线与平面所成的角为，
设，则，
所以，
即直 线与平面所成的角正弦值为，角的大小等于 .
故答案为： .
【分析】根据平行关系可知直 线与平面所成的角 即为 直线与平面所成的角，根据线面夹角的定义结合正方体的结果特征运算求解.
4．（2023高二下·虹口期末）若函数，则 ．
【答案】1
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：1.
【分析】求导可得，代入即可得结果.
5．（2023高二下·虹口期末）若，则正整数的值等于 .
【答案】
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，所以.
故答案为：10.
【分析】根据组合数的性质运算求解.
6．（2023高二下·虹口期末）棱长都是3的三棱锥的高等于 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为3，
点P在底面ABC的投影为D，则D为的中心，可得，
所以，即 棱长都是3的三棱锥的高等于 .
故答案为： .
【分析】点P在底面ABC的投影为D，则D为的中心，根据正四面体的结构特征运算求解.
7．（2023高二下·虹口期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为 .
【答案】
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的斜率，
则 直线 的斜率，
所以 的方程为 .
故答案为： .
【分析】先求直线的斜率，根据平行关系可知直线 的斜率，进而根据直线的斜截式方程可得结果.
8．（2023高二下·虹口期末）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个.
【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为 平面， 则，
即为直角三角形，
又因为 ，即为直角三角形，
且，平面，可得平面，
可得，即为直角三角形，
可知 三棱锥 的4个面均为直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据线面垂直的性质和判定定理可得平面，结合垂直关系分析判断.
9．（2023高二下·虹口期末）从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是 （结果用数字作答）
【答案】4
【知识点】组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：若组成 不同三棱锥 ，则必有顶点P，
剩余三个点从底面A，B，C，D中选3个，则有种.
故答案为：4.
【分析】根据题意可知若组成 不同三棱锥 ，则必有顶点P，剩余三个点从底面A，B，C，D中选3个，结合组合数运算求解.
10．（2023高二下·虹口期末）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】4
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点为，准线方程为，
则 点P到直线的距离 即为，
因为圆 的圆心为，半径为，
则
当且仅当当P，C，F三点共线时，等号成立，
所以 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 4.
故答案为：4.
【分析】根据抛物线的定义可知 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和为，根据圆的性质结合图象分析求解.
11．（2023高二下·虹口期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为 是等边三角形，、分别是边和的中点 ，
则，且，
设，可知，
则，所以 椭圆的离心率.
故答案为： .
【分析】根据题意可知，且，根据椭圆的定义结合离心率运算求解.
二、单选题
12．（2023高二下·虹口期末）双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，且焦点在x轴上，
所以其中一条渐近线的斜率，倾斜角为，
根据对称性可知 两条渐近线的夹角 为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意求渐近线的斜率和倾斜角，结合对称性分析求解.
13．（2023高一下·浦东期末） “，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】充分性：，，则，充分性成立，
必要性：若 ，则，，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用正切函数周期判断充分性和必要性.
14．（2023高一下·浦东期末） 下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】A、与终边相同角可以表示为，与不一定相等，A错误；
B、 锐角是取值范围为的角，是第一象限的角， B正确；
C、 第二象限角取值范围为，锐角是取值范围为的角，C错误；
D、锐角是取值范围为的角， 但，不是锐角，D错误.
故答案为：B
【分析】根据象限角和终边相同角的定义逐一判断选项.
15．（2023高一下·浦东期末） 下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】A、 若，只能得到与的长度相等， A错误；
B、 若，且与的方向相同， ，B正确；
C、 只有平面上所有单位向量的起点移到同一点时，其终点在同一个圆上，C错误；
D、 当时，，与方向不一定相同或相反 ，D错误.
故答案为：B
【分析】根据向量的模定义、向量的相等定义、共线向量定义逐一判断选项.
16．（2023高一下·浦东期末） 已知为虚数单位，下列说法中错误的是（ ）
A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】A、 ，，
，
即 ，A正确；
B、设 ，则，，， ， B正确；
C、由复数的模定义知复数的模实际上是复平面对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 ，C正确；
D、设 ，则 ，，即，
复数对应的点以为圆心，为半径的圆上，D错误.
故答案为：D
【分析】根据复数的几何意义、复数的模和共轭复数定义逐一判断选项.
三、解答题
17．（2023高二下·虹口期末）若：
（1）当时，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，
令，可得.
（2）解：令可得，
所以.
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 (1)令， 代入运算可得结果；
(2)令 ，代入运算结合（1）中结果运算求解.
18．（2023高二下·虹口期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米.
（1）求几何体的体积；
（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求.
【答案】（1）解：圆柱的体积，
圆锥的体积为，
几何体的体积；
（2）解：连接，，
根据题意可得，
为圆柱母线和圆锥母线所成的角，
，，，
，
圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小为．
又，
因为，所以，故该亭子满足建筑要求.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合圆柱、圆锥的体积公式运算求解；
(2) 根据题意分析可知 为圆柱母线和圆锥母线所成的角，进而可得所成角的大小为． 结合题意分析判断.
19．（2023高二下·虹口期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点.
（1）求点到直线的距离；
（2）若直线的斜率为，且，求实数的值.
【答案】（1）解：椭圆：，则，，，
所以，，，
所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离.
（2）解：依题意直线的斜率存在，则直线的方程为，
由，消去整理可得，
则，即，
且，，
因为，所以，，，
即，
整理可得，
即，
即，
整理可得，
解得或，都符合，
所以的值为或．
【知识点】直线的两点式方程；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，即可得 ，，， 求 直线的方程 以及 点到直线的距离 ；
(2)设直线的方程为，联立方程， 根据垂直关系结合韦达定理运算求解.
20．（2023高二下·虹口期末）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
（1）求证：∥平面；
（2）若，，平面平面.求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：取中点，过点作的平行线，
因为平面平面，平面平面，因为是等边三角形，
所以，平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，
所以，
所以，
设平面的法向量，
所以，即，
令，则，所以，
由题可知平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 根据线面平行的判定定理分析证明；
(2)取中点，过点作的平行线 ，根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，建系，利用空间向量求二面角.
21．（2023高二下·虹口期末）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面.若为中点，求证：.
【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：若，则为等边三角形，如图，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质可得 平面， 结合线面垂直的性质和判定定理分析证明.
22．（2023高二下·虹口期末）如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.
（1）证明：对任意的正整数，点都在抛物线：上；
（2）已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，且与抛物线交于另一点.记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值.
【答案】（1）证明：如图，
由题意，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，可得，
，
即对任意的正整数，点都在抛物线：上
（2）解：如图，
由可得，则，
所以过的切线的斜率，
所以直线的方程为，即，
则直线：，所以与轴交于点，
由，令，可得，
联立可得，，
设， 则，，
令，则，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数在最大值、最小值问题中的应用；两条直线的交点坐标；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ， 代入 检验即可；
(2) 利用导数可得 直线的方程为 ，与 抛物线： 联立，结合韦达定理分析求解.
23．（2023高二下·虹口期末）如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.
（1）当时，求点的坐标；
（2）已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，与抛物线交于另一点，且与轴交于点.若为等腰直角三角形，求的面积.
【答案】（1）解：当时，，，所以直线，
令，则，；
（2）解：由，得，则，所以，
所以直线的方程为，即，令，则，即，
则直线，令，解得，则，
又，
是等腰直角三角形，所以，解得，
又，解得或（舍去），
，
则直线，直线，，，
由，消去整理得，解得、，
则，
所以．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 直线，令即可得结果；
（2）利用导数可设直线的方程，再根据是等腰直角三角形求出 ，，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出Q点坐标，即可得解．
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