2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）教学设计（表格式）

课题 二次函数与一元二次方程、不等式（1）
教学目标
教学目标： 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2. 理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，认识到函数的重要性，体会数学的整体性； 3. 能够体会归纳，概括的方法，把握三者之间的内在联系，借助二次函数，求解一元二次不等式，渗 透数学建模的素养，提升数学运算素养. 教学重点： 从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中， 获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法. 教学难点： 从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，并归纳概括出一元二次不等式的一般性解法.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5 引入 同学们，大家好，今天我们来一起学习第二章第三节，二次函数与一元二次 方程、不等式. 二次函数与一元二次方程我们已在初中学过，你还记得它们吗？ 我们先来复习二次函数 = 2 + + ≠ 0的图象及性质： 这条 条轴抛是物否线交开以口及向交上点或可者以向由下判) 2 轴4对， 当 > 0 时，这条抛物线与 轴有两个不同的交点； 当 = 0 时，这条抛物线与 轴有且仅有一个交点； 当 < 0 时，这条抛物线与 轴无交点； 那么我们如何求解交点的横坐标呢？ 借助一元二次方程： 2 + + = 0 ≠ 0 当1 => 0 22 4二，次2 方=程 有两个不相 22 4 等的实根 当 = 0 时，一元二次方程有两个相等的实根：1 = 2 = 当 < 0 时，方程无实根. 下面我给出一个新的定义，二次函数的零点. 二次函数的零点：一般地，对于二次函数 = 2 + + ，我们把使2 + + = 0 的实数 叫做二次函数的零点. 所以，求解二次函数的零点，就是求解 二次函数图象与 轴交点的横坐标，也就是求一元二次方程2 + + = 0 的根， 所以零点的可能情况与方程解的情况是相同的.
那何为一元二次不等式呢？顾名思义，它也应该是一元二次大家族里的一个 成员，同时它又属于不等式的范畴，在介绍他之前，我们先来看一个实际问题！ 引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段 24 米长的栅栏. 我想用 这段栅栏围成一个面积大于 20 平方米的矩形苗圃. 设该矩形的一边长为米，请你 确定实数可以取哪些值？ 我们设矩形的一边长为米，其邻边的长度就为 12 米. 学生活动一： 同学们，你能把这道题中对于矩形面积的要求转化为一个不等式吗？ 对矩形面积的限制可以用不 > 20 一些 . 这往往会带给未知数 解一2！ 相乘的形式， 我们能否利用这个特征来解呢？ 右侧的 20 可以分解为 20 = 4 × 5 = 2 × 10 = 1 × 20 ，显然，
15 给出定义 探索解法
(
12

) 3 4 6
9 8 6
没什么有用的规律，所以从这个特征出发不易求解，即便现在解出来了，如 2 > 0 这个特征，运用不等式同解原理， 12 > 或 > 1 虽然左侧化为了一元一次形式，但右侧是分式形式，仍然不能求解！ 显然这是一类我们不曾接触过的不等式，用我们已学的方法解决不了. 我们先 来研究一下，应该如何为它命名. 我们回想一下一元一次不等式，它只含有一个未 知数，所以叫做“一元 ”. 我们再来看这个不等式（用手指着屏幕），它也只含有 ，的 的最高次项的次数为 2 次，所以我们应该称它为一元二次不等式！ 定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式，他的一般形式是： 2 + + > 0 或 2 + + < 0 当然，还包括2 + + ≥ 0 或 2 + + ≤ 0 其中 一元二次不等式的一般形式： 2 12 + 20 < 0 怎么求解呢？让我们来观察它左式的特征吧，如果把未知数换成 , 你是不
(
是会联想到二次函数

=
2


21
+
02
？那么这二者之间是否存在关联呢？如果
) 你想不到的话，可以换成一次函数 = 12 + 02 与一元一次不等式 12 + 02 < 0， 二者首何先不，联我式，就能是使函2数 值1 2<+00 < 0 ，转化为二次函 数，就是求解自变量 取哪些值能使函数值 < 0. 这时，我们自然会想到利用二次 函数的图象. 右图是这个二次函数的图象，很显然， 自变量 在这一范围（用手指着屏幕比 划）内取值时，函数值 < 0. 由图可知， 的可能取值有无穷多个，不可能一一求 出，要想表达 的取值范围，必须求出这个范围的边界值！ 如何求解边界值呢？ 我想这可难不倒聪明的同学们，对不对？这些边界值正是二次函数的零点值， 也是，边界值. 求根公式： 1 = 12 64 = 2 ，2 = = 10， 所以边界值为1 = 2 ，2 = 10， 所以不等式的解集为 2 < < 10 . 答：这个矩形苗圃的边长取大于 2 且小于 10 的数时，苗圃的面积会大于 20 平方米. 学生活动二： 借助这个例题，我们认识了一种新的不等式—一元二次不等式，并且尝试利 用二次函数与一元二次方程解出了它的解集. 同学们，现在你们能否自己写出一个 一元二次不等式并把它解出来呢？ 你们看，我写出了两个一元二次不等式，你能把它们解出来吗？ 例（11 求2 下5 列+关6于>0 的一元二次不等式 特分：：这设个二不次等函 的 等2 是5 +“>6”，号出其图象，观察图象的哪些特征呢？ 解一元开二 与2 点5 + 6 = 0 ，得到二次函数的零点：1 = 2 ，2 = 3， 看函数：2一 的 般图象 写出不等式的解集：<3+ 2+02 <0，二 次项系数为负< 或3> 2值，. 不等号为“< ”号. (

解
1
一
=
，
次

方
2
2

+
2
+
3
=
0
，得到二次函数的零点：
)析：：有设两二种次解函法数 , = 2 + 2 + 3 ，绘出其图象，要注意开口是向下的. (
看函数的图象，写出不等式的解集：


>
3
或

<

1
.
)法二： 看设1般二函=数的图象 1，数 方 3写出不等式的解集：> 二次，=0系与变 为象 2 正，+>值开2或， 3口+不向 <3= 号01为同“>，”得号：
学生活动三： 通过这两个例子，我们发现在解一元二次不等式的过程中，二次函数与一元 二次方程起到了举足轻重的作用，更确切地说，我们在二次函数的图象中看出未 知数 的取值范围，利用一元二次方程解出这个范围的边界值. 由此可以看出，二 次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这三者是紧密联系在一起的，我们应 该如何描述他们之间的关系呢？ 二次函数 = 2 + + ≠ 0〕 一元二次方程： 2 + + = 0 ≠ 0) 一元二次不等式： 2 + + > 0 或 2 + + < 0 ， ≠ 0 通过每一个二次函数，我们可以构造与之对应的一元二次方程与一元二次不 等式，它们左侧的代数式与函数的解析式是完全相同的. 从这个角度来说，方程本 质上就是在解自变量取何值时函数值等于零，对应的就是二次函数的零点，不等 式就是在解自变量取何值时函数值大于零或小于零，不等式解集的边界值就是二 次函数的零点，也就是方程的解，方程与不等式合在一起解决了自变量取何值时 函数值为正、为零、为负的问题！ 从这个角度思考，在解一元二次不等式时，我们回归到二次函数是很自然的 事情啊！二次函数是本质嘛！ 接下来，我们就尝试初步得出一元二次不等式的通用解法： 对于一元二次不等式2 + + > 0 或 2 + + < 0 ≠ 0， 第一步，我们设二次函数 = 2 + + ≠ 0) 不难，下，转 形，只需改变不等号的方向. 所以在这里我们只需归纳概括 一元二次不等式2 + + > 0 或 2 + + < 0 > 0) 的通用解法. 第二步，通过解一元二次方程： 2 + + = 0 > 0解出二次函数的零点. 前 面的例题都是有两个不等实根的情形，请同学们回忆一下，实际上一元二次方程 的解有几种情况啊？ 当 > 0 时，方程有两个不相等的实根，1 = 2+ , 2 = 2 ; 当 = 0 时，方程有两个相等的实根，1 = 2 = ; 当 < 0 时，方程无实根，函数无零点. 那么这三种情况下，不等式的解集分别是什么呢？ 请各位同学完成下表： 一元二次不等式2 + + > 0 或 2 + + < 0 > 0的解集的一般性结 论
判别式 = 2 4 > 0 = 0 < 0
练习 总结与提升 二次函数 = 2 + + 的图象 O (
O
) (
L
=
) (
O
) 一元二次方程 2 + + = 0 的根2,1 = 2± （不妨设1 < 2 ） 1 = 2 = 无实根2 + + > 0 的解集 < 1 或 > 2 ≠R2 + + < 0 的解集 1 < < 2
练习（求1：下二2 列关 于 的1=9元02 二 次6 不+等1式 (
3
) (
1
)开口向上， = 36 4 × 9 = 0 ，零点为 = 观察函数图象，得到不等式的解集为： ≠ (
开口向上，

=
4 4
× 3
<
0
，无零点
)2：）设 函 02 2 + 3 观察函数图象，得到不等式的解集为： ∈ 回归二次函数，求解一元二次不等式的方法是不是非常神奇呢？解一个不等 式的过程竟然用到了函数的图象. 有些同学们肯定联想到了什么，请大家也想一 想，在初中，咱们还遇到过哪三个数学概念间有类似的联系？与本节课内容非常 相似，只不过不是一元二次的！ 正确，就是一次函数、一元一次方程、一元一次不等式这三者的关系！ 一次函数 = + ≠ 0 一元一次方程： + = 0 ≠ 0 一元一次不等式： + > 0 或 + < 0 ， ≠ 0 一元一次方程的根正是一次函数的零点，我们也可以通过观察一次函数的图 象得到一元一次不等式的解集！数学竟然这么奇妙，不仅函数有函数的体系，方 程有方程的体系，不等式有不等式的体系，同种类型的函数、方程、不等式之间 竟然也有如此紧密的联系，数学是一个整体，是一张严谨密不透风的网，是一个 完整的体系！我们要穷尽一生去发现其中的奥秘！
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