3.2.1 双曲线及其标准方程 第1课时 课件（共51张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 第1课时 课件（共51张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-16 22:21:10 | ||
图片预览
文档简介
(共51张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
第 3 章圆锥曲线的方程
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.
一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 下面我们探究一下这个问题.
问题1.在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
当点M靠近定点F1时
|MF2|- |MF1|=|AB|
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时
|MF1|- |MF2|= |AB|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，
则双曲线定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c，
则点M 的轨迹是双曲线.
F1
F2
M
追问1.定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
F1
F2
M
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
追问2.定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0
(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
F1
F2
M
F1
F2
M
F1
F2
M
F1
F2
M
x
y
O
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)。
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
F1
F2
M
y
O
x
|MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|
F1
F2
M
x
y
O
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，
我们称方程②为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么
双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是
这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
复习导入
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
02 双曲线焦点三角形
PART ONE
焦点三角形
焦点三角形
例1.设双曲线＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上. 若∠F1PF2＝90°，
求△F1PF2的面积．
解： 由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，
如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得＋－2r1r2＝16.
∵∠F1PF2＝90°，
∴＋＝4c2＝4×()2＝52.
∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9.
焦点三角形
类题通法
双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，
所以有
(1)定义：|r1－r2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝＋－2r1r2cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
焦点三角形
焦点三角形
练习2.已知双曲线 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a-m
C.4a+2m D.4a-2m
解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
C
焦点三角形
03 求轨迹方程
PART ONE
轨迹方程
轨迹方程
轨迹方程
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
轨迹方程
例3. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF= ,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
轨迹方程
解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.
轨迹方程
轨迹方程
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程．
轨迹方程
04 求最值
PART ONE
求最值
C
求最值
求最值
求最值
温故知新
说 明：
双曲线定义
M点的轨迹是什么？
M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；
（1）
（2）
焦点F2 所对应的一支
思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？
不加会得到什么？
探究一——焦点三角形问题
拓展探究
常用技巧
结论牢记
同学们试一下吧，发挥焦点三角形的魅力吧！！
例2、由双曲线 上的一点P与左、右两焦点
构成 ，求 的内切圆与边 的切点坐标。
深度学习
|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a． ①
又|NF1|＋|NF2|＝2c． ②
∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝ a＋c－c＝a＝3．
故切点N的坐标为（3，0）．
根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（－3，0）．
【解】由双曲线方程知a＝3，b＝2，
如下图，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a．
根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得
由①②得
另解：|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a
由定义，N在以F1，F2为焦点的双曲线C
上，又在直线F1F2上，从而确定N的位置
你发现了什么结论？能证明吗？
深度学习
结论:若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点．
例3：双曲线C：-=1, 点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线C在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为 ( )
A. 8 B. 10 C. 4+3D. 3+3
解：双曲线的方程为-=1.一个焦点为F(0,-),
设双曲线的上焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,
当P点在第一象限时,|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10.故选B
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
备选例题
备选例题
解析:F1(-5,0),N(5,0)分别是双曲线的左右焦点,PF1与圆F1有两个交点,距离P较远的那个点满足|PM|-|PN|最大,此时|PM|-|PN|=|PF1|-|PN|+2.
=2a+2=2×3+2=8,故选D.
3.本节所用到的数学思想有：
数形结合思想 分类讨论思想
小结反思、升华素养
3.2.1双曲线及其标准方程
第 3 章圆锥曲线的方程
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.
一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 下面我们探究一下这个问题.
问题1.在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
当点M靠近定点F1时
|MF2|- |MF1|=|AB|
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时
|MF1|- |MF2|= |AB|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，
则双曲线定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c，
则点M 的轨迹是双曲线.
F1
F2
M
追问1.定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
F1
F2
M
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
追问2.定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0
(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
F1
F2
M
F1
F2
M
F1
F2
M
F1
F2
M
x
y
O
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)。
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
F1
F2
M
y
O
x
|MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|
F1
F2
M
x
y
O
问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，
我们称方程②为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么
双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是
这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
复习导入
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a (a
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
02 双曲线焦点三角形
PART ONE
焦点三角形
焦点三角形
例1.设双曲线＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上. 若∠F1PF2＝90°，
求△F1PF2的面积．
解： 由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，
如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得＋－2r1r2＝16.
∵∠F1PF2＝90°，
∴＋＝4c2＝4×()2＝52.
∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9.
焦点三角形
类题通法
双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，
所以有
(1)定义：|r1－r2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝＋－2r1r2cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
焦点三角形
焦点三角形
练习2.已知双曲线 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a-m
C.4a+2m D.4a-2m
解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
C
焦点三角形
03 求轨迹方程
PART ONE
轨迹方程
轨迹方程
轨迹方程
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
轨迹方程
例3. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF= ,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
轨迹方程
解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.
轨迹方程
轨迹方程
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程．
轨迹方程
04 求最值
PART ONE
求最值
C
求最值
求最值
求最值
温故知新
说 明：
双曲线定义
M点的轨迹是什么？
M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；
（1）
（2）
焦点F2 所对应的一支
思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？
不加会得到什么？
探究一——焦点三角形问题
拓展探究
常用技巧
结论牢记
同学们试一下吧，发挥焦点三角形的魅力吧！！
例2、由双曲线 上的一点P与左、右两焦点
构成 ，求 的内切圆与边 的切点坐标。
深度学习
|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a． ①
又|NF1|＋|NF2|＝2c． ②
∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝ a＋c－c＝a＝3．
故切点N的坐标为（3，0）．
根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（－3，0）．
【解】由双曲线方程知a＝3，b＝2，
如下图，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a．
根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得
由①②得
另解：|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a
由定义，N在以F1，F2为焦点的双曲线C
上，又在直线F1F2上，从而确定N的位置
你发现了什么结论？能证明吗？
深度学习
结论:若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点．
例3：双曲线C：-=1, 点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线C在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为 ( )
A. 8 B. 10 C. 4+3D. 3+3
解：双曲线的方程为-=1.一个焦点为F(0,-),
设双曲线的上焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,
当P点在第一象限时,|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10.故选B
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
备选例题
备选例题
解析:F1(-5,0),N(5,0)分别是双曲线的左右焦点,PF1与圆F1有两个交点,距离P较远的那个点满足|PM|-|PN|最大,此时|PM|-|PN|=|PF1|-|PN|+2.
=2a+2=2×3+2=8,故选D.
3.本节所用到的数学思想有：
数形结合思想 分类讨论思想
小结反思、升华素养