江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高二上册数学暑期调查试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·常熟开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：或，，， .
故答案为：C.
【分析】根据集合间的关系得，进而求.
2．（2023高二上·常熟开学考）已知命题：，，则的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，，的否定是， .
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定定义判断.
3．（2023高二上·常熟开学考）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、若，，，则或是异面直线，A错误；
B、若，，则或，B错误；
C、若，，，则或与相交不垂直或或，C错误；
D、若，，，又，由面面平行性质得，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据线线、线面、面面间的位置关系逐一判断选项.
4．（2020高三上·常熟月考）函数 在 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，
故 为 上的偶函数，故排除B．
又 ， ，排除C、D．
故答案为：A．
【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.
5．（2023高二上·常熟开学考）如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据向量加法减法运算求解．
6．（2023高二上·常熟开学考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： ， ，又 ，，
．
故答案为：A.
【分析】根据范围和，求出，在利用正弦的两角差公式求．
7．（2023高二上·常熟开学考）古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的切线的性质定理的证明；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线性质求出圆的半径，则球体建筑物的高度约为，结合二倍角公式和辅助角公式化简求解.
8．（2023高二上·常熟开学考）在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设若满足条件的四面体有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法；余弦定理的应用；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：取中点为，连接，
，， ，，
又二面角为直二面角，平面平面，平面，平面，
平面，，，
在由余弦定理得：，
，化简得 ，
满足条件的四面体有两个，关于的二次方程有两个正根，
，求得．
故答案为：D.
【分析】取中点为，连接，，结合题意得 ，所以平面，所以，
在利用余弦定理得：，化简得关于的二次方程有两个正根，再结合二次函数根的分布讨论求解的取值范围．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二上·常熟开学考）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、虚数不能比较大小，B错误；
C、，复数对应的点（-3，4）位于第二象限，C错误；
D、设，，，， 在复平面对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，D正确.
故答案为：ＡＤ.
【分析】AC根据复数的运算法则求解判断，B复数不能比较大小，D设，根据模的运算求得，进而判断.
10．（2023高二上·常熟开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得、、、事件丁包含的基本事件有、、、、有5个，，
A、，甲与乙不是对立事件，A错误；
B、甲、乙不能同时发生， 甲与乙是互斥事件，B正确；
C、，，丙与丁不相互独立，C错误；
D、，，甲与丁相互独立 D正确.
故答案为：BD.
【分析】先求出事件甲、乙、丙、丁对应的概率，再根据对立事件都概率和是否为1，互斥事件的概念，独立事件的概率公式判断选项.
11．（2023高二上·常熟开学考）若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．的最小正周期
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解： ， 关于直线对称，
又为奇函数，，是周期为4的周期函数，D正确；
A. 关于直线对称，是偶函数， A正确；
B.周期为4， 在上的单调性与在上单调性相同， 当时，，又为奇函数，，， 在上单调递增，B正确；
C. 关于直线对称，为奇函数， 也关于直线对称，在上单调性与在上单调性相反，即在上单调递减，C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由 得 关于直线对称，结合为奇函数，得是周期为4的周期函数，进而逐一分析选项.
12．（2023高二上·常熟开学考）如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．四棱锥外接球的半径为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；棱锥的结构特征；球内接多面体；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、点是正方体在侧面上的一个动点，又平面平面，点到平面的距离为定值2，
又为定值，是定值，A正确；
B、设，连接，由正方体的性质知平面，四棱锥外接球球心在直线上，
连接，
，，
设外接球半径为，则，求得，B正确；
CD、如图，以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
， ， ，
， ，得，又，，
，
的最大值为， 的最小值为 ，C错误；D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A即可判断；B设，连接，由正方体的性质知四棱锥外接球球心在直线上，进而分析求解外接球半径；CD以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，由得求得，进而求解 的最大值和最小值.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二上·常熟开学考）计算： ．
【答案】11
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： .
故答案为：11.
【分析】根据对数运算法则计算求解.
14．（2023高二上·常熟开学考）若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥表面积为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得圆锥的母线为，圆锥侧面展开图是圆心角为，圆锥的底面周长，圆锥的底面半径，圆锥的底面面积，
又圆锥侧面展开图面积，
这个圆锥表面积为 .
故答案为： .
【分析】由题意得圆锥的母线为，结合圆心角求出圆锥的底面周长，进而圆锥的底面半径，再分别求出圆锥侧面积和底面积即可．
15．（2023高二上·常熟开学考）请写出一个定义域不是，但值域为的奇函数： ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：正切函数，定义域为不是，但值域为也为奇函数.
故答案为： .
【分析】写出一个满足已知条件的函数即可.
16．（2023高一下·湖州期末）在锐角三角形ABC中，已知，则 ，的最小值是 .
【答案】3；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】 ，由正弦定理知，
，， 为锐角三角形， ，
，又，
，
当且仅当，即时取等号。
故答案为：3；
【分析】由已知条件先利用正弦定理将边化角，再利用余弦定理结合三角恒等变换求 ，利用第一问结合三角关系将三个角转化为一个角利用基本不等式求最小值。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·常熟开学考）已知复数．
（1）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1）解：在复平面内的对应点为，
因为点位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为；
（2）解：因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以，，，
由复数几何意义知：，，
所以，
即向量在向量上的投影向量的坐标为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】 (1)根据复数在复平面内的对应点位于第二象限的特征列方程求解；
(2)根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则求出向量和 ，再根据投影向量的公式求解向量在向量上的投影向量的坐标．
18．（2023高二上·常熟开学考）某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成组，按照下面分组进行统计分析：第组，第组，第组，第组，第组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者．
（1）根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第百分位数；
（2）若从位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第组中至多有一人被选中的概率．
【答案】（1）解：因为，，
所以第百分位数落在内，设其为，
则，
解得，
即第百分位数为；
（2）解：因为第，，组的频率之比为：：，
所以按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者，
则第组抽取人，记为，，，第组抽取人，记为，，第组抽取人，记为，
从位宣传使者中随机选取两人，所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中第组中至多有一人被选中的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个，
所以所求概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出小于90分的党员成绩所占比例和小于95分的党员成绩所占比例，得到第百分位数落在内，进而求解党员成绩的样本数据的第百分位数 ；
(2)根据比例利用分层样的求出选第3组党员人数，将第组抽取人，记为，，，第组抽取人，记为，，第组抽取人，记为， 利用列举法求解答案.
19．（2023高二上·常熟开学考）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求的解析式及单调减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．
【答案】（1）解：由题意可知，函数，
又因为函数为奇函数，所以可得，，
又，解得，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
可得周期，由可得．
故函数．
令，，
可得单调减区间为，．
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数．
由方程得或，
即或舍；
当时，，
所以或或或；
即方程有四个实数根，不妨设为，，，；
可得．
所以，
故所有根之和为．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简得 ，再根据正弦函数性质求其单调减区间；
(2)根据三角函数平移规则得 ，再根据三角函数值域和方程的根，得到所有根之和为 ．
20．（2023高二上·常熟开学考）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
【答案】（1）解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
（2）解：，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
．
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；解三角形的实际应用；向量加法的平行四边形法则
【解析】【分析】 (1) 过作，垂足为，在中，利用等面积法，求得，再由求解；
(2) 利用基底法由，求得，在利用，得，求出角，得到，再结合， 求，．
21．（2023高二上·常熟开学考）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（1）求证：；
（2）已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小．
【答案】（1）证明：，，，，
四边形是直角梯形，．
过点作，垂足为点，
则四边形为正方形．
，，
，
故AB，即．
又平面，平面，．
又，且，平面，平面，
又平面，；
（2）解：过点作于点，连接，
平面，平面，，
，平面，，
，，
又，，平面，
平面，
则为与平面所成的角．
设，则，，，
由得
解得或舍去，于是为的中点．
过点作于点，连接，
平面，平面，，
又，，平面，故AC平面，
又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，，
即为的中点，且此时二面角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1) 利用边的关系得，即，由平面，结合线面垂直性质得，从而证得平面，得到；
(2)过点作于点，连接，通过证明，得平面，所以为与平面所成的角，设，由求出的位置，进而求解二面角的大小．
22．（2023高二上·常熟开学考）已知函数过定点，且点在函数的图象上，．
（1）求函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数过定点，
的图像过点，，解得，
函数的解析式为；
（2）解：由可知，，
函数定义在区间上，
在区间上恒成立，可得．
可知，令，得，
设，，
则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，
开口向上，对称轴，
，解得，，
，的值为．
（3）解：由题只需，
，
又且，且，
的最大值可能是或，
，
可知，
，
设，在上单调递增，
又，，即，，
的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据指数的运算性质，代入点 进行计算求解；
(2)根据函数零点的定义和对数运算得 在 上有解，再利用二次函数的性质进行计算求解；
(3)将问题转化为，然后根据指数运算性质求解 ，进而分析求解的取值范围．
1 / 1江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高二上册数学暑期调查试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·常熟开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·常熟开学考）已知命题：，，则的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023高二上·常熟开学考）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．（2020高三上·常熟月考）函数 在 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023高二上·常熟开学考）如图，在平行四边形中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二上·常熟开学考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·常熟开学考）古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·常熟开学考）在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设若满足条件的四面体有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二上·常熟开学考）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．（2023高二上·常熟开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立
11．（2023高二上·常熟开学考）若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．的最小正周期
12．（2023高二上·常熟开学考）如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．四棱锥外接球的半径为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二上·常熟开学考）计算： ．
14．（2023高二上·常熟开学考）若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥表面积为 ．
15．（2023高二上·常熟开学考）请写出一个定义域不是，但值域为的奇函数： ．
16．（2023高一下·湖州期末）在锐角三角形ABC中，已知，则 ，的最小值是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·常熟开学考）已知复数．
（1）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
18．（2023高二上·常熟开学考）某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成组，按照下面分组进行统计分析：第组，第组，第组，第组，第组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者．
（1）根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第百分位数；
（2）若从位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第组中至多有一人被选中的概率．
19．（2023高二上·常熟开学考）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求的解析式及单调减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．
20．（2023高二上·常熟开学考）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
21．（2023高二上·常熟开学考）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（1）求证：；
（2）已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小．
22．（2023高二上·常熟开学考）已知函数过定点，且点在函数的图象上，．
（1）求函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：或，，， .
故答案为：C.
【分析】根据集合间的关系得，进而求.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，，的否定是， .
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定定义判断.
3．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、若，，，则或是异面直线，A错误；
B、若，，则或，B错误；
C、若，，，则或与相交不垂直或或，C错误；
D、若，，，又，由面面平行性质得，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据线线、线面、面面间的位置关系逐一判断选项.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，
故 为 上的偶函数，故排除B．
又 ， ，排除C、D．
故答案为：A．
【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.
5．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据向量加法减法运算求解．
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： ， ，又 ，，
．
故答案为：A.
【分析】根据范围和，求出，在利用正弦的两角差公式求．
7．【答案】B
【知识点】圆的切线的性质定理的证明；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线性质求出圆的半径，则球体建筑物的高度约为，结合二倍角公式和辅助角公式化简求解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法；余弦定理的应用；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：取中点为，连接，
，， ，，
又二面角为直二面角，平面平面，平面，平面，
平面，，，
在由余弦定理得：，
，化简得 ，
满足条件的四面体有两个，关于的二次方程有两个正根，
，求得．
故答案为：D.
【分析】取中点为，连接，，结合题意得 ，所以平面，所以，
在利用余弦定理得：，化简得关于的二次方程有两个正根，再结合二次函数根的分布讨论求解的取值范围．
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、虚数不能比较大小，B错误；
C、，复数对应的点（-3，4）位于第二象限，C错误；
D、设，，，， 在复平面对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，D正确.
故答案为：ＡＤ.
【分析】AC根据复数的运算法则求解判断，B复数不能比较大小，D设，根据模的运算求得，进而判断.
10．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得、、、事件丁包含的基本事件有、、、、有5个，，
A、，甲与乙不是对立事件，A错误；
B、甲、乙不能同时发生， 甲与乙是互斥事件，B正确；
C、，，丙与丁不相互独立，C错误；
D、，，甲与丁相互独立 D正确.
故答案为：BD.
【分析】先求出事件甲、乙、丙、丁对应的概率，再根据对立事件都概率和是否为1，互斥事件的概念，独立事件的概率公式判断选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解： ， 关于直线对称，
又为奇函数，，是周期为4的周期函数，D正确；
A. 关于直线对称，是偶函数， A正确；
B.周期为4， 在上的单调性与在上单调性相同， 当时，，又为奇函数，，， 在上单调递增，B正确；
C. 关于直线对称，为奇函数， 也关于直线对称，在上单调性与在上单调性相反，即在上单调递减，C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由 得 关于直线对称，结合为奇函数，得是周期为4的周期函数，进而逐一分析选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；棱锥的结构特征；球内接多面体；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、点是正方体在侧面上的一个动点，又平面平面，点到平面的距离为定值2，
又为定值，是定值，A正确；
B、设，连接，由正方体的性质知平面，四棱锥外接球球心在直线上，
连接，
，，
设外接球半径为，则，求得，B正确；
CD、如图，以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
， ， ，
， ，得，又，，
，
的最大值为， 的最小值为 ，C错误；D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A即可判断；B设，连接，由正方体的性质知四棱锥外接球球心在直线上，进而分析求解外接球半径；CD以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，由得求得，进而求解 的最大值和最小值.
13．【答案】11
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： .
故答案为：11.
【分析】根据对数运算法则计算求解.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得圆锥的母线为，圆锥侧面展开图是圆心角为，圆锥的底面周长，圆锥的底面半径，圆锥的底面面积，
又圆锥侧面展开图面积，
这个圆锥表面积为 .
故答案为： .
【分析】由题意得圆锥的母线为，结合圆心角求出圆锥的底面周长，进而圆锥的底面半径，再分别求出圆锥侧面积和底面积即可．
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：正切函数，定义域为不是，但值域为也为奇函数.
故答案为： .
【分析】写出一个满足已知条件的函数即可.
16．【答案】3；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】 ，由正弦定理知，
，， 为锐角三角形， ，
，又，
，
当且仅当，即时取等号。
故答案为：3；
【分析】由已知条件先利用正弦定理将边化角，再利用余弦定理结合三角恒等变换求 ，利用第一问结合三角关系将三个角转化为一个角利用基本不等式求最小值。
17．【答案】（1）解：在复平面内的对应点为，
因为点位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为；
（2）解：因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以，，，
由复数几何意义知：，，
所以，
即向量在向量上的投影向量的坐标为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】 (1)根据复数在复平面内的对应点位于第二象限的特征列方程求解；
(2)根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则求出向量和 ，再根据投影向量的公式求解向量在向量上的投影向量的坐标．
18．【答案】（1）解：因为，，
所以第百分位数落在内，设其为，
则，
解得，
即第百分位数为；
（2）解：因为第，，组的频率之比为：：，
所以按比例分配的分层抽样的方法在第，，组共选取人作为企业“二十大精神”的宣传使者，
则第组抽取人，记为，，，第组抽取人，记为，，第组抽取人，记为，
从位宣传使者中随机选取两人，所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中第组中至多有一人被选中的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个，
所以所求概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出小于90分的党员成绩所占比例和小于95分的党员成绩所占比例，得到第百分位数落在内，进而求解党员成绩的样本数据的第百分位数 ；
(2)根据比例利用分层样的求出选第3组党员人数，将第组抽取人，记为，，，第组抽取人，记为，，第组抽取人，记为， 利用列举法求解答案.
19．【答案】（1）解：由题意可知，函数，
又因为函数为奇函数，所以可得，，
又，解得，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
可得周期，由可得．
故函数．
令，，
可得单调减区间为，．
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数．
由方程得或，
即或舍；
当时，，
所以或或或；
即方程有四个实数根，不妨设为，，，；
可得．
所以，
故所有根之和为．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简得 ，再根据正弦函数性质求其单调减区间；
(2)根据三角函数平移规则得 ，再根据三角函数值域和方程的根，得到所有根之和为 ．
20．【答案】（1）解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
（2）解：，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
．
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；解三角形的实际应用；向量加法的平行四边形法则
【解析】【分析】 (1) 过作，垂足为，在中，利用等面积法，求得，再由求解；
(2) 利用基底法由，求得，在利用，得，求出角，得到，再结合， 求，．
21．【答案】（1）证明：，，，，
四边形是直角梯形，．
过点作，垂足为点，
则四边形为正方形．
，，
，
故AB，即．
又平面，平面，．
又，且，平面，平面，
又平面，；
（2）解：过点作于点，连接，
平面，平面，，
，平面，，
，，
又，，平面，
平面，
则为与平面所成的角．
设，则，，，
由得
解得或舍去，于是为的中点．
过点作于点，连接，
平面，平面，，
又，，平面，故AC平面，
又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，，
即为的中点，且此时二面角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1) 利用边的关系得，即，由平面，结合线面垂直性质得，从而证得平面，得到；
(2)过点作于点，连接，通过证明，得平面，所以为与平面所成的角，设，由求出的位置，进而求解二面角的大小．
22．【答案】（1）解：函数过定点，
的图像过点，，解得，
函数的解析式为；
（2）解：由可知，，
函数定义在区间上，
在区间上恒成立，可得．
可知，令，得，
设，，
则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，
开口向上，对称轴，
，解得，，
，的值为．
（3）解：由题只需，
，
又且，且，
的最大值可能是或，
，
可知，
，
设，在上单调递增，
又，，即，，
的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据指数的运算性质，代入点 进行计算求解；
(2)根据函数零点的定义和对数运算得 在 上有解，再利用二次函数的性质进行计算求解；
(3)将问题转化为，然后根据指数运算性质求解 ，进而分析求解的取值范围．
1 / 1
