【精品解析】安徽省颍上第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

安徽省颍上第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2023高二上·颍上开学考）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．R
2．（2023高二上·颍上开学考）已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·颍上开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·安庆期中）某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号后再放回池中，经过一段时间后，再从该鱼池中捕得100，经过发现有记号的鱼有10条（假定该鱼池中鱼的数量既不减少也不增加）则池中大约有鱼（　　）
A．120 B．1000条 C．130条 D．1200条
5．（2023高二上·颍上开学考）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·颍上开学考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　）
A． B． C．1s D．
7．（2023高二上·颍上开学考）若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·颍上开学考）已知函数是定义域为的偶函数为奇函数，当时，，若，则（　　）
A．2 B．0 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·颍上开学考）如图，在正六边形中，下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2023高二上·颍上开学考）若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”.下列函数存在“等域区间”的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二上·颍上开学考）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．、、、四点共面
B．平面截正方体所得截面为等腰梯形
C．三棱锥的体积为
D．异面直线与所成角的余弦值为
12．（2023高二上·颍上开学考）把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列说法正确的是（　　）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·颍上开学考）如图，在中，，，，则的值为　 　.
14．（2023高二上·颍上开学考）下列叙述中正确的是　 　.（填写所有正确命题的序号）
①随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60
②数据2，3，3，5，9，9的中位数为3和5，众数为3和9
③数据9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位数为21
④若将一组数据中的每个数都加上2，则平均数和方差都没有发生变化
15．（2023高二上·颍上开学考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.的外接圆半径为1，，若边上的一点满足，且，则的面积为　 　.
16．（2021·淮北模拟）在棱长为 的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥 外接球表面积的最小值为　 　.
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020高二上·中山月考）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ ，AB⊥AD，AB＝1．
（1）若AC＝ ，求 的面积；
（2）若∠ADC＝ ，CD＝4，求sin∠CAD．
18．（2023高二上·颍上开学考）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点，求证：
（1）平面.
（2）平面平面.
（3）求直线和平面所成的角的正弦值.
19．（2023高二上·颍上开学考）俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求样本中数据落在的频率；
（2）求样本数据的第60百分位数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
20．（2023高二上·颍上开学考）已知，，设函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
21．（2023高二上·颍上开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若对，使得关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
22．（2023高二上·颍上开学考）已知函数的图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
，
则，所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意求结合A，B，在利用集合间的运算求解.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算求得，进而可得其共轭复数.
3．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】以 为整体，结合诱导公式运算求解.
4．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设池中有大鱼约x条，则由题意可知 ，解得 ，故池中大鱼约有1200条．
故答案为：D.
【分析】设池中有大鱼约条，由题意可知 ，解出，即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，则，
若命题“，”为真命题，则，
选项中仅是真子集，
故命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 .
故答案为：B.
【分析】根据恒成立问题结合对数函数单调性可得，结合充分、必要条件结合包含关系分析判断.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可知：为函数的两个相邻的对称轴，
则，可得，则，
所以 ，
令，则，
解得，
所以 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知为函数的两个相邻的对称轴，进而可得，令求解即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A：因为 ， 则在内单调递增，
由 ，则，故A错误；
对于B：因为 ，则 则在内单调递减，
由 ，则，可得 ， 故B错误；
对于C：因为 ， 则在内单调递减，
由 ，则，可得，
即 ，故C正确；
对于D：因为，且 ，
则，故D错误；
故答案为：C.
【分析】对于AB：根据幂函数单调性结合不等式性质分析判断；对于CD：根据对数函数单调性结合不等式性质分析判断.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为 为奇函数 ，则，
可得，可得
且 是定义域为的偶函数 ，则，
即，则
可得，
可知的周期为4，
若，则，
解得，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据奇偶性的定义分析可得的周期为4，，可求得，根据函数周期性分析求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，故A正确；
对于B：因为 ，且，可知 ，故B错误；
对于C：由正六边形可知： ，且 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为，则 ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于AB：根据向量的线性运算结合正六边形的性质分析判断；对于CD：根据数量积的定义和运算律分析判断.
10．【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 由题意可知：若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，
结合图象可得：
对于A：因为 与相切，只有1个交点，故A错误；
对于B：因为 与有2个交点，故B正确；
对于C：因为 与有2个交点，故B正确；
对于D：因为 与相切，只有1个交点，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据题意可知若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，利用图象逐项分析判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；异面直线及其所成的角；异面直线的判定；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为直线为异面直线，
所以 、、、四点不共面，故A错误；
对于B：连接，因为、分别是、的中点，则，且，
由正方体的性质可知：，，且，
可得，，所以 平面截正方体所得截面为等腰梯形，故B正确；
对于C： 三棱锥的体积为，故C正确；
对于D：由选项B可知：，则 异面直线与所成角为（或其补角），
因为，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】对于A：根据直线的位置关系结合平面的性质分析判断；对于B：根据平行的性质分析判断；对于C：利用转化顶点法求三棱锥的体积；对于D：根据异面直线夹角结合余弦定理分析求解.
12．【答案】A,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：对于A：若为“函数”，由(1)可知：，
由(2)：令，可得，解得，所以 ，故A正确；
对于B：例如，可知满足条件(1)(2)，显然不是增函数，故B错误；
对于C：例如：均为无理数，则为有理数，
则，显然不满足条件(2)，
所以函数在上不是“函数”，故C错误；
对于D：因为在上的最小值是0，即符合 （1）；
当设是的小数部分，则，
若，则，显然，
所以，即符合（2）；
所以函数在上是“函数”，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据性质（1）判断；对于B、C：取特列分析判断；对于D：根据定义分析判断.
13．【答案】-2
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，且，
所以 .
故答案为： -2 .
【分析】以为基底向量表示 ，结合数量积的定义和运算律运算求解.
14．【答案】①③
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本与样本量；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于 ① ： 随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60 ，故①正确；
对于② ：中位数为， 众数为3和9 ，故②错误；
对于③ ：因为，所以 75%分位数为 第6位数和第7位数的平均数，故 ③ 正确；
对于 ④ ： 若将一组数据中的每个数都加上2， 则 平均数 加2，方差不变，故 ④ 错误；
故答案为： ①③ .
【分析】对①：根据样本容量的概念分析判断；对② ：根据中位数、众数的概念分析判断；对 ③ ：根据百分位数的概念分析判断；对 ④ ：根据平均数、方差的性质分析判断.
15．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为 的外接圆半径为，
由题意可得，
如图，因为 ， 可知，可得，
则，且，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，，
且与互补，则，可得，
则，由正弦定理可得，
所以 的面积为.
故答案为： .
【分析】根据题意利用正弦定理可得，在根据 和正弦定理可得，进而可得，，再利用面积公式运算求解.
16．【答案】13π
【知识点】两角和与差的正切公式；球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】如下图所示，设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，则 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 ，
本题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，如下图所示：
设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，则 ，如下图所示：
设 ，则 ， ， ，
，
当且仅当 时， 取得最大值 ，
由 ，可得 ， ，
所以， 的最大值为 ，由正弦定理得 ，即 的最小值为3，
因此， ，
所以，三棱锥 外接球的表面积为 ，
故三棱锥 外接球的表面积的最小值为 。
故答案为：13π。
【分析】设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，则 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得圆柱的外接球半径，本题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，再利用勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，设 ，则 ， ， ，再利用两角差的正切公式结合均值不等式求出的最大值，再利用同角三角函数基本关系式求出 的最大值，再利用正弦定理求出 的最小值，再利用勾股定理求出2R的最小值，再利用球的表面积公式求出三棱锥 外接球的表面积的最小值。
17．【答案】（1）解：在 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋ BC，解得BC＝ ，
所以 的面积 ＝ AB·BC·sin∠ABC＝ ×1× × ＝ ．
（2）解：设∠CAD＝θ，
在 ACD中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，①
在 中，∠BAC＝ －θ，∠BCA＝π－ －( －θ)＝θ－ ，
由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，②
①②两式相除，得 ＝ ，
即4( sin θ－ cos θ)＝ sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝ ，即sin∠CAD＝ ．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而解一元二次方程求出BC的长，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积。
（2） 设∠CAD＝θ，在 ACD中，由正弦定理和角之间的关系得出 ＝ ① 和 ＝ ②， ①②两式相除， 整理得sin θ＝2cos θ ，再利用同角三角函数基本关系式 sin2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝ ，即sin∠CAD＝ 。
18．【答案】（1）证明：
（2）证明：
（3）解：
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】
(1)取CE中点M，连结MF，BM，
MF是△CDE的中位线，∴MF∥DE，，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴DE∥AB，又DE=2AB，∴AB∥MF，AB=MF，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，∵AF 平面BCE，BM 平面BCE，
∴AF//平面BCE；
(2)∵AB⊥平面ACD，AF 平面ACD，
∴AB⊥AF，∴四边形ABMF是矩形，∴BM⊥MF.
∵△ACD是正三角形，F是CD中点，∴CD⊥AF.
∵BM∥AF，∴CD⊥BM，
∵MF∩CD=F，MF 平面CDE，CD 平面CDE，
∴BM⊥平面CDE，∵BM 平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE；
（3）取线段DE的中点P，连接BP，
∵AB∥DP且AB=DP，
∴四边形ABPD是平行四边形，
∴AD∥BP，
则直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，
过点P作PN⊥CE，垂足为N，连结BN，
由（2）知平面BCE⊥平面CDE，又平面BCE∩平面CDE=CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为直线BP和平面BCE所成角的平面角.
设AB=1，则DE=AC=CD=AD=2，
∵DE⊥平面ACD，
∴DE⊥DC，
∵CD=DE，
∴，
∵PN⊥CE，EP=1，
∴，
∵四边形ABPD为平行四边形，
∴BP=AD=2，
∴，
故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为.
【分析】(1)根据题意可得AF∥BM，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意题意可证BM⊥平面CDE，结合面面垂直的判定定理分析证明；
(3)根据（2）可知PN⊥平面BCE，则∠PBN为直线BP和平面BCE所成角的平面角，分析运算即可.
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，样本中数据落在的频率为
（2）解：样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为
（3）解：与两组的频率之比为，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4.
所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，故所求概率
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图分析运算；
(2)根据题意结合百分位数的定义分析求解；
(3) 先根据分层抽样求各层人数，再利用列举法和古典概型运算求解.
20．【答案】（1）解：.取，，解得，.
故函数的单调递增区间为，
（2）解：，则，故，.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换整理可得 ，结合正弦函数求单调区间；
(2)以 为整体，结合正弦函数的有界性分析运算.
21．【答案】（1）解：由所给函数图象可知，，，即，所以，
又图像过点，所以，，解得，，
因为，所以当时，，故
（2）解：若对于，关于的不等式恒成立，
即对于，关于的不等式恒成立，
即对于，恒成立.当时，，
令时，为减函数，
所以当时，取得最小值为，即的最小值为，
故实数，所以的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用五点法求函数解析式；
(2)根据题意分析可得 对于，恒成立，换元令 ，结合基本不等式运算求解.
22．【答案】（1）解：因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得.
（2）解：易知的定义域为R，令，
因为函数及都在上单调递增，所以在上单调递增，
根据复合函数的性质，可知在上单调递增，
又因为是定义在R的奇函数，所以在R上单调递增.
（3）解：由题意，在上恒成立，
等价于在上恒成立，
则在]上恒成立.
令，显然是增函数，则.
，所以在上恒成立.
则，令，则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以所以，即，故的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用奇函数的定义分析求解；
(2)根据单调性的性质结合奇函数的对称性分析判断；
(3)由题意可得 在]上恒成立，换元， 分离常数结合基本不等式运算求解.
1 / 1安徽省颍上第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2023高二上·颍上开学考）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．R
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
，
则，所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意求结合A，B，在利用集合间的运算求解.
2．（2023高二上·颍上开学考）已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算求得，进而可得其共轭复数.
3．（2023高二上·颍上开学考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】以 为整体，结合诱导公式运算求解.
4．（2020高二上·安庆期中）某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号后再放回池中，经过一段时间后，再从该鱼池中捕得100，经过发现有记号的鱼有10条（假定该鱼池中鱼的数量既不减少也不增加）则池中大约有鱼（　　）
A．120 B．1000条 C．130条 D．1200条
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设池中有大鱼约x条，则由题意可知 ，解得 ，故池中大鱼约有1200条．
故答案为：D.
【分析】设池中有大鱼约条，由题意可知 ，解出，即可得到答案。
5．（2023高二上·颍上开学考）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，则，
若命题“，”为真命题，则，
选项中仅是真子集，
故命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 .
故答案为：B.
【分析】根据恒成立问题结合对数函数单调性可得，结合充分、必要条件结合包含关系分析判断.
6．（2023高二上·颍上开学考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　）
A． B． C．1s D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可知：为函数的两个相邻的对称轴，
则，可得，则，
所以 ，
令，则，
解得，
所以 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知为函数的两个相邻的对称轴，进而可得，令求解即可得结果.
7．（2023高二上·颍上开学考）若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A：因为 ， 则在内单调递增，
由 ，则，故A错误；
对于B：因为 ，则 则在内单调递减，
由 ，则，可得 ， 故B错误；
对于C：因为 ， 则在内单调递减，
由 ，则，可得，
即 ，故C正确；
对于D：因为，且 ，
则，故D错误；
故答案为：C.
【分析】对于AB：根据幂函数单调性结合不等式性质分析判断；对于CD：根据对数函数单调性结合不等式性质分析判断.
8．（2023高二上·颍上开学考）已知函数是定义域为的偶函数为奇函数，当时，，若，则（　　）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为 为奇函数 ，则，
可得，可得
且 是定义域为的偶函数 ，则，
即，则
可得，
可知的周期为4，
若，则，
解得，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据奇偶性的定义分析可得的周期为4，，可求得，根据函数周期性分析求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·颍上开学考）如图，在正六边形中，下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，故A正确；
对于B：因为 ，且，可知 ，故B错误；
对于C：由正六边形可知： ，且 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为，则 ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于AB：根据向量的线性运算结合正六边形的性质分析判断；对于CD：根据数量积的定义和运算律分析判断.
10．（2023高二上·颍上开学考）若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”.下列函数存在“等域区间”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 由题意可知：若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，
结合图象可得：
对于A：因为 与相切，只有1个交点，故A错误；
对于B：因为 与有2个交点，故B正确；
对于C：因为 与有2个交点，故B正确；
对于D：因为 与相切，只有1个交点，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据题意可知若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，利用图象逐项分析判断.
11．（2023高二上·颍上开学考）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．、、、四点共面
B．平面截正方体所得截面为等腰梯形
C．三棱锥的体积为
D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；异面直线及其所成的角；异面直线的判定；余弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为直线为异面直线，
所以 、、、四点不共面，故A错误；
对于B：连接，因为、分别是、的中点，则，且，
由正方体的性质可知：，，且，
可得，，所以 平面截正方体所得截面为等腰梯形，故B正确；
对于C： 三棱锥的体积为，故C正确；
对于D：由选项B可知：，则 异面直线与所成角为（或其补角），
因为，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】对于A：根据直线的位置关系结合平面的性质分析判断；对于B：根据平行的性质分析判断；对于C：利用转化顶点法求三棱锥的体积；对于D：根据异面直线夹角结合余弦定理分析求解.
12．（2023高二上·颍上开学考）把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列说法正确的是（　　）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）
【答案】A,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：对于A：若为“函数”，由(1)可知：，
由(2)：令，可得，解得，所以 ，故A正确；
对于B：例如，可知满足条件(1)(2)，显然不是增函数，故B错误；
对于C：例如：均为无理数，则为有理数，
则，显然不满足条件(2)，
所以函数在上不是“函数”，故C错误；
对于D：因为在上的最小值是0，即符合 （1）；
当设是的小数部分，则，
若，则，显然，
所以，即符合（2）；
所以函数在上是“函数”，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：根据性质（1）判断；对于B、C：取特列分析判断；对于D：根据定义分析判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·颍上开学考）如图，在中，，，，则的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，且，
所以 .
故答案为： -2 .
【分析】以为基底向量表示 ，结合数量积的定义和运算律运算求解.
14．（2023高二上·颍上开学考）下列叙述中正确的是　 　.（填写所有正确命题的序号）
①随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60
②数据2，3，3，5，9，9的中位数为3和5，众数为3和9
③数据9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位数为21
④若将一组数据中的每个数都加上2，则平均数和方差都没有发生变化
【答案】①③
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本与样本量；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于 ① ： 随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60 ，故①正确；
对于② ：中位数为， 众数为3和9 ，故②错误；
对于③ ：因为，所以 75%分位数为 第6位数和第7位数的平均数，故 ③ 正确；
对于 ④ ： 若将一组数据中的每个数都加上2， 则 平均数 加2，方差不变，故 ④ 错误；
故答案为： ①③ .
【分析】对①：根据样本容量的概念分析判断；对② ：根据中位数、众数的概念分析判断；对 ③ ：根据百分位数的概念分析判断；对 ④ ：根据平均数、方差的性质分析判断.
15．（2023高二上·颍上开学考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.的外接圆半径为1，，若边上的一点满足，且，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为 的外接圆半径为，
由题意可得，
如图，因为 ， 可知，可得，
则，且，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，，
且与互补，则，可得，
则，由正弦定理可得，
所以 的面积为.
故答案为： .
【分析】根据题意利用正弦定理可得，在根据 和正弦定理可得，进而可得，，再利用面积公式运算求解.
16．（2021·淮北模拟）在棱长为 的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥 外接球表面积的最小值为　 　.
【答案】13π
【知识点】两角和与差的正切公式；球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】如下图所示，设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，则 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 ，
本题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，如下图所示：
设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，则 ，如下图所示：
设 ，则 ， ， ，
，
当且仅当 时， 取得最大值 ，
由 ，可得 ， ，
所以， 的最大值为 ，由正弦定理得 ，即 的最小值为3，
因此， ，
所以，三棱锥 外接球的表面积为 ，
故三棱锥 外接球的表面积的最小值为 。
故答案为：13π。
【分析】设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，则 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得圆柱的外接球半径，本题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，再利用勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，设 ，则 ， ， ，再利用两角差的正切公式结合均值不等式求出的最大值，再利用同角三角函数基本关系式求出 的最大值，再利用正弦定理求出 的最小值，再利用勾股定理求出2R的最小值，再利用球的表面积公式求出三棱锥 外接球的表面积的最小值。
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020高二上·中山月考）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ ，AB⊥AD，AB＝1．
（1）若AC＝ ，求 的面积；
（2）若∠ADC＝ ，CD＝4，求sin∠CAD．
【答案】（1）解：在 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋ BC，解得BC＝ ，
所以 的面积 ＝ AB·BC·sin∠ABC＝ ×1× × ＝ ．
（2）解：设∠CAD＝θ，
在 ACD中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，①
在 中，∠BAC＝ －θ，∠BCA＝π－ －( －θ)＝θ－ ，
由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，②
①②两式相除，得 ＝ ，
即4( sin θ－ cos θ)＝ sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝ ，即sin∠CAD＝ ．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而解一元二次方程求出BC的长，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积。
（2） 设∠CAD＝θ，在 ACD中，由正弦定理和角之间的关系得出 ＝ ① 和 ＝ ②， ①②两式相除， 整理得sin θ＝2cos θ ，再利用同角三角函数基本关系式 sin2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝ ，即sin∠CAD＝ 。
18．（2023高二上·颍上开学考）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点，求证：
（1）平面.
（2）平面平面.
（3）求直线和平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明：
（2）证明：
（3）解：
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】
(1)取CE中点M，连结MF，BM，
MF是△CDE的中位线，∴MF∥DE，，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴DE∥AB，又DE=2AB，∴AB∥MF，AB=MF，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，∵AF 平面BCE，BM 平面BCE，
∴AF//平面BCE；
(2)∵AB⊥平面ACD，AF 平面ACD，
∴AB⊥AF，∴四边形ABMF是矩形，∴BM⊥MF.
∵△ACD是正三角形，F是CD中点，∴CD⊥AF.
∵BM∥AF，∴CD⊥BM，
∵MF∩CD=F，MF 平面CDE，CD 平面CDE，
∴BM⊥平面CDE，∵BM 平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE；
（3）取线段DE的中点P，连接BP，
∵AB∥DP且AB=DP，
∴四边形ABPD是平行四边形，
∴AD∥BP，
则直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，
过点P作PN⊥CE，垂足为N，连结BN，
由（2）知平面BCE⊥平面CDE，又平面BCE∩平面CDE=CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为直线BP和平面BCE所成角的平面角.
设AB=1，则DE=AC=CD=AD=2，
∵DE⊥平面ACD，
∴DE⊥DC，
∵CD=DE，
∴，
∵PN⊥CE，EP=1，
∴，
∵四边形ABPD为平行四边形，
∴BP=AD=2，
∴，
故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为.
【分析】(1)根据题意可得AF∥BM，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意题意可证BM⊥平面CDE，结合面面垂直的判定定理分析证明；
(3)根据（2）可知PN⊥平面BCE，则∠PBN为直线BP和平面BCE所成角的平面角，分析运算即可.
19．（2023高二上·颍上开学考）俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求样本中数据落在的频率；
（2）求样本数据的第60百分位数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，样本中数据落在的频率为
（2）解：样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为
（3）解：与两组的频率之比为，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4.
所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，故所求概率
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图分析运算；
(2)根据题意结合百分位数的定义分析求解；
(3) 先根据分层抽样求各层人数，再利用列举法和古典概型运算求解.
20．（2023高二上·颍上开学考）已知，，设函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）解：.取，，解得，.
故函数的单调递增区间为，
（2）解：，则，故，.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换整理可得 ，结合正弦函数求单调区间；
(2)以 为整体，结合正弦函数的有界性分析运算.
21．（2023高二上·颍上开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若对，使得关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）解：由所给函数图象可知，，，即，所以，
又图像过点，所以，，解得，，
因为，所以当时，，故
（2）解：若对于，关于的不等式恒成立，
即对于，关于的不等式恒成立，
即对于，恒成立.当时，，
令时，为减函数，
所以当时，取得最小值为，即的最小值为，
故实数，所以的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用五点法求函数解析式；
(2)根据题意分析可得 对于，恒成立，换元令 ，结合基本不等式运算求解.
22．（2023高二上·颍上开学考）已知函数的图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得.
（2）解：易知的定义域为R，令，
因为函数及都在上单调递增，所以在上单调递增，
根据复合函数的性质，可知在上单调递增，
又因为是定义在R的奇函数，所以在R上单调递增.
（3）解：由题意，在上恒成立，
等价于在上恒成立，
则在]上恒成立.
令，显然是增函数，则.
，所以在上恒成立.
则，令，则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以所以，即，故的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用奇函数的定义分析求解；
(2)根据单调性的性质结合奇函数的对称性分析判断；
(3)由题意可得 在]上恒成立，换元， 分离常数结合基本不等式运算求解.
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