3.4函数模型的应用 第二课时 教学设计（表格式）

课题 函数模型的应用（2）
教学目标
教学目标： 1.了解各函数模型的的特点，能根据实际问题的需求，合理选择函数模型解决实际问题； 2.准确把握用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程； 3.在实际问题的解决过程中，感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建 模的数学素养. 教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般 过程. 教学难点：如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分钟 （一）温故 知新 回顾一下我们曾经用过的函数模型 (1)y ＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)(2)y ＝ax2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)(3)y ＝bax ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0 ，a>0 且 a≠1) (4)y ＝mlogax ＋n(m ，a ，n 为常数，m≠0 ，a>0 且 a≠1)(5)y ＝axn＋b(a ，b 为常数，a≠0)
师生活动：学生独立思考、讨论交流. 教师提问：我们一起回顾常见函数模型，而在实际问题中，有的 能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型
加以解决. 设计意图：通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，运用函 数模型分析解决实际问题.
14 分钟 例题教学 例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元， 以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0.4 元， 以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 问题 1：请初步选择一种你认为合适的投资方案. 追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其 中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模 型吗？ （2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标 准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？ （3）根据例 1 中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表 现出的回报资金的增长差异有什么认识？ （4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三 种方案的特点吗？ 师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量 关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天 数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情 况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断. 设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还 要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针 对性地给出不同的台阶，做到 “总体引导，分层指导 ”，结合学生的 实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题 转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异
选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型 的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指 数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是 引导学生通过观察增加量体会指数函数 y = 0.4 2x-1 （x N* ）的 增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“指数增长 ” “直线上升 ”“指数爆炸 ”的实际含义，并通过描述三种方案的特点， 为下一个问题埋下伏笔. 这里可以提示学生，用数表和图象分别呈现它们的变化趋势， 各有优势，数表准确，但对于趋势的刻画并不直观，而图象则可以直 观刻画出三者的变化趋势，但从图中并不能准确读出精确数据。让学 生学会在不同场景，不同需求下作出正确选择. 问题 2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？关于三种 投资方案的选择，你应当如何判断？ 追问：教科书 152 页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方 案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？ 师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量 （或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可 以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报 的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导 学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题 2 的基础上，给出本题的完整解答. 指数增长用在收入上是好事，但如果是借钱还款的模式，后果不 堪设想，提醒学生警惕生活中的陷阱，例如“校园贷 ”、“套路贷 ”等 骗局，要学会用数学知识保护自己！ 设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学 生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时 间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断. 例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励 销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行 奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加
而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%．三 个奖励模型：y = 0.25x ，y = log7 x +1 ，y = 1.002x ，其中哪个 模型能符合公司的要求？ 提示学生注意，题目的两个条件有选择的先验证，即不能超过 五万；要让学生从思想的角度给出判断和理由，因为这也是在处理实 际问题时必须要关注的一件事，先验证比较容易实现的，或者可以快 速筛选下去不符合条件的选项. 问题 3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公 司的要求？ 追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函 数模型有什么帮助？ （2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断 函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过 观察作出初步的判断吗？ 师生活动：教师可以在学生思考问题 3 的基础上，提出追问中的 问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系， 引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型. 设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对 性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问 题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备； 追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判 断，从而实现将实际问题向函数模型转化. 问题 4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？ 在给出解答这个环节要注意方法的选择，有的可以通过直接计算 得出结论，有的则需借助趋势判断，有的借助计算工具完成估算，要 注意这里的细节处理. 特别是第二个条件的验证，中间包含了很多数学问题的等价转化 策略，如何利用函数性质和信息技术配合论证等，这些对于处理复杂 的实际问题都有指导意义，注意挖掘.
追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？ （2）能否给出本题的解答过程？ 师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问 题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图 象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果. 设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质 选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出 判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运 用函数观点分析问题.
5 分钟 （三 ） 课 堂练习 1．为了能在规定时间内完成预期的运输量 Q0 ，某运输公司提出 了五种运输方案，每种方案的运输量 Q 与时间 t 的关系如下图所示．运 输 效 率 （单 位 时 间 内 的 运 输 量 ） 逐 步 提 高 的 图 象 编 号 是 . _______________ ② 2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4000 辆次，存车费为： 电动自行车 0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆．若该天普通自行车存 车 x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 与 x 的函数关系式为( ) A．y ＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y ＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y ＝－0. 1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y ＝0. 1x＋1 200(0≤x≤4 000) C 3．若等腰三角形的周长为 20 ，底边长y 是关于腰长 x 的函数， 则它的解析式为( ) A．y ＝20－2x(x ≤10) B．y ＝20－2x(x＜10)
C．y ＝20－2x(5≤x ≤10) D．y ＝20－2x(5＜x＜10) D 设计意图：考查根据题目条件，选择和求解函数模型刻画实际问 题的变化规律.
3 分钟 （四）归纳 总结、布置 作业 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题： 通过解答以上两道例题的实际问题，并结合上节课的所学内容， 你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？ 用框图将本节课内容多归纳总结 设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升 解决实际问题的能力. 布置作业：课后练习.