黑龙江省双鸭山市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2016高一上·浦城期中）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，
根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，
再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，
作出原图如图所示，可知是图C．
故选：C．
【分析】观察直观图右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，由直观图得出原图形上下两条边是不相等的，从而得出答案．
2．（2023高二上·双鸭山开学考）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
.
故答案为：D.
【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.
3．（2023高二上·双鸭山开学考）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：黑球的个数有三种可能：0，1，2；
对于A：“恰好一个黑球”和“恰好有两个黑球”不会同时发生，即为互斥事件；
但还有可能没有黑球，故不对立，故A正确；
对于B：“至少一个黑球”即为1个或2个黑球，它的对立事件为“没有黑球”，即“都是红球”，
所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B错误；
对于C：“至少有一个红球”即为0个或1个黑球，与“至少一个黑球”都包含1个黑球，
故两者不互斥，故C错误；
对于D：“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，故故两者不互斥，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意结合互斥事件、对立事件的概念分析判断.
4．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数反应总体水平，平均数越大，总体水平越高，
方差反应波动性，方差越小，波动性越小，
所以 最能体现共同富裕要求的是 平均数大，方差小 .
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的性质分析判断.
5．（2023高二上·双鸭山开学考）已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为 事件A与B互斥， 则，故A错误；
又因为 ，， 则 ，，故C、D错误；
则 ，故B正确；
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件的性质运算求解.
6．（2023高二上·双鸭山开学考）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意还原几何体可得
对于A：因为，，则为平行四边形，则 ，故A正确；
对于B：由A可知：，则与CN所成的角为（或其补集），
因为，即为等边三角形，则，
所以与CN不垂直，故B错误；
对于C：由正方体可得：，则，故C错误；
对于D：因为，且EF与AE相交，所以MN与EF不平行，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意还原正方体，结合正方体的几何特征逐项判断.
7．（2023高二上·双鸭山开学考）一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的75%分位数是（ ）
A．10.3 B．10.4 C．10.5 D．10.6
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次为：3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1， 9.6， 10， 11，12.3， 15.9，
因为，所以它们的75%分位数是.
故答案为：C.
【分析】先将数据按升序排列，再结合百分位数的定义运算求解.
8．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，
因为，则，
所以，
可得小球缺的体积，
大球缺的体积，
所以小球缺与大球缺体积之比为.
故答案为：D.
【分析】设小球缺的高为，大球缺的高为，根据面积之比可得，代入球缺的体积公式运算求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·双鸭山开学考）已知是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
C．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
D．是关于x的方程的一个根
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A： 设，则，可得 ，故A正确；
对于B： 若复数，则z为纯虚数的充要条件是，故B错误；
对于C： 若，则在复平面内z对应的点Z的集合 为以O为圆心，1为半径的圆及其内部，所以确定的面积为，故C错误；
对于D：因为 ，则，解得 ，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据共轭复数的概念和模长公式运算 求解；对于B：根据纯虚数的定义分析判断；对于C：根据复数的几何意义分析求解；对于D：根据复数系方程运算求解.
10．（2023高二上·双鸭山开学考）下列结论正确的是（ ）
A．已知向量，，且与的夹角为锐角，则
B．中，，，，则有两解
C．向量，能作为所在平面内的一组基底
D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足，则A，B，P三点共线
【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：若 与的夹角为锐角， 则，
解得 且，故A错误；
对于B：由余弦定理可得，即，
整理得，且，方程无解，
所以 不存在，故B错误；
对于C：因为，则 与 不共线，
所以 向量，能作为所在平面内的一组基底 ，故C正确；
对于D：因为 ，则 A，B，P三点共线，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对A：根据向量夹角与数量积之间的关系列式求解；对B：利用余弦定理分析运算；对C：根据向量共线的坐标表示分析求解；对D：根据三点共线的结论：若A，B，P三点共线，等价于 ，且， 直接分析判断.
11．（2023高二上·双鸭山开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．在中，若，，，则
C．若，，则面积的最大值为
D．若，则为钝角三角形
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为 等价于 ，等价于 ，
所以 是的充要条件，故A正确；
对于B：由正弦定理，可得，
因为，则，所以 或 ，故B错误；
对于C：由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以 面积的最大值为，故C正确；
对于D：因为 ，则，
由正弦定理可得，即，
且，可知，可得，
即为钝角，所以 为钝角三角形，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于A、B：利用正弦定理结合三角形的性质分析判断；对于C：根据题意利用余弦定理结合基本不等式可得，结合面积公式运算求解；对于D：根据数量积的定义结合正弦定理分析可得，再利用三角恒等变换分析判断.
12．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ）
A．，E，O三点共线
B．异面直线BD与所成的角为
C．点到平面的距离为
D．过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；空间图形的公理；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，则，
又因为平面，平面，所以平面，平面，
同理可得：平面，平面，
且所以平面平面，所以，即，E，O三点共线，故A正确；
对于B：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为ABCD为正方形，则，
由，平面，
则平面，且平面，所以，
可知异面直线BD与所成的角为，故B正确；
对于C：因为，
根据割补法可得：三棱锥的体积为，
设 点到平面的距离为，则，解得，
所以 点到平面的距离为，故C错误；
对于D：取的中点G，连接，
可得，
所以等腰梯形就是过点 ，B，F的平面截该正方体所得截面，如图：
可得，可知梯形的高为，
所以 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据基本事实分析判断；对于B：根据线面垂直可证；对于C：利用等体积法求点到面的距离；对于D：取的中点G，根据题意分析可知等腰梯形就是过点 ，B，F的平面截该正方体所得截面，结合正方体运算求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·双鸭山开学考）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意可知：设圆锥的底面半径，则母线长为，
则，解得，
所以 该圆锥的侧面积为.
故答案为： .
【分析】根据题意设圆锥的底面半径，则母线长为，结合面积关系可得，再利用圆锥的侧面积公式分析求解.
14．（2023高二上·双鸭山开学考）已知向量，满足，，，则 .
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 ，则，解得 .
故答案为：1.
【分析】根据模长关系结合数量积的运算律分析求解.
15．（2023高二上·双鸭山开学考）数据，，的方差为，则数据，，的平均数为 .
【答案】：7或
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为 方差为
，
解得，
所以数据，，的平均数为或.
故答案为：7或.
【分析】根据题意结合方差公式可得，结合平均数的性质运算求解.
16．（2023高二上·双鸭山开学考）棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为正方体的内切球的半径为3
由题意可知：正四面体在正方体的内切球内，显然当该四面体内接于球时棱长最大，
对于正四面体，O为底面ABC的中心，连接PO，则底面ABC，
则为四面体的外接球的球心，可知，
因为，
又因为，即，解得，
故答案为： .
【分析】根据题意可知：正四面体在正方体的内切球内，当该四面体内接于球时棱长最大，结合正四面体的结构特征运算求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·双鸭山开学考）
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
18．（2023高二上·双鸭山开学考）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的频率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.
【答案】（1）解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
∵乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：.
解得，.
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A，
则，
即团体总分为4分的概率为.
（3）解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为.
所以参加复赛的概率为.
即该小组参加复赛的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)由题意可知： 团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解；
(3) 若团体总分不小于4分，则团体总分为4分或6分，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解.
19．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，四棱锥中，ABCD为正方形，E为PC的中点，平面平面ABCD，.
（1）证明：平面BDE；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，
又E为PC的中点，所以，
又因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，则，
因为，
所以.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)连接AC交BD于点O，连接OE， 可得 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)利用转换顶点法结合锥体的体积公式运算求解.
20．（2023高二上·双鸭山开学考）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照，，，进行分组，得到下列统计图.
（1）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；
（2）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
（3）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，恰有1人生产时间少于65min的概率.
【答案】（1）解：第一组工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人），
第二组工人40人.其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有
人，
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人）.
（2）解：第一组平均时间为：，
第二组平均时间为：，
∵，∴乙车间工人生产效率更高.
（3）解：由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，
其中生产时间少于65min的有2人，分别用，代表，
生产时间不少于65min的工人用，，，代表，
抽取2人基本事件空间为：
，共15个基本事件.
设事件A：恰有1人生产时间少于65min，
则.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合频率分布直方图分析运算；
(2) 根据题意结合平均数公式运算求解，并对比分析；
(3)根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型分析求解.
21．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若，求AD的长；
（2）若，的面积为，求的值.
【答案】（1）解：∵中，，
∴，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，
∴，
综上所述，结论是：AD的长为.
（2）解：设，则，∴，
∴，的面积为，
∴，
∴，，
中，由余弦定理得
，
在中，由正弦定理，
即，∴，
中，由正弦定理得，
即，
∴，
∵，
∴，
综上所述，结论是：.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 在中 ，利用正弦定理运算求解；
(2) 设， 根据 的面积可得 ，， 在 中， 利用余弦定理可得AC， 在， 中，利用正弦定理分析证明.
22．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，四边形与四边形是全等的矩形，.
（1）若P是棱的中点，求证：平面平面；
（2）若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：由题意知 ，所以，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
，即，所以，所以，
同理，所以，即.
又由于，所以，且，
又平面，平面，
所以平面，
又因为面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，所以CP是直线BP在平面内的射影，
所以就是直线BP与平面所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得，
又由（1）知，，，两两垂直，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由于，所以，即，
令，则，，即，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，可知为锐角，所以.
故二面角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 平面，，根据几何关系可得 ，即可证 平面， 进而可证面面垂直；
(2) 根据题意可知 就是直线BP与平面所成的角， 即可得 ， 建系，利用空间向量求二面角.
1 / 1黑龙江省双鸭山市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2016高一上·浦城期中）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·双鸭山开学考）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·双鸭山开学考）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
4．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
5．（2023高二上·双鸭山开学考）已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·双鸭山开学考）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·双鸭山开学考）一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的75%分位数是（ ）
A．10.3 B．10.4 C．10.5 D．10.6
8．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·双鸭山开学考）已知是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
C．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
D．是关于x的方程的一个根
10．（2023高二上·双鸭山开学考）下列结论正确的是（ ）
A．已知向量，，且与的夹角为锐角，则
B．中，，，，则有两解
C．向量，能作为所在平面内的一组基底
D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足，则A，B，P三点共线
11．（2023高二上·双鸭山开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．在中，若，，，则
C．若，，则面积的最大值为
D．若，则为钝角三角形
12．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ）
A．，E，O三点共线
B．异面直线BD与所成的角为
C．点到平面的距离为
D．过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·双鸭山开学考）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .
14．（2023高二上·双鸭山开学考）已知向量，满足，，，则 .
15．（2023高二上·双鸭山开学考）数据，，的方差为，则数据，，的平均数为 .
16．（2023高二上·双鸭山开学考）棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·双鸭山开学考）
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
18．（2023高二上·双鸭山开学考）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的频率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.
19．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，四棱锥中，ABCD为正方形，E为PC的中点，平面平面ABCD，.
（1）证明：平面BDE；
（2）求三棱锥的体积.
20．（2023高二上·双鸭山开学考）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照，，，进行分组，得到下列统计图.
（1）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；
（2）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
（3）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，恰有1人生产时间少于65min的概率.
21．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若，求AD的长；
（2）若，的面积为，求的值.
22．（2023高二上·双鸭山开学考）如图，四边形与四边形是全等的矩形，.
（1）若P是棱的中点，求证：平面平面；
（2）若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，
根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，
再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，
作出原图如图所示，可知是图C．
故选：C．
【分析】观察直观图右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，由直观图得出原图形上下两条边是不相等的，从而得出答案．
2．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
.
故答案为：D.
【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.
3．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：黑球的个数有三种可能：0，1，2；
对于A：“恰好一个黑球”和“恰好有两个黑球”不会同时发生，即为互斥事件；
但还有可能没有黑球，故不对立，故A正确；
对于B：“至少一个黑球”即为1个或2个黑球，它的对立事件为“没有黑球”，即“都是红球”，
所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B错误；
对于C：“至少有一个红球”即为0个或1个黑球，与“至少一个黑球”都包含1个黑球，
故两者不互斥，故C错误；
对于D：“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，故故两者不互斥，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意结合互斥事件、对立事件的概念分析判断.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数反应总体水平，平均数越大，总体水平越高，
方差反应波动性，方差越小，波动性越小，
所以 最能体现共同富裕要求的是 平均数大，方差小 .
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的性质分析判断.
5．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为 事件A与B互斥， 则，故A错误；
又因为 ，， 则 ，，故C、D错误；
则 ，故B正确；
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件的性质运算求解.
6．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意还原几何体可得
对于A：因为，，则为平行四边形，则 ，故A正确；
对于B：由A可知：，则与CN所成的角为（或其补集），
因为，即为等边三角形，则，
所以与CN不垂直，故B错误；
对于C：由正方体可得：，则，故C错误；
对于D：因为，且EF与AE相交，所以MN与EF不平行，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意还原正方体，结合正方体的几何特征逐项判断.
7．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次为：3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1， 9.6， 10， 11，12.3， 15.9，
因为，所以它们的75%分位数是.
故答案为：C.
【分析】先将数据按升序排列，再结合百分位数的定义运算求解.
8．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，
因为，则，
所以，
可得小球缺的体积，
大球缺的体积，
所以小球缺与大球缺体积之比为.
故答案为：D.
【分析】设小球缺的高为，大球缺的高为，根据面积之比可得，代入球缺的体积公式运算求解.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A： 设，则，可得 ，故A正确；
对于B： 若复数，则z为纯虚数的充要条件是，故B错误；
对于C： 若，则在复平面内z对应的点Z的集合 为以O为圆心，1为半径的圆及其内部，所以确定的面积为，故C错误；
对于D：因为 ，则，解得 ，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据共轭复数的概念和模长公式运算 求解；对于B：根据纯虚数的定义分析判断；对于C：根据复数的几何意义分析求解；对于D：根据复数系方程运算求解.
10．【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：若 与的夹角为锐角， 则，
解得 且，故A错误；
对于B：由余弦定理可得，即，
整理得，且，方程无解，
所以 不存在，故B错误；
对于C：因为，则 与 不共线，
所以 向量，能作为所在平面内的一组基底 ，故C正确；
对于D：因为 ，则 A，B，P三点共线，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对A：根据向量夹角与数量积之间的关系列式求解；对B：利用余弦定理分析运算；对C：根据向量共线的坐标表示分析求解；对D：根据三点共线的结论：若A，B，P三点共线，等价于 ，且， 直接分析判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为 等价于 ，等价于 ，
所以 是的充要条件，故A正确；
对于B：由正弦定理，可得，
因为，则，所以 或 ，故B错误；
对于C：由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以 面积的最大值为，故C正确；
对于D：因为 ，则，
由正弦定理可得，即，
且，可知，可得，
即为钝角，所以 为钝角三角形，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于A、B：利用正弦定理结合三角形的性质分析判断；对于C：根据题意利用余弦定理结合基本不等式可得，结合面积公式运算求解；对于D：根据数量积的定义结合正弦定理分析可得，再利用三角恒等变换分析判断.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；空间图形的公理；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，则，
又因为平面，平面，所以平面，平面，
同理可得：平面，平面，
且所以平面平面，所以，即，E，O三点共线，故A正确；
对于B：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为ABCD为正方形，则，
由，平面，
则平面，且平面，所以，
可知异面直线BD与所成的角为，故B正确；
对于C：因为，
根据割补法可得：三棱锥的体积为，
设 点到平面的距离为，则，解得，
所以 点到平面的距离为，故C错误；
对于D：取的中点G，连接，
可得，
所以等腰梯形就是过点 ，B，F的平面截该正方体所得截面，如图：
可得，可知梯形的高为，
所以 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据基本事实分析判断；对于B：根据线面垂直可证；对于C：利用等体积法求点到面的距离；对于D：取的中点G，根据题意分析可知等腰梯形就是过点 ，B，F的平面截该正方体所得截面，结合正方体运算求解.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意可知：设圆锥的底面半径，则母线长为，
则，解得，
所以 该圆锥的侧面积为.
故答案为： .
【分析】根据题意设圆锥的底面半径，则母线长为，结合面积关系可得，再利用圆锥的侧面积公式分析求解.
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 ，则，解得 .
故答案为：1.
【分析】根据模长关系结合数量积的运算律分析求解.
15．【答案】：7或
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为 方差为
，
解得，
所以数据，，的平均数为或.
故答案为：7或.
【分析】根据题意结合方差公式可得，结合平均数的性质运算求解.
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为正方体的内切球的半径为3
由题意可知：正四面体在正方体的内切球内，显然当该四面体内接于球时棱长最大，
对于正四面体，O为底面ABC的中心，连接PO，则底面ABC，
则为四面体的外接球的球心，可知，
因为，
又因为，即，解得，
故答案为： .
【分析】根据题意可知：正四面体在正方体的内切球内，当该四面体内接于球时棱长最大，结合正四面体的结构特征运算求解.
17．【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
18．【答案】（1）解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
∵乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：.
解得，.
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A，
则，
即团体总分为4分的概率为.
（3）解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为.
所以参加复赛的概率为.
即该小组参加复赛的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)由题意可知： 团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解；
(3) 若团体总分不小于4分，则团体总分为4分或6分，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解.
19．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，
又E为PC的中点，所以，
又因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，则，
因为，
所以.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)连接AC交BD于点O，连接OE， 可得 ， 结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)利用转换顶点法结合锥体的体积公式运算求解.
20．【答案】（1）解：第一组工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人），
第二组工人40人.其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有
人，
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人）.
（2）解：第一组平均时间为：，
第二组平均时间为：，
∵，∴乙车间工人生产效率更高.
（3）解：由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，
其中生产时间少于65min的有2人，分别用，代表，
生产时间不少于65min的工人用，，，代表，
抽取2人基本事件空间为：
，共15个基本事件.
设事件A：恰有1人生产时间少于65min，
则.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合频率分布直方图分析运算；
(2) 根据题意结合平均数公式运算求解，并对比分析；
(3)根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型分析求解.
21．【答案】（1）解：∵中，，
∴，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，
∴，
综上所述，结论是：AD的长为.
（2）解：设，则，∴，
∴，的面积为，
∴，
∴，，
中，由余弦定理得
，
在中，由正弦定理，
即，∴，
中，由正弦定理得，
即，
∴，
∵，
∴，
综上所述，结论是：.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 在中 ，利用正弦定理运算求解；
(2) 设， 根据 的面积可得 ，， 在 中， 利用余弦定理可得AC， 在， 中，利用正弦定理分析证明.
22．【答案】（1）解：由题意知 ，所以，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
，即，所以，所以，
同理，所以，即.
又由于，所以，且，
又平面，平面，
所以平面，
又因为面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，所以CP是直线BP在平面内的射影，
所以就是直线BP与平面所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得，
又由（1）知，，，两两垂直，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由于，所以，即，
令，则，，即，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，可知为锐角，所以.
故二面角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 平面，，根据几何关系可得 ，即可证 平面， 进而可证面面垂直；
(2) 根据题意可知 就是直线BP与平面所成的角， 即可得 ， 建系，利用空间向量求二面角.
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