5.5简单的三角变换 第二课时 教学设计（表格式）

课题 简单的三角变换（2）
教学目标
教 学 目标 ：（1 ） 借助三 角恒 等变 换 ， 把 形 如 y = a sin x +bcos x 的 函 数转化 为 y = Asin(x +j) 形式的函数，并研究其性质； （2）体会三角变换在解决实际问题中的作用，加深对函数概念的认识和化归思想的理 解； （3）在实际问题的解决过程中，感受数学应用的价值，发展数学建模和数学运算的素 养. 教 学 重 点 ： 借 助 三 角 恒 等 变 换 ， 把 形 如 y = a sin x +bcos x 的 函 数 转 化 为 y = Asin(x +j) 形式的函数，并研究其性质. 教学难点：借助三角变换解决有关的实际问题.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
（一）问题 引导，引入 新知 随着三角恒等变换工具的增多，可以实现角的和差变化，三角函数 式结构的变化等．这节课，我们思考将这种变换实施在某些函数身上， 使得它们在变换以后可进行深度研究. 例 1 求函数y = sin x + cos x 的周期，最大值和最小值. 问题 1：请同学们根据已有的三角函数的知识对例题进行分析，说 出你的结论以及你的依据. 师生活动：教师提出问题，学生利用已学过的三角函数的性质分析
函数 y = sin x + cos x 的周期，最大值和最小值. 预案：函数 y = sin x 和y = cos x 的周期均为 2π , 最大值为 1 ，最 小值为- 1 ，由此猜测函数 y = sin x + cos x 的周期为 2π , 最大值为 1+ ，最小值为 一1一 ．针对学生的分析结论，师生开展讨论，相 互交流. 因为sin(2π + x) + cos(2π + x) = sin x + cos x ，由周期函数 的定义可知，2π是函数y = sin x + cos x 的周期，但是未证明 2π是 函数的最小正周期，证明的过程有能力的同学可以在课后尝试. 当 sin x = cos x = 1时，y = sin x + cos x 取到最大值1+ ．因 为 sin2 x + cos2 x = 1 ，则当sin x = 1时， cos x = 0 ，所以函数 y = sin x + cos x 的最大值是1+ 这个结论是不正确的．同理，函 数的最小值不是 一1一 . 问题 2：我们还学过哪种类型三角函数的周期、最值的求解呢？ 师生活动：在问题 1 得到矛盾后，教师引导学生回忆所学知识，函 数 y = Asin(负x +Q) （其中 A ，负 ，Q为常数，且 A 子 0 ，负 > 0 ）的 周期T = ，当负x +Q = + 2k π (k eZ) 时，函数 y = Asin(负x +Q) 取得最大值| A | ，当负x +Q = 一 + 2k π (k eZ) 时，函数取得最小值 一 | A | . 设计意图：从一个具体的函数出发，引导学生复习三角函数的周期、 最值的解法．在问题的分析过程中，明确化简的目标，为接下来的学习 过程做好铺垫，同时培养学生逻辑推理的数学素养. 问题 3：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 y = Asin(负x +Q) ，那是否可以将函数 y = sin x + cos x 转化为 y = Asin(负x +Q) 的形式？ 师生活动：教师提出问题，学生思索，交流，提出方案.
利用和角公式将 y = Asin(wx +j) 展开，可化为 y = Asin(wx) cosj+ Acos(wx) sinj . 令 sin x + cos x = Asin(wx) cosj+ Acos(wx) sinj，得w = 1 ， Acosj = 1 ，Asinj = ，则A2 cos2 x + A2 sin2 x = 4 ， A2 = 4 .
取 A = 2 ，则 cosj = 1 , 2 sinj = (
3
) 2 因此，可以利用和角公式将
y = sin x + cos x 转化为 y = Asin(x +j) 的形式. 解： y = sin x + cos x = 2(sin x + cos x) = 2(sin x cos + cos x sin ) = 2sin(x + ) . 因此，所求周期为 2π , 最大值为 2 ，最小值为-2. 设计意图：在明确化简目标 y = Asin(wx +j) 后，将y = Asin(wx +j) 的展开式与 y = a sin x +bcos x 进行对比，在差异中建立联系，确定对 y = a sin x +bcos x 怎样进行变形，最后对 y = a sin x +bcos x 进行变 形、化简，求解函数的周期和最大值、最小值.
12 分 钟 （二）方法 总结，巩固 提升 练习 1 求函数 y = 3sin x + 4cos x 的周期，最大值和最小值. 师生活动：学生根据例 1 的分析，完成练习，巩固通过三角恒等变 换化简函数表达式，分析函数有关的性质. 解：设 3sin x + 4cos x = Asin(x +j) ，则 3sin x + 4cos x = Asin x cosj+ Acos xsinj . 于是 Acosj = 3 ， Asinj = 4 ， 于是 A2 cos2 x + A2 sin2 x = 25 ， 所以 A2 = 25 . 取 A = 5 ，则 cosj = ， sinj = .
由y = 5sin(x +j) 可知，所求周期为 2π , 最大值为 5 ，最小 值为-5. 问题 4：请同学们将这种作法推广到函数y = a sin x +bcos x . 师生活动：教师引导学生将例 1 的方法进行推广，因为利用和角公 式将 y = Asin(x +j) 展开，可得y = a sin x +bcos x 的形式，其中 a = Acosj ， b = Asinj ．反之，利用和（差）角公式，可将 y = a sin x +bcos x 转化为y = Asin(x +j) 的形式，其中 A = ， cosj = ， sin j = ．进而就可以求得其周期和最 值. 设计意图：学生完成练习，巩固所学的知识．学生通过特殊形式的 函数再次明确转化的基本思路，并将问题一般化，实现从 y = a sin x +bcos x 到y = Asin(x +j) 的转化. 练习 2 化简 y = - sin x + cos x . 师生活动：教师给出了a < 0 的类型的变换，学生在明确化简目标 的前提下，将其转化为 y = Asin(x +j) 或y = Acos(x +j) 的形式. 解：法 1：将 - sin x + cos x 转化为 Asin(x +j) . 计算，得 A = = ，则 - sin x + cos x = (- sin x + cos x) . 令 cosj = - ， sin j = ，即j = . 所以， y = - sin x + cos x = (sin x cos + cos x sin) = sin(x + π) .
法 2：设 - sin x + cos x = Acos(x +j) ，则 - sin x + cos x = Acos x cosj- Asin xsinj . 3 2 则 Acosj = 2 ， Asinj = 2 ．得 A = 3 . 取 A = ，则 cosj = ， sin j = ，即j = . 所以， y = - sin x + cos x = cos(x + ) . 设计意图：对问题进行简单变形，给出了a < 0 的类型，学生在确 认转化目标的前提下，将其转化为 y = Asin(x +j) 或 y = Acos(x +j) 的形式.
6 分 钟 （三）应用 方法，解决 问题 角的概念起源于几何图形，三角函数与平面几何有着密切的内在联 系．有很多实际生活中的问题会以角为变量，可建立以三角函数为背景 函数进行研究. 例 2 如图，在扇形 OPQ 中，半径 OP= 1 ，圆心角∠POQ = ，C 是扇形弧上的动点，矩形 ABCD 内接于扇形．记∠ POC = α , 求当角α取何值时，矩形 ABCD 的面积 最大？并求出这个最大面积. 师生活动：教师给出问题，学生分析、交流．要 研究矩形面积的最大值，可先建立矩形 ABCD 的面 积 S 与α之间的函数关系 S＝f(α) ，再求函数 S＝f(α)的最大值．学生根据 三角函数式中角、三角函数名的不同，选择合适的公式，进行合理的变 形，研究三角函数的性质. 解：在 Rt△OBC 中，OB = cos α , BC = sin α . 在 Rt△OAD 中， = tan 60° = ． OA = 3 DA = 3 BC = 3 sin a . 设矩形的面积为 S，则 S= AB·BC = (cosa - sin a) sin a
2 = sin a cosa - 3 sin a 师生活动：学生会发现得到的函数的形式并不是a sin x +bcos x ，教师 引导学生分析解析式的特点，利用倍角公式将其转化. = sin 2a - (1- cos 2a) = sin 2a + cos 2a - = (sin 2a +cos 2a) - 1 π (
3
6
6
)= sin(2a + ) - . 师生活动：得到 y = Asin(x +j) + k 的形式后，教师引导学生根据实际 问题的背景分析自变量a 的取值范围，这是数学问题和实际问题联系的 关键. 由 0 < a < ，得 < 2a + < ，所以当 2a + = ，即
a = 时， (
最大
)S = 1 6 = (
3
) 6 .
因此，当a = 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 . 设计意图：角的概念起源于几何图形，三角函数与平面几何有着密 切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角 函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重 要的数学方法，体会三角函数的价值和作用.
1 分 钟 （四）课堂 小结，布置 作业 课堂小结：教师引导学生回顾本节知识．这堂课我们学习了 （1）通过三角恒等变换，把形如y = a sin x +bcos x 的函数转化为 y = Asin(x +j) 形式的函数，研究函数的周期、最值问题； （2）在几何问题中建立三角函数模型，通过三角恒等变换，解决 平面几何中面积的最值问题. 设计意图：教师引导学生复习本节课的内容，加深所学知识的理解.
布置作业：P228 练习 1 ，2 .