天津市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题
1-5CDABC 6-9ABDB
二、填空题
10．3 11． 12．x=-2或3x+4y+2=0
13．8 14． 15．6
16．（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 解得： -------4分
所以圆的标准方程为.--------5分
（2）因为圆到直线的距离为
，--------6分
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.--------9分
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为5
根据点到直线的距离公式得：，解得.-----12分
所以直线方程为.--------14分
17．（1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
易知平面的一个法向量为，故，
则，
又平面，故平面．--------5分
（2）易知平面的一个法向量为，--------6分
设平面的法向量为，
且，，
则，令，则，，，-------8分
设平面与平面夹角为，易知为锐角，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．--------10分
（3）设平面的法向量为，且，
则，令，则，，故，----12分
设点到平面距离为，．--------15分
18.（1）由题意知离心率，所以，即.
以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有，
所以，故椭圆的方程为.----------------------4分
（2）设直线的方程为--------------------5分
由，消去得，
∴， -------------8分
-----------------------------------10分
，解得.------------------------------------------------11分
∴，---------------------------------------------------------12分
所以，
-----------------13分
点到直线的距离，----------------------------------------14分
所以的面积-------------------------------15分
19.
（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，
直线平面，---------------------------------------------1分
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
---------------2分
依题意易得是平面的一个法向量，---------3分
又，，-----------------------------------4分
又直线平面，平面；-------------------5分
（2），，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
----------------------7分
设为平面的一个法向量，
则，即，令 可得，
--------------------9分
，二面角的正弦值为；
------------------10分
（3）设，则，又，--------11分
，即，----------------------12分
，解得或（舍去）．---------------------14分
故所求线段的长为．-----------------------------------------------15分
20.（1）令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，，
所以椭圆C的标准方程为.--------------------4分
（2）显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则，
由消去x并整理得：，----------6分
则，，--------------------7分
由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足，--------------------8分
而
，
解得，与矛盾，
所以不存在实数k使成立.--------------------10分
（3）显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，，
由（2）得，设，--------------------11分
有，于是得
因此有，，-------------------13分
，--------------------14分
显然，当且仅当时取等号，
因此，解得，--------------------15分
则，
所以的取值范围是.-------------------16分天津市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
第I卷（共45分）
一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）
1．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）．
A． B．
C． D．
2．直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．1或 B．
C．1 D．
已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（ ）
B．
C．
D．
4．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线过点和点Q(2,2,0)，则点到的距离为（ ）
A．3 B．
C． D．
6．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若圆上有两个动点A,B,满足,点M在直线2x+y-5=0上动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．设，向量，且，则_________.
11．设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围_________.
12．若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为_________.
13．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为_________.
14．在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率_________.
15．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为_________.
三、解答题
16.（本小题满分14分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
（1）求圆心为的圆的标准方程；
（2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
（3）若过点作圆的切线，求该切线方程．
17.（本小题满分15分）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积.
19．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面;
（2）求二面角的正弦值;
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
20.（本小题满分16分）如图，已知椭圆G：的左、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围．
