人教A版（2019）必修第一册 4.3 对数的运算 第一课时 教学设计（表格式）

课题 对数运算（1）
教学目标
教学目标： 1.理解并掌握对数的运算性质，并进行简单的计算； 2.在运算中进一步理解对数的概念，体会对数与指数之间的关系； 3.在运算中培养数学运算和逻辑推理的学科素养. 教学重点：理解对数的运算性质. 教学难点：恰当使用对数运算性质进行计算.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5 分钟 复习引入 一．复习对数概念及指数幂运算性质 1. 对数的概念 一般地，如果 ax = N (a > 0, 且a 子1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x = loga N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数. 例如，如果 2x = 5 ，那么 x = log2 5. 其中 2 叫做对数的底数，5 叫做真数. 2. 对数与指数的关系 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当a > 0, a 子 1时，ax = N 常 x = loga N. 例如， 3x = 2 常 x = log3 2 ，即3log32 = 2. 3. 指数幂运算性质 对于任意实数 r ， s ，均有下面的运算性质. a r . as = a r +s (a > 0, r , s E R ) , (
a
r
=
a
rs
a
>
,
r
,
s
E
R
，
)( )s ( 0 ) (ab )r = a rbr (a > 0, b > 0, r E R). 二．提出问题：依据对数和指数的关系，能否利用指数幂运算的性质得出相应的 对数运算的性质？
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10 分钟 探究新知 一．利用同底数幂乘法的运算性质推导对数运算性质 观察同底数幂乘法的运算性质： a r . as = a r+s (a > 0, r , s E R). 等式左边两个同底数幂 ar 与as 相乘，等式右边指数相加. 利用指数与对数的关系， 设M=ar ，N = as ， 即r = log a M , s = loga N. 因为ar . as = ar +s ， 所以MN = ar +s ， 所以loga (MN) = r + s ， 故loga (MN) = loga M + loga N . 进而得到对数运算的第一个性质. 思考：对数的这个性质还可以怎样证明？ 设 m = log a M , n = loga N, 即M=am，N = a n ， 则log a M + loga N = m + n. 因为MN = am . an = am+n ， 所以loga (MN) = m + n ， 所以loga (MN) = log a M + loga N . 二．利用同底数幂除法的运算性质推导对数运算性质 观察同底数幂除法的运算性质： a r 政 as = a r 一s (a > 0, r , s E R). 等式左边两个同底数幂 ar 除以as ，等式右边指数相减. 利用指数与对数的关系， 设M=ar ，N = as ， 即r = log a M , s = loga N. 因为ar 政 as = ar 一s ， 所以 = ar 一s ，
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loga = r 一 s ， 所以loga = loga M 一 loga N . 进而得到对数运算的第二个性质. 从除法与乘法之间的关系证明： 因为 = MN一 1 ， 所以loga = loga (MN一 1 ) = log a M +loga N一 1 , 故loga = log a M 一 loga N . 三．利用幂的乘方的运算性质推导对数运算性质 观察幂的乘方的运算性质： (am )n = a mn (a > 0, m, n e R) . 等式左边幂 am 的n 次方 ，等式右边指数相乘. 利用指数与对数的关系， 设M=am , 即m = log a M . (
n
m
mn
n
mn
)因为(a ) = a , 所以M = a , loga M n = mn ， 所以loga M n = n log a M. 进而得到对数运算的第三个性质. 综上所述，对数运算具有如下性质. 如果a > 0, 且a 牛 1, M > 0, N > 0, 那么 （1）log a (MN) = log a M +log a N ； （2）log a = log a M 一 log a N ； （3）log a M n = nlog a M. 在上述推理过程中应关注以下几个问题： （1）进一步理解对数与指数之间的关系 正像加法与减法、乘法与除法关系一样，我们通过加法运算学习了减法运算， 通过乘法运算学习了除法运算.对于对数运算，也是通过指数幂运算推导对数运 算的性质。 在三个运算性质的推导过程中，都利用了对数与指数之间的关系，即 ax = N 常 x = loga N ，将指数式转化为对数式，利用指数幂运算性质得到对数 运算性质. （2）进一步理解对数的概念
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基于对数概念的理解，对数运算性质（1）等式的左边是乘积的指数，等式 的右边是指数之和，因为是同底数幂的乘积，所以乘积中的指数是每个幂的指数 的和，因此性质（1）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之和. 同理，性质（2）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之差，性质（3） 等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之积. （3）进一步理解对数的运算性质在数学发展史中的意义 从对数运算的性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法 转化为减法，把乘方转化为乘法. 从运算的角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三 级运算.运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高， 运算的复杂度越高.对数运算降低了运算的级别，简化了运算. 现代社会由于有了计算机等工具，对数的运算性质的这种作用似乎显得有些 微不足道.但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、 除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家 的寿命 ”. 因此，对数的运算性质堪称数学发展史上的伟大成就.
5 分钟 巩固提升 例 1 求下列各式的值： （1）lg , （2）log2 (47 根 25 ). (
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)解：（1）lg = lg10 5 = lg10 = ; （2）log2 (47 根25 ) = log2 47 + log2 25 = 7 log2 4 + 5log2 2 = 7 根 2 + 5根1 = 19 分析：教师引导学生观察运算结构，运用对数的运算性质求值. （1）求lg 的值：这是求以 10 为底的对数，注意观察真数的形式，真数是 根式的形式，根式的被开方数是 100 ，是 10 的平方，是对数的底数的平方，即找 到了真数与底数之间的关系.所以选择对数的运算性质loga M n = n log a M 完成 求值. （2）求 log2 (47 根 25 ) 的值：这是求以 2 为底的对数，真数是 2 的幂的乘积，所 以先选择对数的运算性质 loga MN = log a M + loga N ，将乘积的对数转化为因 子的对数和的形式，再求每一个因子的对数，进而完成求值.
例2 用ln x, ln y, ln z表示ln (
2
.
)x y 3z
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解：ln = ln x2 -ln = ln x2 + ln -ln
= 2 ln x + ln y - ln z.
分析：本体的关键在于建立 ln与ln x, ln y, ln z 之间的联系，商的对数转化 为被除式的对数与除式的对数的差，然后在运用性质loga M n = n log a M ，进而 完成化简. 小结：在上述求值过程中，观察运算结构，寻求真数与底数之间的联系，正确选 择对数运算性质是非常重要的求值步骤. 练习：求下列各式的值： （1）log3 (27 根92 ) ; （2 ）lg 5 + lg 2 ; （3）log3 3 +log3 ; （4 ）log3 5 - log3 15 ; 解：（1）log3 (27 根92 )=log3 27 + log3 92 = log3 33 + log3 92 = 3log3 3 + 2 log3 9 = 3 + 2根 2 = 7. 解：（2）lg 5 + lg 2 = lg10=1. 解：（3）lg 3 + lg = lg (|（3根= lg1=0 . 解：（4）log3 5 - log3 15= log3 = log3 = log3 3-1 = - log3 3 = -1.
2 分钟 课堂小结 本节课基于对数概念和指数幂运算的性质推出对数运算性质，并运用对数运 算性质进行简单的计算. 建议不要机械地记忆运算性质，要在理解的基础上掌握对数运算性质，在运 用对数运算性质进行计算的过程中进一步体会对数与指数之间的关系，理解对数 概念的本质. 本节课的学习有助于提升逻辑推理和数学运算的学科素养.
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