5.5两角和与差的正弦，余弦和正切公式 第一课时 教学设计（表格式）

两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）教学设计
教学目标
教学目标： 1. 借助圆的旋转对称性和三角函数的定义推导两角差的余弦公式，并利用公式进行简单的求值； 2. 在公式推导中，体会特殊与一般，数形结合的思想，感受知识间内在联系； 3. 在公式的推导和应用中，发展数学推理和数学运算的素养. 教学重点：两角差的余弦公式的推导和应用. 教学难点：两角差的余弦公式的推导.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
温 故 知 新 知识回顾 sin(c + 2kπ) = sinc, cos(c + 2kπ) = cosc, 这是我们最熟悉的两个诱导公式即终边相同角的三角函数值相同。类似的诱导公式还 有很多。利用这些公式对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。 这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换. 利用诱导公式化简 (k eZ) : cos( π 一 β) = sinβ cos(π 一 β) = 一 cos β cos(一c) = cosc 2 ， ,
cos(c 一 ) = 一sinc cos(c 一 2kπ) = cosc,k e Z. . ,
探 究 新 知 （一） 引发思考. 之前的三角恒等变换中，可以发现它们都是特殊角与任意角c(β)的差的余弦，变 换后的结果都与这个任意角c(β)正弦或余弦有关，如果把特殊角化为任意角β (α) , 则 cos(c 一 β) 的公式展开式会与哪些值有关呢？ 对比特殊角与任意角差c(β)的余弦， α-β的余弦与 sinα , cosα, sinβ, cosβ有关. 那么有着怎样的具体关系呢？我们共同探索 （二） 利用问题链，推导公式. 教师引领：为了探索 cos(c 一 β) 与 sinα , cosα, sinβ, cosβ 的等量关系，我们借助 图形加以研究。 思考：我们借助哪些工具探究 cos(α- β)与 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ间的关系？ 根据以往经验： sin(c + 2kπ) = sinc, cos(c + 2kπ) = cosc, 诱导公式即用到了三角函数的定义，x=cosα,y=sinα , 根据单位圆的特殊对称性。如图 单位圆上的任意一点，旋转 2kπ,仍然在单位圆上，且此时位置不变的特征，推导公式。 类比诱导公式的推导经验，单位圆推导。 活动 1：
动手作图： 以 x 轴非负半轴为始边，任取两角α 、 β , (c 牛 β+2kπ, k eZ) 终边分别交单位圆于 A1 ，P1， 学生可能出现以下几类情况： 师： 由于角的终边情况比较复杂，不妨从简单的情况入手讨论， 设角α , β为锐角，且α>β . 活动 2：如何确定横坐标为 cos(α-β)的点 p？ 度量α-β的角度，OA 逆时针旋转该角度，
终边交单位圆于 p. 我们现在找到了这样三个特殊的点. p(cos(c - β), sin(c - β)), A1 (cos β, sin β), P1 (cos c, sinc). 活动 3：如何发现 cos(α-β)与 sinα , cosα, sinβ, cosβ的等量关系？ 需要关注单位圆中α-β 、α、β相关的恒量关系？ 发现： 经AOP = 经A1OP1 = c- β, AP = A1P1，ΔAOP = ΔA1OP1 牵 活动 4：指明线段 A1P1 =AP 的依据. (
AP
=
AP
)1 1 .
（法一）扇形 AOP 绕着点 o 旋转β角，则点 A、P 分别点 A1，P1 重合，则AP = A1P1 ， 所以AP = A1P1 . 与推导诱导公式用到的圆的特殊对称性不同，这里是单位圆上任意一个点，旋转任意 角度后仍在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性。 （法二）经AOP = 经A1OP1 = c- β , 在单位圆中ΔAOP = ΔA1OP1 ，所以AP = A1P1 . 活动 5：下面利用两条线段AP = A1P1 相等的关系，推导 cos(α-β)与α、β三角函数值的 关系.
平面上任意两点平面上任意两点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) , 如图可得，AB 间的距离为 AB = (x1 一 x2 )2 + (y1 一 y2 )2 根据两点间距离公式分别表示线段 AP 与 A1P1, AP2 = [cos(c-β)-1]2 + sin2 (c一 β) . A1P12 = (cosc 一 cos β)2 + (sinc 一 sin β)2 . [cos(c-β)-1]2 + sin2 (c 一 β) = (cosc 一 cosβ)2 + (sinc 一 sinβ)2 . ：cos(c-β)2 一 2 cos(c 一 β)+1+ sin2 (c 一 β) = cos2 c + cos2 β一 2 cosc . cosβ+ sin2 c + sin2 β一 2sinc . sinβ. ：一2 cos(c 一 β) + 2 = 2 一 2 cosc . cos β一 2 sinc . sinβ. 即 cos(c 一 β) = cosc . cos β+ sinc . sinβ . 当α=β+2kπ,k∈Z 时，上式仍成立。 如图c, β终边旋转到任意角度,在（0,2π) 与c终边相同的角大于 （0,2π) 与β终边相同的角时，仍有AP= A1P1 .
当（0,2π) 与β终边相同的角大于（0,2π) 与c终边相同的角时， 经AOP = 经A1OP1 = | c一 β | . 由圆的旋转对称性，点 A 、P 分别点 A1 ，P1 重合，则AP = A1P1 ， (
：
AP
=
AP
)1 1 所以， 对于任意角α , β有 cos(c 一 β) = cosc . cos β+ sinc . sinβ . 称为差角的余弦公式，简记作 C(α- β) （四）归纳结构特点，总结记忆方法. 1. 公式对任意角α、β都成立；
2. 左边的角是C - β , 右边的角是C，β ; 3. 公式特点是：同名相乘，符号相加.
典 例 剖 析 例 1 利用公式 C(α- β)证明:（1） cos( - C) = sinC , （2） cos( π - C) = - cosC . 证明：（1）cos( π - C) = cos π cosC + sin π sinC = 0 +1xsinC = sinC 2 2 2 . （2）cos( π - C) = cos π cos C + sin π sin C = - 1x cos C + 0 x sin C = - cos C . 点拨：和（差）角公式可以看成诱导公式的一般化表达，诱导公式可以看成和（差）
角公式的特例.当α, β中有一个角是 π 2 的整数倍时，用诱导公式更简便.
例2 已知sin C = , C e ( , π), cos β = - , β是第三象限角，求cos(C-β) . 思考 :观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，不难发现，欲求 cos(C - β) 的值，必先知道 cosC, sinC, cos β, sinβ 的值，然后利用公式 ε(C-β) 即可求解.从已知 条件看，还少 cos C 与sinβ 的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须注意利用同 角的平方和关系式时，角C, β所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号。
解： 由sinC = ,C e ( , π), 得 cosC = (
-
1
-
sin
2
C
) = (
-
1
-
(
)
5
4
2
) = 3 5 ,
又由cos β= - , β是第三象限角，得
sinβ= - = - 1- (- )2 = 12 13 ,
所以cos(C - β) = cosC cos β+ sin Csinβ= (- )(- 1) + (- ) = - .
课 堂 小 结 1.两角差的余弦公式及推导过程； 2.数学思想：分类讨论、数形结合、特殊到一般.
课 后 作 业 教材 217 页练习 1 到 5，228 页习题 1 到 3.