2.1等式性质与不等式性质 第二课时 教学设计（表格式）

课题 等式性质与不等式性质（2）
教学目标
教学目标： 1.类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，初步掌握不等式的基本性质； 2.通过梳理等式基本性质中蕴含的思想方法，体会运算中的不变性在研究不等式中的 作用； 3.在利用不等式的性质证明一些简单命题的过程中，发展学生数学运算和数学推理素 养。 教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；探究不等式的基本性质及证 明. 教学难点：类比等式的基本性质及其思想方法，证明不等式的基本性质
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 一 .确定 研究内容， 明确研究 方法 二．复习等 导入语：同学们大家好，通过上节课的学习，我们知道现实世 界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式 ”和 “不等式 ”表达这两类关系。上节课我们提到解不等式要用不等式 的性质，不等式的性质到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不 等式的性质。既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我 们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不 等式的性质。好，我们一起走进“等式性质与不等式性质 ”。 问题 1：请你回忆一下等式都有哪些性质呢？
5 分钟 式性质，梳 理 思 想 方 法 三．探究不 等 式 的 性 质，体会类 性质 1：如果 a=b,那么 b=a . 性质 2：如果 a=b,b=c,那么 a=c . 【师生活动】学生思考得出，但不太容易。教师讲解等式 的这两条性质，我们无意识地在使用，但说不出来，因为 它们太显然了，是相等关系本身蕴含的，是它自身的特性。 性质 3：如果 a=b,那么a ± c = b ± c . 性质 4：如果 a=b,那么 ac = bc . a b = 性质 5：如果 a=b, c 0 ,那么 c c . 【师生活动】这三条性质学生是比较容易得到的。教师讲 解这 3 条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减、 乘、除同一个数，等式仍然程成立。这 3 条性质反应了相 等关系在运算中保持不变性的特点。并且，性质 3 中减法 可以看成加法，即同时加-c 。性质 5 中的除法可以看成乘 1 法，即同时乘 c .高中数学加减乘除的运算更趋于一般性， 所以可以将其合并。由于数学的基本运算有加法和乘法， 所以这些性质可称为等式的基本性质，数学基本运算可派 生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质。 问题 2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？ 【师生活动】学生思考总结，发现等式的基本性质的方法 有“相等关系自身的特点 ”和“相等关系对运算保持不变 ”， 教师强调：这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想 方法。 问题 3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的 性质，现在，你打算如何研究不等式的性质？
比 探 究 方 法 【师生活动】研究不等式的性质可类比发现等式性质及其 蕴含的思想方法 追问：从什么视角来研究不等式的性质？ 从不等式的“ 自身 ”和“运算 ”两个视角研究不等式的 基本性质 问题 4：类比等式的基本性质蕴含你的“ 自身特性 ”的思想方法， 你能猜想并证明不等式的基本性质吗？ 性质 1：如果 a > b ,那么b < a ; 如果b < a ,那么 a > b . 即： a > b b < a . 【师生活动】学生类比得到性质 1. 追问 1：你打算如何证明？ （1） 运用数轴说明 a,b 的大小关系，此方法是从几 何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮 助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特 性 ”，但数学结论要从逻辑推理角度进行严格的 证明，能否进行证明？ （2）目前只能用两个数学大小关系的基本事实，别无 他法，学生分析。 追问 2：此性质与等式性质 1 有何异同？ 不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调 追问 3：你还有什么结论？通过性质 1 的证明中的启示， 能否修正你的证明过程？ 学生分析得到性质 2 性质 2：如果 a ＞b ， b ＞ c,那么 a ＞ c. 即： a ＞ b ，b ＞c a ＞ c . 【师生活动】
分析：若要证明 a>c,只需要证明 a-c>0，学生容易想到与 a-b>0,b-c>0 建立联系，考虑到 a-c =(a-b)+(b-c),只要判断此代数式的符号即可。 追问：如何证明(a-b)+(b-c)>0？ 正数加正数是正数。得证。 教师：实数的一些基本事实在证明中有着重要的作 用。让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性。 证明： 由两个实数大小关系的基本事实知 : - (a -b) + (b- c) > 0 a - c > 0 a > c. 问题 5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性 ”的思想方法， 你能猜想并证明不等式的基本性质吗？ 性质 3：如果 a > b ,那么 a + c > b + c . 【师生活动】猜想“不等式在加法运算中保号性 ”，即 “如果 a+c>b +c ”,在前两个性质证明的基础上，学生能 够分析要证 a+c>b +c,只要证（a+c）-(b-c)与 0 的大小关 系，也就是 a-b 与 0 的大小关系，得出如下证明： 证明：由 a>b,得 a-b>0, 所以 （a+c)-(b+c)>0, 即 a+c ＞b+c. 追问 1：用文字语言怎样表达此性质？ 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式 与原不等式同向。 文字语言表达具有“直白 ”的特点，有助于理解 其本质，即反映了本灯饰在加法运算中的“保号 性 ”，减法与加法在运算中是一致的，加法是基本 运算，进行此性质为基本性质。 追问 2：两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表 达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解
释吗？ 可以用运动方，表达实数 c 的正负。几何语言的 表达具有“直观 ”的特点，建议学生经常从集合视 角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识 问题，更深刻的理解问题。 追问 3：是否还有其他结论？ 猜想：不等式在乘法运算中的规律性，即不等式两边 同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达 追问 4：是否还有其他结论？ 性质 4：如果 a＞b, c > 0 , 那么 ac ＞bc; 如果 a>b, c <0 , 那么 ac < bc . 问题 6：不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？ 【师生活动】此结论在于比较ac 与bc 的大小，由两个实数 大小关系的基本事实，即判断 ac -bc 与 0 的大小关 系，这显然与条件中的a -b 有关， 自然能考虑通过 ac -bc = (a -b)c ， 从 而 判 断 此 式 的 正 负 。 由 于 a -b > 0 ，(a -b)c 的正负由c 的正负决定，从而需要 分析讨论。 追问 1：用文字语言怎样表述此性质？ 不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向 文字语言具有“直白 ”的特点，此性质反应了“不 等式在乘法运算中的规律性 ”乘法与除法合并为乘法， 高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运 算，此性质仍为基本性质。 问题 7：加法乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式 的基本性质。不等式与等式基本性子的共性与差异有哪些？ 【师生活动】两者都具有“ 自身特性 ”和“运算中的不变 性、规律性 ”。由于不等号具有方向性，“ 自反性 ”和“两 边同乘负数时，不等号变号 ”是不等式表现出的特性。 问题 8：利用不等式的基本性质，你还可以猜想并证明不 等式的其他性质吗？ 【师生活动】 性质 3：如果 a > b ,那么 a + c > b + c . 追问：在基本性质 3 中，不等式的两边同加同一个实数。 如果两边同加不同的实数，即不等式两边分别加 上不相等的两个数，能得到什么不等关系呢？ 性质 5：如果a > b, c > d , 那么a + c > b + d . 即：大数加大数，大于小数加小数 问题 9：你会几种证明方法？ 【法1】： 分 析 : 若 要 证 明 a+c ＞ b+d ， 只 需 要 证 明 (a + c) - (b + d ) > 0 ，由已知 a-b>0,c-d > 0,
由“正数加正数是正数 ”这一基本事实，猜 想得证 由“正数加正数是正数 ”这一基本事实，猜想得证。 【法2】 分析：若要证明 a+c ＞b+d，需要构造 a+c 和 b+d 相 关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明 由性质 3，得 a+c ＞b+c，b+c > b+d ; 由性质 2，得 a+c > b+d . 问题 10：在基本性质 4 中，不等式的两边同乘同一个实数，如果乘 不同的实数，你有何结论？ 【师生活动】 猜想：如果a > b, c > d , 那么 ac > bd ； 追问：在不等式的基本性质中，乘法运算不具备“保号 性 ”，主要原因是负数的影响， 你认为上述猜想是否正确？ 不等式基本性质 4 中强调，两边同乘负数不等号要变反 向。所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”，与 性质 4 进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性 ” 的，这是缩小范围修正错误的方法。 性质 6：如果 a > b > 0，c > d > 0，那么 ac > bd . 这个定理如何证明，请大家课下完成。 追问：如果性质 6 中 a=c,b=d ，你有何新的结论？
如果a > b > 0 ，那么 推广 a2 > b2 .
2 分钟 5 分钟 四 . 不等式性 质的简单 应用 五、课 堂小结、布 置作业 性质 7：如果a > b > 0，那么 an > bn (n N, n≥2). 【师生活动】它是性质 6 的特例，“不等式在运算中的不变 性，规律性 ”为研究抓手，我们还能推导出很多不等关系， 希望同学们多发现、提出和证明。 上节课所学的两个实数大小的基本事实与本节课所得 到的的 7 条不等式的性质使我们今后解决不等式问题的 基本依据，下面我们就来看看如何借助它们来解决不等 式的简单问题。 问题 11：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用 性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？ 梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法 从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式 的基本性质 由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质. 追问：类比探究都要经历什么过程？ 经历 前备经验— 归纳特点--类比猜想—推理证明—理解表达— 探究个性—应用反思