四川省泸州市叙永县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

叙永县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知空间上点和，则为
A．3 B．4 C．5 D．1
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于
A． B． C． D．
3．已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为
A． B． C． D．
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
5．直线与直线互相平行，则实数
A． B．4 C． D．2
6．若方程表示圆，则m的范围是
A． B． C． D．
7．设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是
A． B． C． D．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
10．中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 65 16
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是
A． B． C． D．
11．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是
A．的倾斜角等于
B．在轴上的截距等于
C．与直线垂直
D．与直线平行
12．在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是
A．当时，平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，△PBD的面积为定值
D．当时，直线与所成角的取值范围为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知一组数按从小到大顺序排列的数据：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；这组数据的第30百分位数为 .
14．已知三点共线，则的值为 .
15．设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于 ．
16．设点P(x，y)是圆C：x2+(y-2)2=1上的动点，定点A(1，0)，B(－1，0)，则的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）对某班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示．
（1）求实数m的值并估计每位同学每天参加课外活动的平均时间；
（2）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．
18．（12分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线AC所在直线的方程．
19．（12分）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
(1)写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
(2)写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．
20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积.
21．（12分）如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.
(1)求证：平面平面PAC；
(2)若，求二面角A-OP-G的余弦值.
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
叙永县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案：
1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．D
9．BC 10．ABC 11．CD 12．ABD
13．37 14． 15． 16．8
17．解：（1）由频率之和为1可得，解得，
每位同学每天参加课外活动的平均时间为分钟；
（2）每天参加活动不少于50分钟的人有人，设为,甲，
则从中任选3人，可能情况有abc，abd，ab甲，acd，ac甲，ad甲，bcd，bc甲，bd甲，cd甲，共10种，
其中的男生甲被选中的情况有ab甲，ac甲，ad甲，bc甲，bd甲，cd甲，共6种，
则男生甲被选中的概率为.
18．解：（1）解法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以．所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
解法二：因为矩形ABCD中，，所以设AD边所在直线的方程为：．又因为直线AD过点，所以将点代入上式得，解得．所以AD边所在直线的方程为：；
（2）由，解得，即，所以对角线AC所在直线的方程：，即．
19．解：（1）依题意，， “乙队连胜四场”的事件为ACAC，
所以.
（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；
“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，
所以，“比赛四场结束”的概率为
．
（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
20．解：（1）线段的中垂线方程为：，
圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.
由，得，∴圆心C为，又半径，
∴圆C的方程为.
（2）直线l垂直于直线，则
又直线l过原点，则直线l的方程为：，
所以点C到直线l的距离为：，
，
.
21．解：（1）证明：如图，延长OG交AC于点M.
因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以.
因为AB是圆的直径，所以，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以.
又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.
即平面PAC.
又平面OPG，所以平面平面PAC.
（2）以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，，
则，，，
平面OPG即为平面OPM，
设平面OPM的一个法向量为，
则
令，得.且
设平面AOP的一个法向量为，
则令，得.且
设所求二面角的平面角为，则：，
因为所求二面角为锐角，所以二面角A-OP-G的余弦值为
22．(1)由离心率.且左右顶点间距离为，
所以，，，
∴椭圆的标准方程为.
(2)由（1）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入椭圆的方程，整理得.
设，，则，②
由直线，令，
得，同理，
∴以为直径的圆的方程为，
即，③
由②得，
代入③得圆的方程为.若圆过定点，则
解得或
∴以为直径的圆恒过两定点，.