2.2基本不等式 第二课时 教学设计（表格式）

课题 基本不等式（2）
教学目标
教学目标：1 ．使学生进一步理解基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题； 2 ．通过运用基本不等式解决实际问题中的最值问题，使学生经历数学建模 的过程，并体会基本不等式在解决实际问题中的作用； 3 ．在运用基本不等式解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问 题的能力，发展学生的数学建模素养. 教学重点：运用基本不等式解决实际问题中最值问题的过程与步骤. 教学难点：如何运用基本不等式解决实际问题中的最值问题.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
4 分 钟 复习引入 教师与学生共同回顾基本不等式的基本内容，以及运用基本不等式 研究最值问题的两个重要模型，为本节课的进一步学习做好铺垫.
1. 基本不等式：如果 a>0 ，b>0 ，那么 < 等号成立. 2. 已知 x，y 都是正数， a + b 2 , 当且仅当 a=b 时，
（1）如果积xy 等于定值 P ，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 . （2）如果和x+y 等于定值 S，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值 . 教师追问：请同学们尝试用自然语言，一句话表达出上述（1）和（2） 这两个基本问题. 学生：当两个正数变量的积或和为定值时，它们的和有最小值或积有最 大值.
10 分 钟 研究新知 问题一 （1）用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多 少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为 多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 在此环节中，教师从以下两个方面引导学生对问题进行思考与分 析： ①教师引导学生回顾根据数学建模思想研究实际问题的一般过程. ②通过审题，教师分别针对（1）和（2）两个问题引导学生识别问 题中的数量关系，判断是否符合利用基本不等式解决最值问题的两个基 本模型的条件，即有两个正数变量，且它们的积或和为定值.
教师与学生共同完成问题一的解答过程如下. 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 xm，ym ，则篱笆的长度 为 2(x+y)m. （1） 由已知，得 xy= 100， 教师追问：当我们已知两个正数的积为定值时，如何求它们的和的最小 值呢？ 学生：运用基本不等式. 根据基本不等式 ， 可得x + y 2 = 2 = 20 ， 所以，2(x+y)≥40. 当且仅当 = = 10 时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为 10m 的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为 40m. （2） 由已知，得 2( + )=36 ，矩形菜园的面积为 m2. 教师追问：当我们已知两个正数的和为定值时，如何求它们的积的最大 值呢？ 学生：仍然是运用基本不等式 根据基本不等式可得， < = = 9 ， 所以，xy≤81. 当且仅当 x=y=9 时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为 9m 的正方形时，菜园面积最大， 最大面积是 81 m2. 【设计意图】通过对上述两个问题的研究，使学生体会如何运用基本不 等式模型来理解和识别实际问题，从而利用基本不等式解决实际问题. 特别地，在解决这两个问题的过程中，分别有不同的侧重点：对于问题 （1）重点分析变量的个数、已知条件、是否符合基本不等式的模型等 特征，以说明解决问题中每一步的必要性；对于问题（2）侧重于运用 基本不等式时判断等号是否成立的必要性的再认识，从而对实际问题的 结果的合理性作出解释.
8 分 钟 思维提升 问题二 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800m3 ，深为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元， 那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 在此环节中，首先由学生独立思考与分析，教师可建议学生画出几 何示意图进行研究. 然后，教师与学生共同进行分析，识别问题中的数量关系，结合已 知条件，引入适当的变量；根据题意可知，水池的总造价由池壁面积（也 就是长方体的侧面积）和池底面积（也就是长方体的底面积）及相应的 单价来确定的，从而可以将水池的总造价转化为关于池底边长的解析 式，进而可以考虑如何求出总造价的最小值. 教师与学生共同完成问题二的解答过程如下.
解：设贮水池池底的相邻两条边的长分别为 xm，ym ，水池的总 造价为 z 元. 根据题意，得 z= 150xy+120(2×3x+2×3y) = 150xy+720(x+y) 由容积为 4800m3 ，可得 3xy=4800， 因此 xy= 1600， 根据基本不等式可得， x + y 2 ， 根据不等式的基本性质可得，720(x+y) ≥720× 2 ， 所以，240000+720(x+y) ≥240000+720× 2 ， 则 z=240000+720(x+y) ≥240000+720× 2 =240000+720× 2 =297600. 当且仅当 x=y=40 时，上式等号成立. 所以，将贮水池的池底设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低， 最低总造价是 297600 元. 教师追问：同学们，你能自己设计一个有关最值问题的实际问题吗？并 解决它.你可以改变上述问题二中的某个条件或某些条件，或者另外设 计一个问题. 预案：①将问题二中的“容积为 4800m3 ”改为“容积为 6000m3 ”； ②将问题二中的“深为 3m ”改为“深为 4m ”； ③将问题二中的“池底每平方米的造价为 150 元 ”改为“池底每 平方米的造价为 180 元 ”；…… 【设计意图】通过对问题二中的实际问题的研究过程，使学生能够根据 数学建模的数学思想，将实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式 模型进行求解，最后将数学问题回归到实际问题中，得出实际问题的设 计方案；最后通过一个开放性问题，可以给学生一个自由发挥的空间， 有利于学生对问题的再认识.
3 分 钟 归纳小结 在此环节中，教师引导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深 化对数学思想方法的认识，逐步提升数学学科的核心素养. （1）基本不等式：如果 a>0 ，b>0 ，那么 < ，当且仅当 a=b 时，等号成立； （2）两个基本模型：当两个正数的积为定值时，当这两个正数相等时， 它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，当这两个正数相等时， 它们的积有最大值； （3）通过对实际问题的分析与解决，经历了数学建模的基本过程，体 会了数学建模的基本思想，逐步提升数学建模素养.