5.5两角和与差的正弦，余弦和正切公式 第二课时 教学设计（表格式）

课题 两角和与差的正弦，余弦和正切公式（2）
教学目标
教学目标： 1. 以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角和与差的正弦，余 弦及正切公式，熟记公式，掌握公式的功能及其结构； 2. 初步应用这些公式，在引导学生进行观察，比较确定差异，寻找联系及联系 的途径的过程中，帮助学生认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，发展学生数 学运算素养； 3. 提升学生思维的有序性，逐步培养良好的思维习惯，发展学生逻辑推理素养， 培养数学整体观. 教学重点： 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其功能、结构、简单应用. 利用已知的函数模型解决实际问题. 教学难点： 两角和与差的三角函数与圆旋转对称性间的联系及对公式的全面理解.
教学过程
时间 教学环 节 主要师生活动
1分 钟 新课引 入 一 新课引入 上节课我们利用圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式，请同学们 在回顾推导过程的基础上写出差角的余弦公式 cos(a -b) = cosa cos b+ sin asin b
8分 钟 新课讲 解 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系. 二 新课讲解 问题1 由两角差的余弦出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？ 追问 1： 比较 cos(a -b) 与 cos(a+b) ，它们的异同点是什么？ 它们都是角的余弦，只是角的形式不同. 追问2： a -b与a+b之间有何种联系呢？ 一 方 面 从 运 算 的 角 度 看 ， 将 加 法 转 化 为 减 法 ： cos(a+b) = cos[a - (-b)] ；另一方面可以从换元角度考虑，将两角差的 余弦公式中的b换为 -b. 追问3： 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和 的余弦公式？ cos(a + b) = cos [a - (-b)] = cosa cos(-b)+ sin asin(-b) . = cosa cos b- sin asin b 问题2 你能根据两角和与差的余弦公式推导出用任意角a ，b 的 正弦、余弦表示的sin(a -b) 及sin(a + b) 公式吗？ 追问 1： 比较 cos(a -b) 与sin(a -b) ，它们的异同点是什么？ 它们包含的角相同，但是函数种类不同. 追问 2：角的正弦与余弦是否可以建立联系呢？ 通过诱导公式五（或六）可以实现正弦与余弦的互化. 追问 3：诱导公式五及诱导公式六是什么呢？ sin( - a) = cosa ， cos( - a) = sin a ， sin(+a) = cosa ， cos( +a) = - sin a . 追问4： 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角差 的正弦公式？
sin(c - β) = cos = cos( - c) cos β- sin( - c) sin β = sinc cosβ- coscsinβ 追问5： 依照上述解决问题的思路，你能直接写出两角和的正弦公式 吗？ sin(c + β) = sinc cosβ+ coscsinβ 问题3 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角 和与差的正弦 ，余弦公式出发 ，推导出用任意角 c ， β 的正切表示 tan(c + β) ， tan(c - β) 的公式吗？ 追问1： 如何用正弦函数、余弦函数表示正切函数？ sinc tan c = . cosc 追问2： :两角和的正切公式是否可以利用两角和的正弦公式与余弦公 式求得？ tan(c + β) = = . 追问3： 如何进一步转化为用任意角c ， β 的正切表示 tan(c + β) ？ 通过对分子、分母同时除以 cosc cos β转化，即 tan(c + β) = (
1
-
tan
c
.
tan
β
)= tan c + tanβ . 追问 4：如何用任意角c ， β 的正切表示 tan(c - β) ？ tan(c - β)= 1t. 教师小结： 用逻辑推理的方法我们以两角差的余弦公式
9分 钟 例 题 讲 解 cos(c 一 β) = cosc cos β+ sin csinβ为基础，将两角差的余弦公 式中的 β换为 一β或者利用 cos(c+β) = cos[c 一 (一β)] 得到两角和的余弦 公式 cos(c + β) = cosc cos β一 sin csinβ . 利用诱导公式五（或六）建立余弦与正弦的关系，得到 sin(c 一 β) = sinc cosβ一 coscsinβ ; 进而类似的得到 sin(c + β) = sinc cosβ+ coscsinβ . 利用正切函数与正弦函数与余弦函数的联系得到 tan(c + β) = 1ta一 t ; tan(c 一 β)= 1t. 同学们要逐步掌握公式的功能及其结构，熟记公式. 公式 S(c+β) ， C(c+β) ， T(c+β) 给出了任意角c ， β 的三角函数值与 其和角c+β 的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都 叫做和角公式． 类似地， S(c一 β) ， C(c一 β) ， T(c一 β) 都叫做差角公式. 问题4 如何利用利用两角和与差的正弦公式求sin 75。的值呢？ sin 75。= sin(45。+ 30。) = sin 45。cos 30。+ cos 45。sin 30。 + = . 4 sin 75。= sin(120。一 45。) = sin120。cos 45。一 cos120。sin 45。 + = 4 . 问题5 和 （差）角公式中，c ， β都是任意角．如果令c 为某 些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和 （差）角公式出发推导出 诱导公式吗？你还能得到哪些等式？请同学们课下思考.
三 例题讲解 例3 已知sin a = - ，a 是第四象限角，求 sin( - a) ， cos( +a) ， tan( - a) 的值. 问题6 根据题目已知条件，求解sin( - a) 的值会联系到什么公 式？ 联系到两角差的正弦公式 sin(a -b) = sin a cos b- cosasin b . 追问1： 本题利用两角差的正弦公式求解时两角分别是什么？ a 及 . 追问2： 在求解过程中需要用到a 及 哪些三角函数值？哪些值需要 根据已知进一步求解？
需要用到 cos ， 条件进一步求解. sin π , sina 4 ， cosa 四个值，cosa 需要根据已知
解： 由 sin a = - ，a 是第四象限角，得
(
2
3
2
4
)cosa = = 1- (- 5) = 5 3 所以 tana = = -45 = - . 5 于是有 sin( - a) = sin cosa - cos sin a = - (- ) = ； 追问3： 如果去掉已知条件中给出的“a 是第四象限角 ”这一限制条 件，对求解过程和结果会有什么影响？ 由于sin a = - < 0 ，a 是第三象限或第四象限角，去掉这一限制条
(
-
-
1
)件后要分类讨论，当a 是第三象限的角时， cosa = - ．结果为 - . 追问4： 能否借鉴第（1） 问经验求解第（2），（3） 问？ cos( +a) = cos cosa - sin sin a = - (- ) = ； tan( - a) = 1t = = =-7 . 1+ (- ) 追问 5： 由以上解答可以看到，在本题条件下有 sin( - a) = cos( +a) . 那么对于任意角a ，此等式成立吗？若成立，你能予以证明吗？ 这一计算结果具有一般性，对于任意角a ， sin( - a) = sin[ - ( +a)] = cos( +a) 成立. 例4 利用和 （差）角公式计算下列各式的值： （1） sin 72。cos 42。- cos 72。sin 42。； （2） cos 20。cos 70。- sin 20。sin 70。； 1+ tan15。 （3） 1 - tan15。 问题7 和、差角公式把a ±b的三角函数式转化成了a ，b 的三 角函数式．本题呈现的为a ，b 的三角函数式，如何求解呢？ 我们可以尝试从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简. （1） sin 72。cos 42。- cos 72。sin 42。 追问 1：在（1）中涉及了哪些角？
3分 钟 课堂小 结 (
一
一
1
)涉及了两个角： 72。及 42。. 追问2: (1) 式的形式能联系到哪个公式？ 能够联系到两角差的正弦公式 sin(c 一 β) = sinc cosβ一 coscsinβ . 解： 由上述分析有 sin 72。cos 42。一 cos 72。sin 42。 = sin(72。一 42。) = sin 30。 1 = . 2 追问3： 根据第（1） 问的经验，能否独立解决第（2） 问？ （2）中涉及了两个角： 20。及 70。，能够联系到两角和的余弦公式， 于是有 cos 20。cos 70。一 sin 20。sin 70。 = cos(20。+ 70。) = cos 90。 = 0 . 追问4 ： +一 能够联系到哪个公式？ 形式与两角和的正切公式 tan(c + β) = 1ta一 t 相似，但是只涉及了一个角15。. 追问5 ：回顾例 3 求解过程 tan( 一 c) = 1t = = =-7 . 1+ (一 )
1分 钟 作业 能否有启发？ 可以考虑把 1 转化为 tan 45。，利用两角和的正切公式求解. 解： (
1
一
tan
15
。
1
一
tan
45
。
tan
15
。
)1+ tan15。 = tan 45。+ tan15。 = tan(45。+15。) = tan 60。 = . 四 课堂小结 本节课我们以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角 和与差的正弦，余弦及正切公式. 问题8 你能准确写出这些公式吗？ cos(c 一 β) = cosc cos β+ sin csinβ ; cos(c + β) = cosc cos β一 sin csinβ ; sin(c + β) = sinc cosβ+ coscsinβ ; sin(c 一 β) = sinc cosβ一 coscsinβ ; tan(c + β) = 1ta一 t ; tan(c 一 β)= 1t. 同学们要熟记公式，掌握公式的功能及其结构．在应用这些公式时要 注意进行观察，比较确定差异，在寻找联系及联系的途径的过程中，认识 三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，提升思维的有序性，逐步 培养良好的思维习惯，发展数学运算素养. 1 . 利用和差角公式，求下列各式的值： (1) sin15。； (2) cos 75。； (3) sin 75。； (4) tan15。.
2 . (1) 已知 cosa = - ，a 是第二象限角，求 sin( +a) 的值； (2) 已知sin a = - ，a 是第三象限角，求 cos( + a) 的值； (3) 已知 tana = 3 ，求 tan( +a) 的值. 3 . 求下列各式的值： （1） sin 72。cos18。+ cos 72。sin18。； （2） cos 72。cos12。+ sin 72。sin12。； tan12。+ tan 33。 （3） 1 - tan12。tan 33。 .