2.1等式性质与不等式性质（第一课时）教学设计 （表格式）

课题 等式性质与不等式性质（1）
教学目标
教学目标： 1. 初步理解不等式的概念，能运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系， 了解重要不等式的发现和证明的方法； 2. 类比等式的表达归纳用不等式表达不等关系的方法，体会数学知识的整体性和联系 性； 3. 通过从实际问题的所蕴含的不等关系中抽象出不等式，发展数学抽象素养. 教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用. 教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 （一） 章节导语 导语：代数的学习，我们经历了“ 由数到式” 的学习过程，“ 式” 有等式和不等式. 在“ 式” 的研究基础上，我们可以解方程（组）与 解一元一次不等式（组），我们还了解到函数与方程、不等式之间具 有内在联系. 那么解不等式（组）的理论依据是什么？方程（组）、 不等式与函数之间究竟存在怎样的联系？本单元我们将在初中学习 的基础上进行深入研究. 首先我们先来学习等式性质和不等式性质. 师生活动：教师进行章节学习引领，学生结合课前阅读任务，初 步了解本章的学习内容. 设计意图： 明确本章的学习内容和学习基础，激发学习兴趣.
5 分钟 （二） 复习回顾 问题 1：在初中，我们已经学习过了不等关系与不等式，常见的 不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？ (
,
)师生活动：学生思考总结，有“ > ”，表述为“大于 ”；有“ < ” 表述为“小于 ”；有“ ”, 表述为“大于或等于 ”或“不小于 ”；有 “ ”, 表述为“小于或等于 ”或“不大于 ”. 问题 2：有了这些符号语言，你能用不等式或不等式组表示下列 问题中的不等关系吗？（学生在课前任务中已经完成） （1）某路段限速 40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少 于 2. 5% ，蛋白质的含量p 应不少于 2. 3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 师生活动：教师依次讲解，学生结合课前学习任务梳理思路，订 正答案. 教师总结：在用不等式表示实际问题中的不等关系时，我们首先 要从实际问题中抽象出这个不等关系，用字母来表示这个不等关系中 涉及的数，然后用不等号连接这些字母，从而建立不等式. 事实上， 这是数学抽象的过程，即从问题中抽象出数学模型的过程. 设计意图：创设运用不等式表示问题的情境，使学生意识到不等 式（组）在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础.
7 分钟 （三） 温故知新 问题 3：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？（学生在课前 任务中已经完成） 某种杂志原以每本 2. 5 元的价格销售，可以售出 8 万本，据市场 调查，杂志的单价每提高 0. 1 元，销售就可能减少 2000 本. 如何定 价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万？ 师生活动：教师分析讲解，学生结合课前学习任务梳理思路，订 正答案. 设 提 价 后 每 本 杂 志 的 定 价 为 x 元 ， 则 销 售 总 收 入 为 (8 - 0.2)x 万元，于是，不等关系“销售总收入不低于 20 万元 ”可以用不等式表示为 (8 - 0.2)x 20 ，但不会解不等 式. 追问：如何解不等式，就要类比如何解方程，解方程的主要依据 是什么？ 师生活动：学生回忆解方程的主要依据；教师总结：解方程的主 要依据是等式的性质，类比方程解法，解不等式的主要依据应该是不 等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质. 设计意图：此问题使学生在问题解决中产生矛盾，调动了学生探
究知识的内趋力. 同时将不等式与等式进行类比，合理地引出不等式 性质研究的必要性. 问题 4：若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等 式，这样必然需要比较两个式子的大小关系，如何比较两个式子的大 小关系呢？ 师生活动：学生思考，回忆比较两个实数的大小关系的最基本的 方法：作差法： a > b a -b > 0 ； a = b a -b = 0 ； a < b a -b < 0 . 教师总结：0 是正数与负数的分界点，是实数比较大小的“标杆 ”. 将两个实数的大小关系转化为它们的差的符号进行研究，本质上是使 运算参与到大小比较的过程中，这样能够使得大小的比较有抓手，即 只需要研究两个实数的差的符号就可以了. 我们称这个比较大小的 方法为“作差法 ”，此方法也可用来比较两个式子的大小. 设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生， 只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基 本事实，并体会此方法使数学运算参与大小比较中，为问题解决提供 了工具.
10 分 钟 （四） 学以致用 问题 5： 比较 (x + 2)(x + 3) 和 (x +1)(x + 4) 的大小. 例题分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与 0 的关系. 因为： (x + 2)(x + 3) - (x +1)(x + 4) (
2 2
)= (x + 5x + 6) - (x + 5x + 4) = 2 > 0 ， 所以： (x + 2)(x + 3) > (x +1)(x + 4) . 设计意图：此问题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用， 体会此方法在比较大小中的应用. 问题 6： 阅读教材 P39 页的探究内容，你能找到“赵爽弦图 ” 中的一些相等关系和不等关系吗？ 例题分析：平面图形中的量主要有长度、角度和面积. 将“赵爽 弦图 ”的各点标上字母，从整体来看，正方形 ABCD 的面积和四个 直角三角形的面积之和存在不等关系. 追问 1： 如果直角三角形的两条直角边边长分别为 a ， b （ a b ），你能将发现的不等关系用不等式表示吗？
师生活动：学生通过计算，列出不等式 ( a2 + b2 )2 > 4x ab ，
即： a2 + b2 > 2ab. 追问 2：如果直角三角形的两条直角边边长相等，以上不等关系 还成立吗？为什么？ 师生活动：学生想象图形，发现当“ a = b ”时，正方形 GHEF 缩成一个点，面积为 0 ，因此正方形 ABCD 的面积和四个直角三角 形的面积之和相等，即满足： a2 + b2 = 2ab ，以上不等关系不成立. 追问 3：从发现大小关系的过程中看， a ， b eR+ ，这个结论 可以推广到全体实数吗？即：va ，b eR ，a2 + b2 之 2ab 这个猜想 正确吗？请用代数方法进行证明或证伪. 师生活动： a2 + b2 一 2ab = (a 一 b)2 之 0 . 由两个实数大小关系 的基本事实，得 a2 + b2 之 2ab ，当且仅当 a = b 时等号成立. 教师强 调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式. 设计意图：此问题由学生观察图形，深入分析，独立想象，发 现图形中蕴含的不等关系与相等关系，感受到由“形 ”到“数 ”的逐 步提炼的过程. 通过追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过 程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础.
2 分钟 （五） 归纳小结， 布置作业 教师总结：本节课我们主要复习了由实际问题抽象出不等关系的 方法，这是一个从实际问题抽象出数学模型的过程；我们学习了两个 实数大小关系的基本事实，它的本质是使数学运算参与到大小比较的 过程中，将研究两个数的大小关系转化为研究它们差值的符号. 这 种比较大小的方法被称为“作差法 ”，也可用于比较两个式子的大小. 这为我们下节课研究不等式性质奠定了理论基础. 那么，不等式有 哪些性质呢？如何研究呢？请看下节课：等式性质与不等式性质（2）. 作业布置：教科书第 42 页、第 43 页习题 2. 1 第 2 ，3 ，10 题.