1.4充分条件与必要条件（第二课时）教学设计

课题 充分条件与必要条件（2）
教学目标
教学目标： 1、 理解什么是充要条件，理解充要条件的含义； 2、 通过对初中定理的再认识，理解充要条件和数学定义之间的关系； 3、 体会常用逻辑用语在表达数学内容上的作用，逐步提升逻辑推理素养. 教学重点：理解充要条件的含义，体会充要条件与充分条件，充要条件与必要条件的关 系. 教学难点：理解充要条件与数学定义之间关系，能用数学语言证明充要条件.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
5 分 钟 引入 教师：提出思考问题，下列“若p ，则 q ”形式的命题，哪些命题与它们 的逆命题都是真命题？ 1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则 这两个三角形全等 ; (
2、若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等
;
)3、若一元二次方程2 + + = 0 有两个不相等的实数根，则 < 0; 4、若 ∪ 是空集，则 A 与 B 均是空集. 学生先认识逆命题，再在教师引导下将命题拆解为语句 p 与语句 q，将原 命题写为“若p ，则 q ”，逆命题写为“若 q ，则p ”的形式，并判断原命题和 逆命题的真假.学生思考，阐述自己的认识.并给出判断依据，得出结论.
2 分 钟 概念 教学 通过思考题，教师引导学生发现命题 1、4 的原命题和逆命题都是真命题. 在此基础上理解什么是充要条件，总结得出充要条件的概念. 定义：如果“若p ，则 q ”和它的逆命题“若 q ，则p ”均是真命题，即 既有 , 又有 就记作 . 读作等价于 . 此时 p 既是 q 的充分 条件，也是 q 的必要条件，我们说p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件.
5 例 3：下列各命题中，哪些p 是 q 的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； （2）:两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）: > 0 ，: > 0 ， > 0；
分 钟 概念 解读 （4）: = 1 是一元二次方程2 + + = 0 的一个根， q: + + = 0 ≠ 0 . 对于命题 1，由于四边形的对角线互相垂直平分只能推出四边形是菱形， 不能推出四边形是正方形，所以 , 所以p 不是 q 的充要条件；p 是 q 的 充分不必要条件. 对于命题 2，两个三角形相似，可以由相似三角形性质定理推出两个三角 形三边成比例.反之，由两个三角形三边成比例也可以推出两个三角形相似， 这是相似三角形的判定定理，所以命题 2 中 p 是 q 的充要条件. 对于命题 3 : 由 > 0 ，不仅能推出 > 0 时 > 0 ，还可以推出 ＜0 时 ＜0 ，所以 , p 不是 q 的充要条件；p 是 q 的必要不充分条件. 对于命题 4， = 1 是一元二次方程2 + + = 0 的一个根，将 = 1 代入方程得到 + + = 0 ≠ 0 ； 反之如果 + + = 0 ≠ 0 那么当 = 1 时一定能够使一元二次方程2 + + = 0 成立.所以p 是 q 的充要条 件. 注意：通过例题，引导学生总结，判断p 是 q 的充要条件，需要我们判 断命题是否既有 , 又有 .所以我们既要判断“若p ，则 q ”是否为 真，又要判断“若 q，则p ”是否为真. , , p 是 q 的充要条件； , , p 是 q 的充分不必要条件； , , p 是 q 的必要不充分条件； , , p 是 q 的既不充分也不必要条件.
3 分 钟 巩固 练习 练习：下列各组命题中，p 是 q 的什么条件？（请用“充分不必要条件 ”，“必 要不充分条件 ”，“充要条件 ”，“既不充分也不必要条件 ”回答） 三一 x c；4 ≥ 0; ：: 2 . 问题 1 中由于语句p 不能推出语句 q ，语句 q 可以推出语句p ，所以p 是 q 的必要不充分条件； 问题 2 中由于语句p 能推出语句 q ，语句 q 也可以推出语句p ，所以p 是 q 的充要条件； 问题 3 由于语句p 不能推出语句 q ，语句 q 不能推出语句p ，所以p 是 q 的既不充分也不必要条件； 问题 4 由于语句p 能推出语句 q ，语句 q 不能推出语句p ，所以p 是 q 的 充分不必要条件.
8 分 钟 探究 思考 提问学生：你能给出“ 四边形是平行四边形 ”的充要条件吗？ 学生思考并回答. 注意： 通过问题，结合以往的学习经验，发现“ 四边形的两组对边分别平行 ”， “ 四边形的一组对边平行且相等 ”，“四边形的两组对边分别相等 ”，“四边形 的对角线互相平分 ”，均是“ 四边形是平行四边形 ”的充要条件.说明充要条 件并不唯一. 上面四条都可以作为平行四边形的定义，而这些新的定义方式， 分别从不同的侧面刻画了平行四边形.使学生进一步理解定义与充要条件之 间的关系.
8 分 能力 提升 例 4： 已知圆 O 的半径为 , 圆心 O 到直线的距离为 .
钟 求证： = 是直线与圆 O 相切的充要 条件. 分析：证明分为两个部分，我们把充分 性的证明和必要性的证明分开.这样便于理 清证明思路. 设 p: = , q:直线与圆 O 相切. （1）先来证明充分性：如图，做 ⊥ 于点 P，则= .若 = , 则点 P 在圆 O 上.在直线上任取一点 Q（异于点 P），连接 OQ.在直角三角形 OPQ 中， OQ＞OP= .所以，除点 P 外直线上的点都在圆 O 外部，即直线与圆 O 仅有一 个公共点 P，所以直线与圆 O 相切. （2）再来证明必要性：若直线与圆 O 相切，不妨设切点为 P，则 ⊥ . 因此 = = . 综合（1）（2）可得， = 是直线 l 与圆 O 相切的充要条件. 注意： 通过例题，学习充要条件的证明方法，要证明两个命题是否为充要条件 关系，需要我们将问题分为充分性的证明和必要性的证明两个部分分别进行， 这样既有利于思考清晰，又有利于书写清楚.结合实际问题进一步体会充要条 件的含义. 在解决问题的过程中注意指导学生学习数学语言的表达方法，进一步强 调将命题拆分为“若p ，则 q ”和它的逆命题“若 q ，则p ”的形式再判断真 假.同时认识到充要条件是进行等价转化的机遇.
1 分 钟 总结 新知 最后我们一起来总结一下本节课的学习内容： 1、对于语句p 和语句 q ，如果 , , 那么p 是 q 的充要条件； 2、判断充要条件的过程是将原命题改写成逆命题，再判断原命题和逆命 题是否为真； 3、证明充要条件要关注两个方面，既要证明充分性，又要证明必要性； 4、体会充要条件和定义间的关系 ; 5、认识到在推理证明中充要条件是进行等价转化的重要机遇.