4.3.2对数的运算（第二课时）教学设计 （表格式）

课题 对数的运算（2）
教学目标
教学目标： 1. 经历换底公式的探究，证明过程，初步理解换底公式，并能利用公式实现其他底数的对数的运 算； 2. 在换底公式的证明中，体会指数与对数的内在联系，提升转化与化归思想方法的认识与应用； 3. 利用换底公式完成对数计算中，感受对数运算的意义，提升数学运算的素养. 教学重点：换底公式的认识和初步应用。 教学难点：换底公式的推导
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分 钟 一 .确复 习回顾 二 ．探索 新知 问题 1：请回忆对数的运算性质 如果a > 0, 且a 1 ，M > 0, N > 0 ,那么 （1）loga (MN) = log M + log N ； log a M = log M - log N （2） N ; （3）loga M n = nlog a M (n R).
5 分 钟 【教师讲解】 数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只 要通过表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,现在,利用计算工具, 也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底 的对数转换为以 10 或 e 为底的对数，就能方便地求出这些对数。 探究： (1) 利用计算工具求ln 2 ，ln 3 的近似值； (2) 根据对数的定义，你能利用ln 2 ，ln 3 的值 求log2 3 的值吗？ 【师生互动】需要将此式进行变形，请问变形的方向是什么呢？ 根据要求，我们要构造ln 2 和ln 3 ， 需要把 2 或 3 分离出来。 设log2 3 = x ，则2x = 3 ，我们就可以把 3 分离出来了 于是ln 2x = ln 3 ，即x ln 2 = ln 3 ，这样就出现已知中的 ln3 和 ln2 了。 则x = log2 3 = 1.585 . 3 ．根据对数的定义 ，你能用 logc a 和 log c b 来表示 loga b ( a > 0 且 a 1;b > 0; c > 0 且c 1)吗？ 类比上述变形过程，由特殊到一般进行推导 设loga b = x ，则a x = b ， 于是logc ax = logc b ，即x log c a = log c b ，则 loga b = (a > 0 ，且a 1； b > 0 ；c > 0 且c 1)
对数的换底公式 问题：你可以用自然语言描述吗？ 一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数， 分母是以原对数的底数为真数的对数。（真数在上去分子，底数在下去分 母）。逆应用时，可以将同底的两个对数的商转化为一个对数值。
三 ．应用 举例 思考：能利用lg 2 ，lg 3 表示log2 3 吗？ 可以利用换底公式log2 3 = 1.585 . 思考： log2 3 = 也可以换为以任意大于零且不等于1的实数为底的对数。比如，可 以换位以3为底的对数，看看能得到什么结果？ 应用 1 求值:log2 3 log3 4 log4 5 log5 2 ： 追问：猜想loga b logb c log c a =？并证明 你还能得到哪些结论？ 应用 2：在 4.2.1 的问题 1 中，通过指数幂运算， 我们得到 y = 1.11x 的关系，如果求经过多少年 B地 景区的游客人次是 2001 年的 2 倍，该如何计算呢？ 解：在此问题中，其实就是计算 x = log1.11 2 的值。由换底公式，可得 x = log1.11 2 = l 1 利用计算工具，可得x = l1 6.64 7 由此可得，大约经过 7 年，B 地景区的游客人次就达到 2001 年的 2 倍。 类似地，可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍，…所需要的年份 应用 2：尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对 地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏 震级 M 之间的关系为lgE = 4.8 +1.5M .2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域 发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川 发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）？
[教师讲解] 思考：本题的研究求解对象是什么 如何将此对象与已知条件建立关系 答; 这是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题。 本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即 E 的比值,条 件中的 E 存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对 数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式. 解： 法 1：设里氏 9.0 级和 8.0 级地震的能量分别 E1 和 E2 . 由lgE = 4.8 +1.5M , 可得 lgE1 = 4.8 +1.5 9.0 ， lgE2 = 4.8 +1.5 8.0 于是 lg = lgE1 - lgE2 = (4.8 +1.5 9.0) - (4.8 +1.5 8.0) = 1.5 利用计算工具可得， = 101.5 32 。 法 2：设里氏 9.0 级和 8.0 级地震的能量分别 E1 和 E2 . 由lgE = 4.8 +1.5M , 可得 lgE1 = 4.8 +1.5 9.0 ， lgE2 = 4.8 +1.5 8.0 E1 = 104.8+1.5 9.0 ，E2 = 104.8+1.5 8.0
利用计算工具可得， E1 E2 = 101.5 32 。
虽然里氏 9.0 级地震与里氏 8.0 级地震仅相差 1 级,但前者释放出来 的能量却是后者的约 32 倍. 想一想：为什么两次地震的里氏震级仅差 1 级,为何释放出来的能量却相 差那么多呢？ 地震中能量是很大的数值，进行对数运算后其数值就变得非 常小。这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数 上，也就是说，在以 10 为底的指数幂运算中，指数每增加
1，其幂的值就是原来的 10 倍；每增加 2，其幂的值就是 原来的 100 倍； 10x+1 = 10 · 10x ，10x+2 = 100 · 10x 反之，在以 10 为底的对数运算中，真数是原来的 10 倍，对 数值就增加 1；真数是原来的 100 倍，对数值就增加 2. lg(10 · 10x ) = 1+ lg10x ，lg(100 · 10x ) = 2 + lg10x 所以在指数幂运算中，“指数增长 ”的变化非常快；在对数 运算中，“对数增长 ”的变化就比较慢,地震的里氏震级虽然相 差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运 算的意义。 1. 对数的换底公式，注意分子与分母是同底的 2. 目前学过的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、指数幂、对数。 1 ab = N, a = Nb , b = log a N 这三个运算其实是一个整体. 布置作业：书 126 页练习 1,2,3.
四、 课 堂 总 结