5.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第二课时）教学设计（表格式）

课题 函数 y = Asin( ωx+φ)的图象（2）
教学目标
教学目标： 1 ．掌握参数 A ， w对函数 y = Asin( ωx+φ)图象的影响，理解参数 A ， w在圆周运 动中的实际意义. 2 ．能从正弦曲线出发，经过平移变换、横坐标的伸缩变换（周期变换）、纵坐标的伸缩 变换（振幅变换）三种图象变换得到函数 y = Asin( ωx+φ)的图象，理解从正弦曲线到函 数 y = Asin( ωx+φ)图象的变换过程. 3 ．在探究图象的变换过程中，体会从特殊到一般的研究方法，发展数学抽象、逻辑推 理与直观想象的学科素养. 教学重点：参数 A ，w对函数 y = Asin( ωx+φ)图象的影响. 教学难点：参数w对函数y = Asin( ωx+φ)图象的影响.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 （一） 回顾旧知 引导语：上一节课我们通过对筒车运动的研究，用三角函数模型刻画 了现实世界中的匀速圆周运动 ． 利用三角函数的知识建立了形如 y = Asin( ωx+φ) （其中 A＞0 ， ω>0 ）的函数． 以以往研究函数的一 般思路，为了研究这个函数的图象与性质，就需要明确参数 A ，w，j 对 函数图象的影响．请同学们回答以下问题： 问题 1：研究参数 A ， w ，j 对函数 y = Asin( ωx+φ)图象的影响 是按怎样的思路展开研究的？
问题 2：研究参数j 对函数 y = sin（x+φ)图象的影响时，是怎样进 行研究的？ 师生总结： 对三个不同的参数控制变量：相对固定其中两个，仅一个变动； 从 局部到整体，分别研究 A ，w ，j 对函数图象的影响. 在研究参数j对函数 y = sin（x+φ)图象的影响时，研究过程是从j 取特殊值入手，观察了j 取特殊值时的函数图象，并猜想验证．在这个过 程中，关键是分析清楚了 y = sin x 与 y = sin（x+）图象上点的关系， 从而由特殊到一般，获得一般性结论.
17 分 钟 （二） 探究新知 引导语：这节课我们继续研究参数 ω( ω>0）、A（A＞0）对函数图象 的影响. 1 ．探索参数 ω( ω>0）对函数 y = sin( ωx+φ)图象的影响. 问题 3：类比参数j 对函数 y = sin（x+φ)图象影响的研究过程，你 计划怎样研究参数 ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响？ 生： 明确研究思路：仍然可以用从特殊到一般的研究方法探索参数 ω( ω>0）对函数y = sin( ωx+φ)图象的影响. 师：引导学生明确研究思路后，提出以下追问. 追问： （1）结合筒车模型， ω 取不同值表示什么含义？ （2）若给 ω 赋特殊值，你认为给j 取哪个特殊值比较合适？ 生：结合筒车模型，分析 ω 的实际意义. 师： 引导学生理解 ω 的实际意义， 明确接下来的研究对象： 函数 y = sin( ωx+）与 y = sin（x+）的图象之间的变换关系. 师生分析：结合筒车模型，ω 代表角速度，ω 取不同值表示质点以不
同 的 角 速 度 做 匀 速 圆 周 运 动 ． 前 面 我 们 研 究 了 j= π 6 时 的 函 数
y = sin（x+）的图象 ，所以不妨设j= ， 固定j 的值 ， 改变参数 ω( ω>0），研究函数 y = sin( ωx+）与 y = sin（x+）图象之间的变换 关系.
设计意图：引导学生类比参数j 对函数 y = sin（x+φ)图象影响的研 究过程 ， 明确参数 ω( ω>0）对函数 y = sin( ωx+φ) 图象影响的研究思 路．结合筒车模型，引导学生理解 ω 的实际意义，为后面的探索做好准备. 下面我们继续借助信息技术进行实验探究. 师：结合信息技术动态演示 ω=1时，动点 G 的轨迹以及动点 G 对应 的函数解析式. 我们知道，动点M 在单位圆 O1 上以单位角速度（即 ω=1）按逆时针 方向运动，如果动点M 以 Q1 为起点（此时j= ），经过 x s 后运动到点 P ，那么点 P 的纵坐标就等于sin（x+），所以以（x, y）为坐标描点 G ， 点 G 的轨迹对应的函数解析式是 y = sin（x+）. 问题 4：若取 ω=2 ，动点M 1 以 Q1 为起点，在单位圆 O1 上以角速度 ω=2按逆时针方向运动，经过x s 后运动到点 P1 ，那么点 P1 的纵坐标是什 么？ 生：点 P1 的纵坐标就等于sin（2x+）. 追问：此时，以（x, y）为坐标描点 H ，点H 的轨迹对应的函数解析 式是什么？ 生：点H 的轨迹对应的函数解析式是 y = sin（2x+）. 师：结合信息技术动态演示 ω=2时，动点H 的轨迹. 问题 5：函数y = sin（2x+）与y = sin（x+）的图象之间存在怎样
的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变 化的角度进行解释吗？ 生：思考、交流. 师：引导学生分析，学生遇到困难时进行点拨. 师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个 动点都以 Q1 为起点， 以 ω=1和 ω=2的不同角速度绕单位圆逆时针方向运 动，到达同一位置 P 时， ω=2 时的运动时间始终是 ω=1时运动时间的 ．对应地 ，设 G（x , y）是函数 y = sin（x+）图象上的一 点 ，那么 K（ x, y）就是函数 y = sin（2x +）图象上的相应点. 问题 6：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从 函数 y = sin（x+）的图象得到函数 y = sin（2x +）的图象？ 生：思考，交流. 师：引导学生理解图象变换的本质是图象上点的变换. 总结： 函数 y = sin（2x +）的图象是把函数 y = sin(x +) 的图象 上所有 点 的横坐标缩短 到 原来 的 （纵坐标 不变 ） 得 到 的 ． 并且 y = sin（2x +）的周期为 π , 是y = sin（x+）的周期的 . 问题 7：如果 ω 取 ， 3 ， 时，对应的函数y = sin( ωx+）的图 象与 y = sin（x+）的图象之间存在怎样的变换关系？ 生：仿照上面的研究过程分析、交流.
师：以 ω= 为例，动点的转速是 ω=1时的 ，以 Q1 为起点，到达点 P 的时间是 ω=1时的 2 倍，所以把y = sin（x+）图象上所有点的横坐标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 （纵 坐 标 不 变 ）， 就 得 到 y= sin（x+）的 图 象．y = sin（x+）的周期是 4π , 是 y = sin（x+）的周期的 2 倍. 我们借助信息技术一起直观感受一下. 问题 8： 结合上面的研究过程，你能给出 ω( ω>0）的变化对函数 y = sin( ωx+φ)图象影响的一般化结论吗？ 总结：一般地，函数 y = sin( ωx+φ)的周期是 , 把 y = sin（x+φ) 图象上所有点的横坐标缩短（当 ω>1时）或伸长（当 0< ω＜1时）到原 来的倍（纵坐标不变），就得到 y = sin( ωx+φ)的图象. 设计意图：通过本环节，让学生理解具体的匀速圆周运动规律与三角 函数解析式及其图象之间的本质联系，突出参数 ω 的实际意义．在研究过 程中，引导学生体会从特殊到一般，具体到抽象的过程，同时借助信息技 术，动态演示，帮助学生更加直观地观察参数 ω 对函数图象的影响，并用 数学的语言准确地描述数学对象，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的 学科素养. 2 ．探索参数 A（A＞0）对 y = Asin( ωx+φ)图象的影响. 师：类比参数j ， ω 对函数 y = sin( ωx+φ)图象影响的研究过程， 我们可以用相同的方法来研究参数 A 对函数 y = Asin( ωx+φ)的图象的 影响．请同学们思考： 问题 9： （1）结合筒车模型， A 取不同值表示什么含义？ （2）若给 A 赋特殊值，你认为给j ， ω 取哪个特殊值比较合适？ 生：结合筒车模型，分析 A 的实际意义. 师： 引导学生理解 A 的实际意义， 明确接下来的研究对象： 函数 y = Asin（2x+）与 y = sin（2x+）的图象之间的变换关系.
师生分析：结合筒车模型， A 代表质点做匀速圆周运动的运动半径， A 取不同值表示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动．同样地，为了 研究方便，不妨设j= ， ω=2 ，固定j ， ω 的值，改变参数 A（A＞0）， 研究函数 y = Asin（2x+）与 y = sin（2x+）的图象之间的变换关系. 设计意图：引导学生类比参数j ， ω 对函数 y = sin( ωx+φ)图象影 响的研究过程， 明确参数 A（A＞0）对函数 y = Asin( ωx+φ)图象影响的 研究思路．结合筒车模型，引导学生理解 A 的实际意义，为后面的探索 做好准备. 问题 10：若取A=2 ，设射线 OQ1 与以 O1 为圆心、2 为半径的圆交于 点 T1 ，如果单位圆上以 Q1 为起点的动点M ，以 ω=2的转速经过x s 后到 达圆周上的点 P ，那么点 P 的纵坐标是sin（2x+），相应地，动点M 1 在以 O1 为圆心、2 为半径的圆上，以 T1 为起点，ω=2的转速经过x s 后到 达圆周上的点 T ，那么点 T 的纵坐标是什么？ 师：借助信息技术演示. 生：点T 的纵坐标就等于 2 sin（2x+）. 追问：此时，以（x, y）为坐标描点 H ，点H 的轨迹对应的函数解析 式是什么？ 生：点H 的轨迹对应的函数解析式是 y = 2 sin（2x+）. 问题 11：函数 y = 2 sin（2x+）与 y = sin（2x+）的图象之间存在 怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐 标变化的角度进行解释吗？ 生：借助前面的研究过程，分析、交流.
师：在学生困难的地方进行点拨，借助信息技术动态演示，引导学生 得出一般性的结论. 师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以 O1 为圆心， 半径分别为 1 和 2 的圆上，两个动点分别以 Q1 和T1 为起点， ω=2的转速 经过x s后分别到达圆周上的点 P 和点 T ，易得点T 的纵坐标是点 P 的纵 坐标的 2 倍．对应地，设 K（x , y）是函数 y = sin（2x+）图象上的一点， 那么 N（x , 2y）就是函数 y = 2 sin（2x +）图象上的相应点. 问题 12：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何 从函数 y = sin（2x+）的图象得到函数 y = 2 sin（2x +）的图象？ 生：思考，交流. 总结：函数 y = 2sin（2x +）的图象是把函数 y = sin（2x+）的图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到的. 问题 13：如果 A 取 ， 3 ， 时，对应的函数 y = Asin（2x+）的 图象与 y = sin（2x+）的图象之间存在怎样的变换关系？ 你能给出 A（A＞0）的变化对函数 y = Asin( ωx+φ)图象影响的一般化结论吗？ 生：仿照上面的研究过程分析、交流. 师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论. 师生总结：以A= 为例，把函数y= sin（2x+）的图象上所有点的纵
坐标缩短到原来的 （横坐标不变），就得到y= sin（2x+）的图象. 一 般 地 ， 函 数 y = Asin( ωx+φ) 的 图 象 ， 可 以 看 作 是 把 函 数 y = sin( ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1时）或缩短（当 0＜A＜1 时 ） 为 原来 的 A 倍（横坐标 不变 ） 而得 到 ． 从 而 ， 函 数 y = Asin( ωx+φ)的值域是[－A，A] ，最大值是 A ，最小值是－A . 设计意图：通过探究参数 A 的变化对函数 y = Asin( ωx+φ)的图象 的影响，学生进一步体会由特殊到一般的思想方法，借助信息技术直观地 观察图象的变换关系，最后得出一般性的结论，在研究过程中，发展数学 抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养. 3 ．总结从正弦曲线出发，通过图象变换得到 y = Asin( ωx+φ)的图 象. 问题 14：我们分别研究了三个参数对函数y= Asin( ωx+φ)图象的影 响 ． 并 按 照 路 线 y = sin x y = sin（x+） y = sin（2x+） y = 2sin（2x+），你 能总结一下这个变换过程吗？ 生：总结变换过程： 步骤 1：把正弦曲线 y = sin x 上的所有点向左平移个单位长度， 得到y = sin（x+）的图象； 步骤 2：把函数 y = sin(x + ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来 的 （纵坐标不变），得到y = sin（2x+）的图象； 步骤 3：把函数 y = sin（2x+）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来 的 2 倍（横坐标不变），得到y = 2sin（2x+）的图象. 追问：更一般地，你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换 得到 y = Asin( ωx+φ)（A＞0，ω>0）图象的过程与方法吗？ 生：填写教科书第 236 页中的图表. 师生总结：
步骤 1：把正弦曲线 y = sin x 上的所有点向左（当 φ>0 时）或向右 （当 φ＜0 时）平移 φ 个单位长度 ，得到y= sin（x+φ)的图象. 步骤 2：把函数 y = sin(x +j) 图象上所有点的横坐标缩短（当 ω>1 时） 或伸长（当 0< ω＜1 时） 到原来的 倍（纵坐标不变），得到 y = sin( ωx+φ)的图象. 步骤 3：把函数 y = sin( ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1时）或缩短（当 0＜A＜1时）为原来的 A 倍（横坐标不变），得到 y = Asin( ωx+φ)的图象. 师 ： 以 上 变 换 过 程 ， 是 按 照 前 面 的 研 究 顺 序 ： y = sin x y = sin（x+φ) y = sin( ωx+φ) y = Asin( ωx+φ) , 总 结了由从正弦曲线出发，通过图象变换得到y= Asin( ωx+φ)图象的变化 过程．事实上，一开始研究时，同学们也会提到不同的研究顺序，例如： 先从 A 入手进行研究，当然也可以有其他顺序，留给同学们课后研究、讨 论. 设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子 中归纳概括一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得 到 y = Asin( ωx+φ)图象的过程与方法.
2 分 钟 （三） 学以致用 引导语：下面我们应用本节课学习的知识完成一道练习. 练习： 已知函数 y = 3sin x 的图象为 C . （1）为了得到函数 y = 3sin 2x 的图象，只要把 C 上所有的点 （A）横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 （答案：B） （2）为了得到函数 y = 4sin x 的图象，只要把 C 上所有的点 （A）横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变
（B）横坐标缩短到原来的 （C）纵坐标伸长到原来的 3 4 4 3 , 纵坐标不变 倍，横坐标不变
（D）纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 （答案：C） 生：独立完成，巩固新知. 设计意图：考查学生对参数 A ， w对函数 y = Asin( ωx+φ)图象影 响的掌握.
2 分 钟 （四） 归纳总结 布置作业 (
现实世界中的
匀速圆周运动
) (
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
) (
函数
y
=
A
sin
(
ωx
+
φ
)
的性
)回顾两节课的学习过程，我们以现实世界中的匀速圆周运动为背景， 建立了函数 y = Asin( ωx+φ) , 为了研究这个函数的性质，关键是研究参 数 A ， w ，j 的变化对函数图象的影响（出示知识结构）. 参数 A ， w ，j 对函数 y = Asin( ωx+φ)图象的影响
函数 y = Asin( ωx+φ) 的简单应用
本节课重点研究了w ， A 对函数 y = Asin( ωx+φ)图象的影响，在 研究过程中，进一步体会了从特殊到一般、数形结合的思想方法，发展了 数学抽象、逻辑推理以及直观想象的学科素养．下节课我们将运用函数 y = Asin( ωx+φ)的图象与性质来解决一些问题. 布置作业： 1 ．教材 240 页习题 5.6 的第 1 题. 2．选择不同的变换过程，写出如何由正弦曲线 y = sin x 通过图象变 换得到函数 y = 3sin（3x- ）的图象.