5.5简单的三角变换 第一课时 教学设计（表格式）

课题 简单的三角变换（1）
教学目标
教学目标： 1.进一步熟悉各组公式的内在联系，了解各组公式的功能及变形； 2.能利用公式完成简单的三角变换，为函数研究提供依据，提升数学推理的素养. 教学重点：整合各组公式的内在联系，把握公式的重要变形. 教学难点：认识三角恒等变换的特点.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
3 分 钟 复习 公 式， 引出 课题 学生活动 我们先来复习一下在三角恒等变换这一节中我们学习的公式： 我们先利用单位圆和两点间距离公式推出了 cos(a - b) = cosacosb + sin asinb， 然后将b代换为 - b得到 cos(a + b) = cosacosb - sin asinb， 然后又结合诱导公式进一步推出了 sin (a + b) = sinacosb + cosasinb， sin (a - b) = sinacosb - cosasinb， 然后又将两式相除得到
tan (a + b) tan (a - b) = = tan a + tan b 1 - tan a tan b ,
tan a - tan b 1 + tan a tan b ,
最后将式子中的a = b得到了二倍角公式 sin 2a = 2 sin a cos a ，
7 分 钟 分析 例 1，总 结特 点 cos 2a = tan 2a = cos2 a - sin2 a ，
2 tan a 1 - tan2 a ;
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新 工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 有了和（差）角公式和二倍角公式，进而可以解决三个角的和与差的问题，多 个角的和差问题，多倍角的问题等，既然倍角解决了，那么你能尝试半角吗？ 教师活动 例 1 试以cos a 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 问题 1：本题要求用角a 的余弦值表示角 的三角函数值，那么角a 与角有 什么关系呢？ 学生活动 分析：根据角a 是角 的二倍角，因此可以将二倍角公式 cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a 中的 2a替换为a ，a 替换为 ，就能
解决这个问题. 解：a 是 的二倍角， 以 代替a ，得 cos a = 在倍角公式cos 2a = 1 - 2 sin2 a 中，以a 代替 2a ， 1 - 2 sin2 ，所以 sin2 = .
在倍角公式 cos 2a = 2 cos2 a - 1中， 以a 代替 2a ，以 代替a ，得 cos a = 2 cos2 - 1 ，所以cos2 = . 将上述两式左右两边分别相除，得 tan2 = . 教师活动 例 1 我们得到了一组公式，我们来总结一下它们的特征：从结构上看，等式左 边都是三角函数的二次形式，而右边都是一次形式，因此此组公式有升降次的作用；
7 分 钟 分析 例 2，感 受化 归思 想 从角的特征来看，等式左边都是 ，而右边是C ，因此此组公式有升降角的作用. 问题 2：C 是 的二倍角，也就是说是C 的半角，你能依此得到半角公式吗？ 例 1 的结论还可以表示为： (
1
+
cos
C
2
) (
1
一
cos
C
1
+
cos
C
) (
C
) (
C
cos
=
±
2
) (
C
tan
=
±
2
) (
sin
=
±
2
) (
,
) (
,
)1 一 cos C 2 我们称之为半角公式.公式中的 ± 号体现了三角函数的取值有正负，与同角函数 关系式类似，具体取值与角所在的象限有关. 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的 角， 以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先 寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等 变换的一个重要特点. 教师活动
例 2 求证：（1） sinCcosβ = 1 2 [sin (C + β) + sin (C - β)]，
（2） sin θ + sin Q = 2 sin θ + Q 2 cos θ 一 Q . 2
问题 3：（1）式子中所包含的各个角有怎样的关系？你能得到什么样的启示？ 根据（1）式子中存在两角及它们的和与差（反之也是），式子结构从积到和差 （反之也是），式子结构从二次到一次（反之也是），要消除这种差异，你可以从哪 个角度入手呢？ 学生活动 选择和（差）角公式可以解决（1）题. 证明：（1）根据公式 sin (C + β) = sinCcosβ + cosCsinβ, sin (C - β) = sinCcosβ - cosCsinβ , 两式相加，得 sin (C + β) + sin (C - β) = 2sinCcosβ,
所以 sinCcosβ = 1 2 [sin (C + β) + sin (C - β)].
问题 4：（2）中式子两边在结构形式上与（1）有什么不同？ 根据两个式子的结构特点，（1）是将正余弦之积化为两正弦之和，（2）是将两
3 分 钟 分析 练习 1， 巩固 新知 正弦之和化为正余弦之积，而且对比角的关系，q = q + j 2 + q - j 2 且
j = - ， 因此考虑到它们之间的联系，采取换元法进行证明. （2）令a + b= a - b= φ , 则a = ， b = 代入（1）得：
sin cos + sin ( - )] (
cos
.
2 2
)q + j q- j
1 = 2 1 = 2 [sin (q j + ) (sinq + sinj)，
∴ sin q + sin j = 2 sin
教师活动 本题（1）的证明把sinacosb看作 x,将cosasinb看作 y,把等式看作 x,y 的方 程，则问题转化为解方程组求 x.（2）的证明用到了换元法，将a +b看作 将a-b看 作φ , 从而把包含a，b的三角函数式转化为 φ的三角函数式.它们都体现了化归思 想. 练习 1：求证： tan = 1 ia = 1 ia . 学生活动 证明：根据a 是 的二倍角，因此本题可从二倍角公式入手， (
所以
=
=
=
tan
，
)sin a 2 sin cos sin a (
1
+
(2
cos
1)
cos
)1 + cos a 2 a - a 2 2 2 (
sin
a
a
a
a
2
，
.
)1 - cos a = 1 - (1 - 2 sin2 ) = sin = tan a 得证 2 sin 2 cos 2 cos 2 小结： 通过本节课的学习，你是否理解了三角恒等变换的一个重要特点：从所包含的
1 分 钟 小结 知识 布置 作业 各个角之间的联系寻找适当的公式；你是否对三角恒等变换中的化归思想有了进一 步的认识. 课后作业： 1.课本 229 页 8 ，9 ，10 题.