5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第一课时）教学设计（表格式）

课题 函数y=Asin(ωx+φ)的图象（1）
教学目标
教学目标： 1. 了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密 切联系； 2.掌握参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，通过信息技术建立并控制参数φ的变化，理解参数φ在圆周运动中 的实际意义，感受数学的应用价值； 3.感受发现问题提出问题的过程，发展数学建模、数学抽象与直观想象的数学素养. 教学重点： 用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程； 参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响. 教学难点： 数学建模的过程与方法； 参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分钟 创设问题情境 提出研究问题 引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时 针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画. 对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面看一个 实际问题： 筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农 村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原 理. 问题 1：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度 与时间的关系吗？ 师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角 函数模型刻画它的运动规律.
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设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引 导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体 现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和 解决问题.
4 分钟 抽象简化问题 建立函数模型 问题 2：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间 t s 后，盛 水筒距离水面的高度 H 与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度 H，由以下量所决定：筒车转轮的 中心 O 到水面的距离h，筒车的半径r ，筒车转动的角速度ω , 盛水筒的初始位置 P0 以及所经过的时间 t . 以 O 为原点，以与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．设 t=0 时，盛水 筒 M 位于 P0 ，以 Ox 为始边，OP0 为终边的角为φ , 经过时间 t 后运动到点P（x,y）. 于是，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为wt +j ，并且有 y = r sin(wt + j) . ① 所以，盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是 H = r sin(wt + j) + h . ② 通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中 A > 0, w > 0 ） 的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角 函数刻画，现代依然有研究的价值. 设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速 圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数 y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼 光看现实世界，用数学的语言描述世界.
2 分钟 明确函数 y=Asin(ωx+φ) 的研究思路 引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中 A > 0, w > 0 ）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒 的运动规律．这个函数由参数 A，ω , φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义， 知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质. 问题 3：从解析式看，函数y=sinx 就是函数y=Asin(ωx+φ)在 A=1，w=1，j=0 时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx 的图象与性质研究参数 A，ω , φ 对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认 为应该按怎样的思路进行研究？ 师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动； 先分 别探讨φ 、ω 、A 对函数图象的影响，再综合. 设计意图 :引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习， 学会学习.
13 分钟 探索参数φ对函 数y=sin(x+φ)图 象的影响 问题 4：不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数 y=sin x 与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影 响，借助信息技术进行实验探究. 如图，取 A=1，w=1 ，动点M在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动. （1）如果动点M以Q0 为起点（此时j=0 ），经过 x s 后运动到点 P ，设点 P 的纵 坐标y ，以（x，y）为坐标描点 F，作出点 F 的轨迹. . 追问：P 的纵坐标y 等于什么？点 F 的轨迹对应的函数解析式是什么？ 师生分析：y=sin x ，点 F 的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sin x.
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（2）在单位圆上拖动起点Q0 ，使点Q0 绕圆心旋转 p 6 到Q 1 ，即：起点位于Q 1 ，
j = ，你发现图象有什么变化？ 此时，点 P 的纵坐标是什么？点 F 的轨迹对应的函数解析式是什么？ 师生分析：此时以 Ox为始边，OP 为终边的角为 x + ，因此 P 的纵坐标 y = sin(x + ) ，点 F 的轨迹对应的函数解析式是函数 y = sin(x + ) .
（3）j = p 6 时的函数 y = sin(x + ) 与j = 0 时的函数y=sin x 的图象之间具有
怎样的关系？你能结合点 P 的运动规律解释图象间的关系吗？ 在单位圆上的，设两个动点分别以Q0 ， Q 1 为起点同时开始运动. 到点 P 的时间图象上点函数Q 0 到 PxF (x, y)y=sinxQ 1 到 Px - G(x - , y)y = sin(x + )
这说明，把正弦曲线y=sinx 上的所有点向左平移 p 6 个单位，就得到
y = sin(x + ) 的图象.
（4）如果φ的值取 p , 6 p , 3 - ，说一说你的发现，并给出合理的解释.
（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的 图象的影响的一般化结论吗？ 一般地，当动点 M 的起点位置Q 所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ) (j 0) ，把正弦曲线上的所有点向左(当j > 0时) 或向右(当j < 0时) 平移j 个单位 长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象. 练习： 1. 为了得到函数 y = sin(x - ) 的图象，只需要将正弦曲线上的所有点
( ) . （A）向左平行移动 （B） 向右平行移动 （C） 向左平行移动 p 5 p 5 1 5 个单位长度 个单位长度 个单位长度
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（D）向右平行移动 个单位长度 2. 将函数 y = sin(x + ) 的图象向左平移个单位长度后得到函数 y = g (x) 的图象，则 y = g (x) 的解析式是( ) . （A） y = sin(x + ) （B） y = sin(x - ) （C） y = sin(x + 1) （D） y = sin(x + ) 设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.老师通过 追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对 函数y=sin(x+φ)图象的影响，提升直观想象和逻辑推理能力.
2 分钟 课堂小结 回顾本节课学习内容，回答以下问题 : (1) 本节课我们研究了什么问题？研究的路径是怎样的？ 研究了对于一个一般的匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题. 实际问题 转化 数学问题 构建 函数y=Asin(ωx+φ). (2) 如何理解函数y=Asin(ωx+φ)中参数φ的物理意义以及它对函数 y=Asin(ωx+φ)的影响？ φ指动点M 的起点位置Q 所对应的角，此时对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0）， 把正弦曲线上的所有点向左(当j > 0时) 或向右(当j < 0时) 平移j 个单位长度，就 得到函数y=sin(x+φ)的图象. (3) 在研究函数y=Asin(ωx+φ)的过程中，有哪些思想方法值得借鉴？ 从特殊到一般； 控制变量. 设计意图:梳理本节课的知识和研究过程，以及体现的数学思想方法，进一步 体会研究数学对象的思路和方法，以及数学建模的过程与方法.
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