1.4充分条件与必要条件（第一课时 ） 教学设计（表格式）

课题 充分条件与必要条件（1）
教学目标
教学目标： 1. 初步理解充分条件、必要条件的含义； 2. 通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系； 3. 体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养. 教学重点：理解充分条件、必要条件的含义 教学难点：理解必要条件及充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
7 分钟 复习引入 一．教师与学生一起回顾初中阶段所学的与命题相关的知识 1. 命题：初中阶段称判断一件事情的句子为命题. 数学中的命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 2. 真命题与假命题：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题； 3. 数学命题的一般形式：“若 p ，则 q ”的形式是数学命题的一般形式.其中称 p 为命 题的条件， q 称为命题的结论. 二．提出问题：下列“若p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1） 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2） 若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3） 若x2 4x + 3 = 0 ，则 x = 1 ； （4） 若平面内两条直线 a 和b 均垂直于直线 l ，则 a / /b. 教师引导学生回顾中学相关知识，进行如下分析： （1） 由菱形的判定定理可知命题（1）是真命题. 追问：对角线互相垂直的平行四边形是否一定是菱形？结论是肯定的；即平行四 边形的对角线只要满足互相垂直的条件，则这个平行四边形一定是菱形； （2） 举一个反例：如果有两个三角形，第一个三角形三边分别为 3 ，4 ，5 ，周长为 12；第二个三角形为等边三角形，边长为 4 ，周长也为 12 ，这两个三角形显然 不全等，命题（2）是假命题； 说明：两个三角形周长相等并不一定能推出这两个三角形全等的结论； （3）解方程x2 4x + 3 = 0 ，得 x = 1 或x = 3 ，即若 x2 4x + 3 = 0 ，则一定有 x = 1 或 x = 3 的结论，所以命题（3）是假命题； （4）由垂直定义可知直线a 和b 与直线l 夹角都是 90。，由同位角相等、内错角相等或 者同旁内角互补一定可以证明a / /b ，所以命题（4）是真命题.
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学生运用自己所学的知识分析，判断.
3 分钟 定义概念 理解概念 一．定义概念： 一般地，“若 p ，则q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，称由 p 可以推 出q ，记作 p q ，且称p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件. “若 p ，则 q ”为假命题，是指由 p 不能通过推理得出 q ，称 p 不是 q 的充分条 件， q 不是 p 的必要条件. 二．理解概念 1.教师引导学生结合具体问题理解概念的含义； 结合上面的思考题，命题（1）（4）是真命题. 命题（1）条件“平行四边形的对角线互相垂直 ”是结论“这个平行四边形是菱形 ”的 充分条件，结论“这个平行四边形是菱形 ”是条件“平行四边形的对角线互相垂直 ” 的必要条件； 命题（4）条件“平面内两条直线 a 和b 均垂直于直线 l ”是结论“ a / /b ”的充分条件， 结论“ a / /b ”是条件“平面内两条直线 a 和b 均垂直于直线 l ”的必要条件； 2.关于“必要条件 ”的理解 当“若p ，则 q ” 形式的命题是真命题时，称 p 是q 的充分条件，这点学生易于 理解；但“ q 是 p 的必要条件 ”这点学生可能会产生困惑，“为什么命题的结论又成为 条件了呢？ ”对此问题做如下分析： p 和q 是两个语句，对于“若 p ，则 q ”形式的命题，无论其是真命题还是假命 题，都称 p 为命题的条件， q 为命题的结论. 当该命题为真命题时，即由 p 能推出 q ，也就是若 p 成立，起码 q 成立；如果 q 不 成立，那么p 也就不成立了，即 q 成立是p 成立的必不可少的条件，称 q 是 p 的必要 条件，它刻画了p 和 q 之间的逻辑关系. 3 对“充分 ”“必要 ”的进一步理解 学生结合具体命题，理解充分条件和必要条件的含义. 说明： 日常生活中“肯定 ”“足以 ”等也用于表达“充分 ”的含义；“至少 ”“起码 ”等 用于表达“必要 ”的含义.
13 分 钟 举例分析 例 1 下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是 q 的充分条件？ （1） 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2） 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3） 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4） 若x2 = 1 ，则 x = 1 ； （5） 若 a = b ，则 ac = bc ； （6） 若x, y 都为无理数，则xy 为无理数； 教师引导学生分析、判断： （1） 由平行四边形的判定定理可知，四边形满足“两组对角分别相等 ”的条件就一 定是平行四边形，所以“ 四边形的两组对角分别相等 ”是 “这个四边形是平行 四边形 ”的充分条件；当然判定一个四边形是平行四边形还可以通过其他方式， 例如两组对边分别相等，即“ 四边形是平行四边形 ”的充分条件不唯一； （2） 由三角形相似的判定定理可知，三边成比例的两个三角形一定是相似三角形， 所以“两个三角形的三边成比例 ”是 “这两个三角形相似 ”的充分条件，两个 三角形相似也可以通过其他形式判定，即“两个三角形相似 ”的充分条件也不 唯一；
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（3） 由菱形的性质定理可知，菱形的对角线一定互相垂直，所以“ 四边形为菱形 ” 是“这个四边形的对角线互相垂直 ”的充分条件；但“ 四边形的对角线互相垂 直 ”的充分条件并不唯一； （4） 若x2 = 1 ，解得 x = 1 ，即由 x2 = 1 一定有x = 1 ，而不是 x = 1 ，因此“x2 = 1 ” 不是 x = 1 的充分条件； （5） 由等式的性质若 a = b 一定有 ac = bc ，所以“ a = b ”是“ ac = bc ”的充分条 件；但对于任意实数 a, b ，且 a b ，若 c = 0 ，则 ac = bc ，可见“ ac = bc ”的充分 条件也是不唯一的. （6）可以举一个反例：若 x = y = ， x, y 都为无理数， xy = 2 ， x, y 的乘积不是 无理数，即由“ x, y 为无理数 ”推不出“ xy 为无理数 ”，因此“ x, y 为无理数 ”不是 “ xy 为无理数 ”的充分条件. 学生在教师的引导下，独立思考，同伴交流，通过具体问题理解充分条件的含义. 反思小结：“若 p ，则 q ”形式的命题是真命题，命题中的 p 是 q 的充分条件，但 q 的 充分条件不一定是惟一的. 例 2 下列“若p ，则 q ”形式的命题中，哪些命题中的 q 是p 的必要条件？ （1） 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2） 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3） 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； （4） 若 x = 1 ，则 x2 = 1 ； （5）若 ac = bc ，则 a = b ； （6）若 xy 为无理数，则 x, y 都为无理数. 教师引导学生基于例 1 的分析，思考例 2. （1）由平行四边形的性质定理可知，平行四边形两组对角一定分别相等，所以“ 四边 形的两组对角分别相等 ”是 “这个四边形是平行四边形 ”的必要条件，两组对角如果 不满足分别相等的条件，则这个四边形一定不是平行四边形；同时，“四边形是平行四 边形 ” 的必要条件并不唯一，例如“ 四边形是平行四边形 ”的必要条件也可以是“两 组对边分别相等 ”或“两条对角线互相平分 ”等等； （2）由三角形相似的性质定理可知，两个相似三角形一定是三边成比例，所以“两个 三角形的三边成比例 ”是 “这两个三角形相似 ”的必要条件，如果两个三角形三边不 成比例，则这两个三角形不相似；同样，“两个三角形相似 ”的必要条件也不唯一，“对 应角相等 ”也可以是“两个相似三角形 ”的必要条件； （3）由菱形的判断定理可知，对角线互相垂直的平行四边形一定是菱形，而对角线互 相垂直的四边形，如图所示不是菱形，所以“ 四边形为菱形 ”不是“这个四边形的对 角线互相垂直 ”的必要条件；
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（4）由x = 1 一定有x2 = 1 ，因此“ x2 = 1 ”是“ x = 1 ”的必要条件；“x3 = 1 ”也是 “ x = 1 ”的必要条件； （5） 由等式的性质，若 ac = bc 即 c (a -b) = 0 不一定有 a = b ，所以“ a = b ”不是 “ ac = bc ”的必要条件； （6）可以举一个反例：若 xy = ，即 x, y 的乘积是无理数， x, y 的取值可以是 x = 1，y = 即 x, y 不都为无理数，即由“ xy 为无理数 ”推不出“ x, y 都为无理数 ”， 因此“ x, y 都为无理数 ”不是“ xy 为无理数 ”的必要条件. 反思小结：“若 p ，则 q ”形式的命题是真命题，命题中的 q 是 p 的必要条件，但 p 的 必要条件不一定是惟一的. 教师引导学生比较例 1 与例 2，进一步理解充分条件和必要条件的含义，体会性质定理 与必要条件、判定定理与充分条件的关系，具体说明： 1. 命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 ”是平行四边形 的判定定理，其中“ 四边形的两组对角分别相等 ”是判定一个四边形是平行四边形 的充分条件， 由此体会判定定理与充分条件之间的关系； 2. 命题“若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 ”是平行四边形 的性质定理，其中“两组对角分别相等 ” 是平行四边形的性质之一，是一个四边 形是平行四边形的必要条件，由此体会性质定理与必要条件之间的关系；
3 分钟 巩固提升 象这样的例子还有很多，学生可再通过具体的例子不断体会加深理解. :练习 1：命题“对顶角相等 ”写成“若 p ，则 q ”的形式为“若两个角是对顶角，则 这两个角相等 ”这是对顶角的性质定理，“两个角相等 ”是刻画两个角是对顶角的必须 满足的属性，如果不满足这个属性，这两个角就不是对顶角，“两个角相等 ”是“两个 角是对顶角 ”的必要条件； 但是“若两个角相等，则这两个角是对顶角 ”是假命题，“两个角相等 ”不足以推 出“这两个角是对顶角 ”的结论，“两个角相等 ”不是“这两个角是对顶角 ”的充分条 件. 练习 2：“若平行四边形对角线相等，则这个平行四边形是矩形 ”这是矩形的判定定理， 在对角线相等的条件下一定能推出平行四边形为矩形的结论，“对角线相等 ”是使平行 四边形成为矩形的一个因素，当然改变这个因素也可以使平行四边形成为矩形. “若平行四边形有一个角是直角，则这个平行四边形是矩形 ”也是一个矩形的判 定定理，说明使平行四边形成为矩形的充分条件不唯一.
2 分钟 课堂小结 1. 理解充分条件、必要条件的含义； 2. 体会充分条件与判定定理、必要条件与性质之间的关系； 3. 运用充分条件、必要条件的方式梳理初中数学的重要知识，理解其逻辑关系. : 回顾本节课的学习，基于初中对命题的认识，当“若 p ，则q ” 形式的命题是真 命题时，称p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件.在新的语境下，用充分条件和必要 条件的知识重新审视、分析一些数学命题，不仅对命题的条件与结论的逻辑关系更加 清晰，同时也很好地梳理了初中的一些重要数学知识，这对从初中到高中数学学习的 顺利过渡是非常必要的.
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在理解抽象概念的过程中，采用不断举例的方式，这种调用原有的学习经验和知 识储备的学习方式是非常有效的，正是在这样的学习思考中，逐步提升数学抽象和逻 辑推理的学科素养。
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