人教版八年级数学上册14.1.3积的乘方 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册14.1.3积的乘方 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-18 08:13:22 | ||
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文档简介
课题 积的乘方
教学目标
教学目标： (1)经历探索积的乘方运算性质的过程，掌握从特殊到一般，具体到抽象的研究 方法； (2)掌握积的乘方的运算性质，并能应用积的乘方的运算性质解决相关问题； (3)综合运用幂的运算性质进行计算. 教学重点：正确理解及应用积的乘方的运算性质. 教学难点：积的乘方的运算性质的理解与推导以及与同底数幂乘法，和幂的乘方的综合运用.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
（1）复习 旧知,引入 新知 教师提出问题，学生独立完成. 1.计算： (1) 102 103 104 = 109 (2) (x2 )5 = x10 (3)(a2 )3 × a5 = a11 (4)(y n )n × y2 = y n2 +2 2.填空： am × an = am+n (m, n 都是正整数） (am )n = a mn (m, n 都是正整数）
（2）创设 情境，提出 问题 （3）探究 新知，发现 规律 引导学生同底数幂乘法和幂的乘方的运算性质. 符号语言：am × an = am+n (m, n 都是正整数） 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 符号语言：(am )n = a mn (m, n 都是正整数） 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 问题 1： (
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3
)同学们一起利用球的体积公式V = 3 pr 计算出地球的体积约 是 1.08 10k12m3 ，接着老师问道:“太阳的半径约是地球的 倍，10那2 么太阳的体积约是多少立方千米呢 ”，你能迅速求出 结果吗？ 解：设地球的半径为 r ，则根据题意，太阳的半径为102 r .
V太 = p × (102 r )3 ， 要知道如何计算 问题 2: 如果想要找到 V太 和 V地 之间的关系，需 (102 r 就是我们今天要研究的积的乘方.
观察计算结果你能发现什么规律？ （1）(3 4)2 = 32 42 = （2）(ab)2 = (ab)×(ab) = (a × a)×(b×b) = a( )b( ) （3）(ab)3 = = = a( )b( )
学生独立思考后，教师讲解.
（1）(3 4)2 = 144 32 42 = 144 (3 4)2 = 32 42 （2）(ab)2 = (ab)×(ab) = (a × a)×(b×b) = a(2 )b(2 ) （3）(ab)3 = (ab)×(ab)×(ab) = (a × a × a)×(b×b×b) = a(3)b(3) 根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果. 追问 1：你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算 结果. (ab)5 = a5b5 追问 2：你能用符号表示你发现的规律吗？ (ab)n = anbn (n 是正整数） 学生观察并独立思考，初步获得结论.通过再举例子，进一步
（4）课堂 验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律. 问题；:你能将上述发现的规律推导出来吗？ 学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解. (
乘方的意义
乘法交换律和乘法结合律
乘方的意义
)(ab)n = (ab). (ab). … . (ab) 一 一 一 n个ab = (a . a . … . a). (b.b. … . b) (
n
个
a
)n个b = anbn 积的乘方的运算性质： (ab)n = anbn (n 是正整数） 追问 1：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的 乘方的运算性质吗？ 用文字语言概括出积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 追问 2：推广：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有 这样的运算性质？ (abc)n = (abc). (abc). … . (abc) 一 一 一 n个abc = (a . a . … . a). (b.b. … . b). (c . c . … . c) n个a n个b n个c = anbn cn 一般地， (abc)n = anbn cn (n 是正整数） 解决问题 1： (102 r )3 = (102 )3 . r 3 = 106 r 3 ：V太 = π . (102 r )3 = π . 106 r3 4 6 3 (
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)V太 3 π . 10 r 6 V地 πr3 ：V地 = 1.08x 1012 km3 ：V太 = 1.08x 1012 x 106 = 1.08x 1018 km3 例 1 计算
（1）(2a)3 （2）(一 5b)3 （3）(xy2 )2 （4）(一 2x3 )4
练习，巩固 新知 （5）[(x + y)(x - y )]5 （6）(- 2ab)3 师生共同分析解答，教师引导学生运用性质一步步进行计算. 解： (1) (2a)3 = 23 × a3 = 8a3 (2) (- 5b)3 = (- 5)3 ×b3 = - 125b3 (3) (xy2 )2 = x2 × (y 2 )2 = x2 y4 (4) (- 2x3 )4 = (- 2)4 × (x3 )4 = 16x12 (3)， (4)涉及到幂的乘方和积的乘方的综合运用 (5) [(x + y)(x - y )]5 = (x + y)5 (x - y )5当底数为多项式时将 多项式看作整体进行计算. (6) (- 2ab)3 = (- 2)3 × a3 ×b3 = -8a3b3 练习 1：判断下列的计算是否正确，如果错误，如何改正. (1) (ab2 )3 = ab6 (2) (3xy)3 = 9x3y3 (3) (- 2a2 )2 = -4a4 (4) (- a)n = -an (5) - (- ab2 )2 = a2b4 学生独立思考完成，教师讲解辨析易错点. (1)错误 强调积的乘方的运算性质中是每个因式分别乘方. (ab2 )3 = a3b6 (2)错误 (3xy)3 = 33 x3y3 = 27x3y3 (3)错误 (- 2a2 )2 = 4a4 当因式为负数时，进行有理数乘方 计算时，底数为负数时，注意加括号. (4)错误 (- a)n = (- 1)n × an = ía n，当数 (5)错误 - (- ab2 )2 = -[(- 1)2 a2b4 ]= -a2b4 练习 2: (1)(- 3a3b2 c)4 (2) - a2 (a + b)3 学生独立完成，教师讲解辨析易错点.
(1) (- 3a3b2 c)4 = (- 3)4 × (a3 )4 × (b2 )4 × c4 = 81a12b8c4 (2) - a2 (a + b)3 = - 3 × (a2 )3 × (a + b)3 = - a6 (a + b)3 先进行积的乘方的运算，再进行幂的乘方的运算.底数为负数 时，要加括号. 例 2： 计算: (1) (- a3b)4 + 2(a6b2 )2 (2) 2(x3 )2 × x3 - (3x3 )3 + (5x)2 × x7 (1) (- a3b)4 + 2(a6b2 )2 = (- 1)4 × (a3 )4 ×b4 + 2(a6 )2 (b2 )2 = a12b4 + 2a12b4 = 3a12b4 (
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)(2) 2(x ) × x - (3x ) + (5x) × x = 2x × x - 3 (x ) + 5 × x × x = 2x9 - 27x9 + 25x9 = -25x9 + 25x9 = 0 师生共同分析解答.要重点提醒学生正确应用法则，一定不要 将同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方混淆.混合运算的顺 序依旧是先乘方，再乘除，后加减合并同类项. 练习 3：(1) (2a2 )3 - 7a6 + a2 × a4 (2)(- x4 y 2 )3 - - x6 y3 2 解：（1）原式 = 8a6 - 7a6 + a6 6 6 = a + a = 2a6 (
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)（2）原式 = (- 1)3 (x4 )3 (y 2 )3 - - 2 (x6 )2 (y3 )2 = -x y - x y 9 (
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)= 1 4 ÷x12y 6 13 12 6 = - x y 9 提醒学生：辨别运算类型，制定运算顺序，选择运算性质或
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（5）课堂 (
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)法则,避免跳步. 例 3：计算 (
原式
=
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÷
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=
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)解： 方法总结：此类题的关键是逆用积的乘方 an ×bn = (ab)n 练习 4： (1) 0.254 45 (2)(0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 学生独立思考完成后，教师讲解. (1) 0.254 45 = 0.254 44 4 = (0.25 4)4 4 = 4 (2) 解法一： (0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 = (0.04)2004 54008 = ((0.2)2 )2004 54008 = 0.24008 54008 =(0.2 5)4008 = 1 解法二： (0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 = (0.04)2004 [(- 5)2 ]2004 = (0.04)2004 [25]2004 = (0.04 25)2004 = 1 方法总结：幂的乘方和积的乘方的逆用. 例 4：如果 (an ×bm ×b)3 = a9b15 ，求 m, n 的值. 解： ：(an ×bm ×b)3 = a9b15 (
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)\ (an ) × (bm ) ×b = a b \a3n ×b3m+3 = a9b15 (
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) (
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) 3m + 3 = 15 (
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) (
解得：
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) (
m
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)教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容： 知识总结：
小结，梳理 新知 （6）课后 演练，反馈 新知 积的乘方运算性质： (ab)n = anbn (n 都是正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘. 注意：(1)同底数幂的乘法，幂的乘方与同底数幂的乘法的区 别；以及混合运算时运算顺序. (2)积的乘方法则的逆用：an ×bn = (ab)n 方法总结：相同的研究方法：特殊到一般，具体到抽象. 课后作业： 1 填空： （1）(ab)4 = （2） - xy3 = （3） (- 3 102 )3 = （4） (2ab2 )3 = （5）(- 2xy2 z3 )4 = （6） - 2019 2018 = 2 计算： （1）(- 3a2 )3 + (- 4a3 )2 （2）a × a3 - (2a2 )2 + 4a4 （3）m × m5 + (- 2m3 )2 - 4(m2 )3 （4）a3 × a4 × a + (a2 )4 + (- 2a4 )2 3 解答: 已知x2n = 3, 求(3x3n )2 的值.
教学目标
教学目标： (1)经历探索积的乘方运算性质的过程，掌握从特殊到一般，具体到抽象的研究 方法； (2)掌握积的乘方的运算性质，并能应用积的乘方的运算性质解决相关问题； (3)综合运用幂的运算性质进行计算. 教学重点：正确理解及应用积的乘方的运算性质. 教学难点：积的乘方的运算性质的理解与推导以及与同底数幂乘法，和幂的乘方的综合运用.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
（1）复习 旧知,引入 新知 教师提出问题，学生独立完成. 1.计算： (1) 102 103 104 = 109 (2) (x2 )5 = x10 (3)(a2 )3 × a5 = a11 (4)(y n )n × y2 = y n2 +2 2.填空： am × an = am+n (m, n 都是正整数） (am )n = a mn (m, n 都是正整数）
（2）创设 情境，提出 问题 （3）探究 新知，发现 规律 引导学生同底数幂乘法和幂的乘方的运算性质. 符号语言：am × an = am+n (m, n 都是正整数） 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 符号语言：(am )n = a mn (m, n 都是正整数） 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 问题 1： (
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)同学们一起利用球的体积公式V = 3 pr 计算出地球的体积约 是 1.08 10k12m3 ，接着老师问道:“太阳的半径约是地球的 倍，10那2 么太阳的体积约是多少立方千米呢 ”，你能迅速求出 结果吗？ 解：设地球的半径为 r ，则根据题意，太阳的半径为102 r .
V太 = p × (102 r )3 ， 要知道如何计算 问题 2: 如果想要找到 V太 和 V地 之间的关系，需 (102 r 就是我们今天要研究的积的乘方.
观察计算结果你能发现什么规律？ （1）(3 4)2 = 32 42 = （2）(ab)2 = (ab)×(ab) = (a × a)×(b×b) = a( )b( ) （3）(ab)3 = = = a( )b( )
学生独立思考后，教师讲解.
（1）(3 4)2 = 144 32 42 = 144 (3 4)2 = 32 42 （2）(ab)2 = (ab)×(ab) = (a × a)×(b×b) = a(2 )b(2 ) （3）(ab)3 = (ab)×(ab)×(ab) = (a × a × a)×(b×b×b) = a(3)b(3) 根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果. 追问 1：你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算 结果. (ab)5 = a5b5 追问 2：你能用符号表示你发现的规律吗？ (ab)n = anbn (n 是正整数） 学生观察并独立思考，初步获得结论.通过再举例子，进一步
（4）课堂 验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律. 问题；:你能将上述发现的规律推导出来吗？ 学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解. (
乘方的意义
乘法交换律和乘法结合律
乘方的意义
)(ab)n = (ab). (ab). … . (ab) 一 一 一 n个ab = (a . a . … . a). (b.b. … . b) (
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)n个b = anbn 积的乘方的运算性质： (ab)n = anbn (n 是正整数） 追问 1：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的 乘方的运算性质吗？ 用文字语言概括出积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 追问 2：推广：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有 这样的运算性质？ (abc)n = (abc). (abc). … . (abc) 一 一 一 n个abc = (a . a . … . a). (b.b. … . b). (c . c . … . c) n个a n个b n个c = anbn cn 一般地， (abc)n = anbn cn (n 是正整数） 解决问题 1： (102 r )3 = (102 )3 . r 3 = 106 r 3 ：V太 = π . (102 r )3 = π . 106 r3 4 6 3 (
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)V太 3 π . 10 r 6 V地 πr3 ：V地 = 1.08x 1012 km3 ：V太 = 1.08x 1012 x 106 = 1.08x 1018 km3 例 1 计算
（1）(2a)3 （2）(一 5b)3 （3）(xy2 )2 （4）(一 2x3 )4
练习，巩固 新知 （5）[(x + y)(x - y )]5 （6）(- 2ab)3 师生共同分析解答，教师引导学生运用性质一步步进行计算. 解： (1) (2a)3 = 23 × a3 = 8a3 (2) (- 5b)3 = (- 5)3 ×b3 = - 125b3 (3) (xy2 )2 = x2 × (y 2 )2 = x2 y4 (4) (- 2x3 )4 = (- 2)4 × (x3 )4 = 16x12 (3)， (4)涉及到幂的乘方和积的乘方的综合运用 (5) [(x + y)(x - y )]5 = (x + y)5 (x - y )5当底数为多项式时将 多项式看作整体进行计算. (6) (- 2ab)3 = (- 2)3 × a3 ×b3 = -8a3b3 练习 1：判断下列的计算是否正确，如果错误，如何改正. (1) (ab2 )3 = ab6 (2) (3xy)3 = 9x3y3 (3) (- 2a2 )2 = -4a4 (4) (- a)n = -an (5) - (- ab2 )2 = a2b4 学生独立思考完成，教师讲解辨析易错点. (1)错误 强调积的乘方的运算性质中是每个因式分别乘方. (ab2 )3 = a3b6 (2)错误 (3xy)3 = 33 x3y3 = 27x3y3 (3)错误 (- 2a2 )2 = 4a4 当因式为负数时，进行有理数乘方 计算时，底数为负数时，注意加括号. (4)错误 (- a)n = (- 1)n × an = ía n，当数 (5)错误 - (- ab2 )2 = -[(- 1)2 a2b4 ]= -a2b4 练习 2: (1)(- 3a3b2 c)4 (2) - a2 (a + b)3 学生独立完成，教师讲解辨析易错点.
(1) (- 3a3b2 c)4 = (- 3)4 × (a3 )4 × (b2 )4 × c4 = 81a12b8c4 (2) - a2 (a + b)3 = - 3 × (a2 )3 × (a + b)3 = - a6 (a + b)3 先进行积的乘方的运算，再进行幂的乘方的运算.底数为负数 时，要加括号. 例 2： 计算: (1) (- a3b)4 + 2(a6b2 )2 (2) 2(x3 )2 × x3 - (3x3 )3 + (5x)2 × x7 (1) (- a3b)4 + 2(a6b2 )2 = (- 1)4 × (a3 )4 ×b4 + 2(a6 )2 (b2 )2 = a12b4 + 2a12b4 = 3a12b4 (
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)（2）原式 = (- 1)3 (x4 )3 (y 2 )3 - - 2 (x6 )2 (y3 )2 = -x y - x y 9 (
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)法则,避免跳步. 例 3：计算 (
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)解： 方法总结：此类题的关键是逆用积的乘方 an ×bn = (ab)n 练习 4： (1) 0.254 45 (2)(0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 学生独立思考完成后，教师讲解. (1) 0.254 45 = 0.254 44 4 = (0.25 4)4 4 = 4 (2) 解法一： (0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 = (0.04)2004 54008 = ((0.2)2 )2004 54008 = 0.24008 54008 =(0.2 5)4008 = 1 解法二： (0.04)2004 [(- 5)2004 ]2 = (0.04)2004 [(- 5)2 ]2004 = (0.04)2004 [25]2004 = (0.04 25)2004 = 1 方法总结：幂的乘方和积的乘方的逆用. 例 4：如果 (an ×bm ×b)3 = a9b15 ，求 m, n 的值. 解： ：(an ×bm ×b)3 = a9b15 (
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)教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容： 知识总结：
小结，梳理 新知 （6）课后 演练，反馈 新知 积的乘方运算性质： (ab)n = anbn (n 都是正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘. 注意：(1)同底数幂的乘法，幂的乘方与同底数幂的乘法的区 别；以及混合运算时运算顺序. (2)积的乘方法则的逆用：an ×bn = (ab)n 方法总结：相同的研究方法：特殊到一般，具体到抽象. 课后作业： 1 填空： （1）(ab)4 = （2） - xy3 = （3） (- 3 102 )3 = （4） (2ab2 )3 = （5）(- 2xy2 z3 )4 = （6） - 2019 2018 = 2 计算： （1）(- 3a2 )3 + (- 4a3 )2 （2）a × a3 - (2a2 )2 + 4a4 （3）m × m5 + (- 2m3 )2 - 4(m2 )3 （4）a3 × a4 × a + (a2 )4 + (- 2a4 )2 3 解答: 已知x2n = 3, 求(3x3n )2 的值.