合江县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案
1.D 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D
9.ABD 10.AB 11.BC 12.ABC
13. 14.答案： 15.3 16.
17.解：直线，，
由，可得，解得．
（2）由题意可知m等于0
由 可得，解得．
18.解：(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，
则，且有，即，解得，.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
有1个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
19.(1)证明:设的中点为,的交点为,连接,如图所示.
由为的中点可得,又平面平面,
平面平面,
故平面
又为的中点,所以.又所以,
故,所以平面,
故,又四边形为菱形,所以,
所以平面.
(2)解:由(1)可知两两相互垂直,以为坐标原点,以的方向为轴正方向,
分别以为轴和轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则
设为平面的一个法向量
则即可取.
由(1)可知,为平面的一个法向量,
所以.
所以二面角的余弦值为.
20.解：设圆C的圆心为，
则圆C的方程为.
直线与圆C相切于原点O，点O在圆C上，且OC垂直于直线，
于是有解得或
由于点在第二象限，故，，
圆C的方程为.
（2）存在点解析：假设存在符合要求的点Q.
设，则有解得或(舍去)，
存在点，使Q到定点的距离等于线段OF的长.
21.解依题意有解得所以椭圆C的方程为.
（2）假设点在线段AB的中垂线上.联立得方程组
消去y并整理，得.
设，，则，.
所以.
所以线段AB的中点，所以，
所以，即，解得.
所以存在，使点在线段AB的中垂线上.
22.解：(1)设，，因为点B在圆O上，所以，
因为M为AB的中点，所以
整理得代入①式得，整理得，
所以曲线C的方程为.
(2)(i)因为直线l不与x轴重合，所以设其方程为，即，
则直线的方程为，
由(1)知曲线C的圆心为，半径为2.
设曲线C的圆心到直线l和直线的距离分别为，，
则，，
所以，
所以，
当时，；
当时，，当且仅当，即时等号成立.
综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7.
(ii)设，，
联立得，
则，，则，
因为曲线C与x轴交于P，Q两点，所以令，得或，不妨设，，
则直线PE的方程为，
直线QF的方程为，
联立两直线方程得，
则，所以，所以N在定直线上.合江县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的斜率为
A. B. C. D.
2.已知圆C的圆心为，且过点，则圆的方程为
A. B.
C. D.
3.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是
A. B. C. D.
4、已知直线与平行，则实数a的值为
A.或2 B.0或2 C.2 D.
5.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为
A. B. C. D.
6.已知圆与圆关于直线l对称 ，则直线l的方程是
A. B. C. D.
7.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为
A. B. C. D.
8.已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆两条切线,使得,则实数的取值范围是
A. B.[,]
C. D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，平面ABC内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面ABC外一点，则
A. B.
C. D.
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有
A. B. C. D.
11.人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个、图片b张（a，，），从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是
A. B.
C. D.
12.若实数x，y满足曲线，则下列结论正确的是
A.
B.的最小值为
C.直线与曲线C有两个不同的交点，则实数
D.曲线C上有4个点到直线的距离为1
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_________.
14.在正方体中，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为_______________.
15.已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________.
16.已知圆，为圆C上的两个动点，且，G为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆C上运动时，恒为锐角，则线段中点M的横坐标取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知直线,.
(1)若,求值；
(2)若,求值.
18.（12分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲 乙 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲 丙两个家庭都回答错误的概率是，乙 丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙 丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲 乙 丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
19.（12分）如图,三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,侧面为菱形,且平面平面, ,为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
20.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O.
（1）求圆C的方程.
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）是否存在实数k，使点在线段AB的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
22.（12分）已知圆，点，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点.
(i)过点T作与直线l垂直的直线交曲线C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
(ii)设曲线C与x轴交于P，Q两点，直线PE与QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上.若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
