5.4三角函数的图象与性质应用 第一课时 教学设计（表格式）

课题 三角函数的图象与性质应用（1）
教学目标
教学目标：1.运用三角函数的图象与性质研究较为复杂的函数，进一步认识图象与性质的作用 ; 2.在运用图象与性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法 ; 3.发展学生直观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养. 教学重点：研究图象变换下函数的性质. 教学难点： 由图象观察性质.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
一、复习回顾 我们在前几次课学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质，大家还记得有哪些 内容吗？让我们结合三角函数的图象一起来回顾一下：
①对于正弦函数 y = sin x ，定义域是 R，最小正周期是 2π , 我们可以先通过五点法画出一 个周期内的简图，五点分别是(0,0)， ，1 ，(π , 0)， π , - 1 ，(2π , 0). 由图象可以看出最 大值是 1 ，最小值是- 1 ，值域是[- 1, 1].然后将这段图象“复制-粘贴 ”，从而得到整个函数的 图象.我们发现，图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间 不是[0 ，2π] ，而是[- ，] ，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ - ，2kπ + ](k∈Z)， 单调递减区间是[2kπ + ，2kπ + ] (k∈Z). ②对于余弦函数 y = cos x ，其图象可以由正弦函数 y = sin x 的图象向左平移个单位长度 得到，由图象可以看出，该函数的定义域是 R ，值域是[- 1, 1] ，最小正周期是 2π , 图象关于 y 轴对称，该函数是偶函数. 在研究单调性的时候我们选取的区间是[-π , π]，结合周期性得
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二、例题分析 出，单调递增区间是[2kπ - π , 2kπ](k∈Z) ，单调递减区间是[2kπ , 2kπ + π] (k∈Z)； ③对于正切函数 y = tan x ，与正弦函数、余弦函数比较，图象和性质发生了较大的变化， 自变量 x 不再取任意实数，而是 x≠kπ + (k∈Z) ，值域由[- 1, 1]变为 R ，最小正周期由 2π减 小为π. 图象关于原点对称，该函数是奇函数. 在研究单调性的时候我们选取的区间是(-， ），结合周期性得出，单调递增区间是(kπ - ，kπ + )(k∈Z) ，无单调递减区间. 以上我们结合图象复习了三角函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性和单调性， 接下来我们根据这些图象和性质，研究几个稍微复杂一些的函数. 例 1 求下列函数的图象的对称中心： (1) y = sin(x - ) ； (
x
-
π
x
-
π
)【分析】我们知道，函数y ＝sin 4 的图象可由函数y ＝sinx 的图象平移得到，y ＝sin 4 的图象与y ＝sinx 的图象形状完全一样，如图所示，图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中 心，求对称中心只需求出函数的零点即可. (
x
-
π
)解 (1)令 sin 4 =0 ， 由正弦函数定义可知 x-=kπ(k∈Z) ，x=kπ+ ，所以该函数图象的对 称中心为(kπ+ ，0) (k∈Z). (2) y = tan(x + ) .
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三、巩固练习 (
x
+
π
x
+
π
)【分析】函数y ＝tan 6 的图象可由函数y ＝tanx 的图象平移得到，y ＝tan 6 的图象与 y ＝tanx 的图象形状完全一样，如图所示，求对称中心只需求出使得正切值为零或无意义的 x 值，即 x+=(k∈Z). 解 令 x+=(k∈Z) ，x=- ，所以该函数图象的对称中心为(- ，0) (k∈Z). 下面请同学们看一组练习： 练习 已知函数f(x) ＝cos(x +θ) (0≤θ≤π)， (1)若函数f(x)是奇函数，求θ的值； (2)若函数f(x)的图象的一条对称轴是直线 x = ，求θ的值. 【分析】我们知道，函数f(x) ＝cos(x +θ)的图象可由函数y ＝cosx 的图象平移得到，两者形 状完全一样，余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，如图所示，对称中心就是图 象与 x 轴的交点，对称轴就是经过图象的最高点或最低点且与 x 轴垂直的直线. 解 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则有f(0)=0 ，即 cosθ=0， 由余弦函数定义可知，θ=kπ + (k∈Z) ，又因为 0≤θ≤π , 所以θ= . 另法：因为 0≤θ≤π , 所以函数f(x) ＝cos(x +θ)的图象可以看成是y ＝cosx 的图象向左移动 得到的，如图所示，y ＝cosx 的图象向左移个单位长度所得的曲线关于原点对称，所以θ= . 注意：解题涉及正弦函数与余弦函数的奇偶性时，一般不用奇偶性的定义，即不必通
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四、拓展应用 过计算考察f(-x)与f(x)的关系，而是根据三角函数图象的特点来解答. (2)因为直线 x = 是函数f(x)的图象的一条对称轴，所以当 x = 时，函数取得最大值或最小 值，即f()=：1 ，cos(+θ)=：1 ，由余弦函数定义可知，+θ=kπ(k∈Z) ，θ=kπ - ，又因为 0≤θ≤π , 所以θ= . 小结：在以上例题和练习的解答过程中，我们根据平移变换下三角函数图象的特点，得到 了求图象对称中心或对称轴的方法. (1)点(a,0)是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称中心 f(a)=0； (2)直线 x=a 是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称轴 f(a)=：1； (3)点(a,0)是正切曲线f(x)=tan(x+θ)的对称中心 a+θ=(k∈Z). 接下来我们研究翻折变换下三角函数的图象和性质： 例 2 求下列函数的周期与单调区间： (1)y ＝|cosx|; (2) y ＝|tanx|. 【分析】 我们看到，两个小题中的三角函数都加了绝对值符号， 由前面的章节可知，将函 数y=f(x)在 x 轴下方的部分图象翻折上去，就得到了函数y=f|(x)|的图象. (1)函数y ＝|cosx|的图象如下： 由图象可知，该函数的最小正周期是π , 我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是[- ， ] ，函数在[- ，0]上单调递增，在[0 ，]上单调递减，所以该函数的单调递增区间是[kπ - ，kπ] (k∈Z) ，单调递减区间是[kπ , kπ + ](k∈Z). (2)函数y ＝|tanx|的图象如下： 由图象可知，该函数的最小正周期是π , 我们先观察一个周期内的图象，选定的区间是(- ， ) ， 函数在(- ，0]上单调递减，在[0 ，)上单调递增，所以该函数的单调递增区间是
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五、课堂小结 六、布置作业 kπ , kπ + (k∈Z) ，单调递减区间是 kπ - ，kπ (k∈Z). 小结：求含绝对值的三角函数的单调区间，先画出大致图象确定函数的周期，再选定一个 周期内的图象写出单调区间，最后拓展到整个定义域. 思考 (1)函数y ＝|cosx|和y ＝|tanx|的图象具有怎样的对称性呢？ 观察函数y ＝|cosx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程为 x ＝(k∈Z). 观察函数y ＝|tanx|的图象可知，该图象是轴对称图形，不是中心对称图形，对称轴方程也 是 x ＝(k∈Z). (2)与函数y ＝|cosx|相比，函数y ＝|cosx|+1 的性质有变化吗？
y ＝|cosx|
y ＝|cosx|+1
----定义域，周期性，单调性，奇偶性，对称轴方程不变，值域由[0,1]变为[1，2]. 本节课研究了平移变换与翻折变换下三角函数图象的对称性、三角函数的周期性和单调性， 进一步认识了图象与性质的作用，体现了数形结合的思想方法. 需要掌握的具体内容如下： (1)点(a,0)是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称中心 f(a)=0；(余弦曲线同理) (2)直线 x=a 是正弦曲线f(x)=sin(x+θ)的对称轴 f(a)=：1；(余弦曲线同理)
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(3)点(a,0)是正切曲线f(x)=tan(x+θ)的对称中心 a+θ=(k∈Z). (4)含绝对值的三角函数的图象和性质的研究方法. 课本第 213-214 页：习题 5.4 第 3 ，6 ，7 ，12 ，19 题.
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