5.7三角函数的应用 第一课时 教学设计（表格式）

课题 三角函数的应用（1）
教学目标
教学目标： 1.通过对两个实际问题的学习，能认识三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，了解简谐运动的函数模 型中参数的物理意义； 2.在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强应用意识，感受数学应用价值； 3.在实际问题的解决过程中感受信息技术处理数据的优势， 提升数学建模素养. 教学重点： 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点：了解振子的运动原理，建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 温故知新 我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角函数的基本关系式、三 角恒等变换的内容，今天我们一起来学习三角函数的应用. 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，例如地球 自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体作匀 速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等. 如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节课 我们将通过两个具体实例，说明三角函数模型的简单应用。下面请大家先来看第一个问 题.
10 分 钟 学以致用 问题1 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程 中，时间 t（单位： s ) 与位移y（单位：mm ) 之间 的对应 数据如表 5.7-1 所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关 于时间的函数解析式 .
教师：我们可以看到这个问题是研究弹簧振子随时间呈周期性变化的问题，题目给出了 某个振子在完成一次全振动的过程中，时间 t 与位移y 的对应数据。首先我们一起来看 一下物理当中的弹簧振子完成一次全振动的过程。 教师：我们可以看到振子的振动具有循环往复的特点， 由振子振动的物理学原理可知， 其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y = Asin(φx + φ)来刻画．这里自变量是 t, 函数值是 y.
学以致用 追问 1：我们进一步观察时间和位移之间的三角函数关系 = ( + ) ，要想确定 这个函数解析式，我们需要确定三个量.A, , .通过来看表格中的具体数据，请大家想 想这些数据的物理意义是怎么样的？他们又对应着什么数学含义？ 在这个表中，我们可以不需要计算就能直接得出自变量的 t 的值所对应的 y 的值，比如 时间 t=0.00 时，弹簧振子的位移是-20.并且可以从表格中看出在 t=0.00 和 t=0.60 时所对 应的位移 y 是相同的．而且能看到当 t=0.30 时所对应的 y 值是 20. 追问 2：我们知道函数有三种常用的表示方法．解析法、列表法和图象法. 教师：我们可以看到表格 1 就是通过列出表格来表示两个变量 t 与 y 之间的对应关系. 如果根据已知数据作出散点图，如图 5.7- 1 所示. 追问 3：请同学们想一想，散点图可以作为这个函数的图象吗？从散点图中我们是否能 得到上面的信息呢？它和表格 1 的差别又是怎样的呢？ 教师：首先我们要知道，函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点. 教师：从散点图中我们可以直观形象地看到随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋 势，有利于我们进一步研究函数的性质. 当然我们也可以从散点图中看到函数值的最高点和最低点，同时可以看到点的位置先升 高再降低，并且具有周期性. 追问 4：我们知道，弹簧振子成周期变化，那么它的一个最小正周期又是多少呢？我们 怎么能通过散点图得到呢？ 教师：由散点图可以看到，在 t=0.00 和 t=0.60 时所对应的位移 y 是相同的，于是可以得 出振子振动的周期为 0.6s , 进而可以得出即 = 0.6 ，于是解得 = . 教师：振子振动时位移的最大值为 20mm , 因此 A ＝20；振子振动的周期为 0.6s , 即 2 = 0.6 ，解得 = ; 再由初始状态（t＝0）振子的位移为-20 ，可得 = 1 ，因 此 = ．所以振子位移关于时间的函数解析式为 = 20 sin , ∈ 0, + ∞ .
3 分钟 技巧方法 通过这道例题，我们能看到函数的三种表示，这三种表示分别是解析法、图象法和 列表法. 1 、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，即将两个变量之间的对 应关系，用一个等式来表示。我们中学阶段所研究的函数主要是能够用解析式表示的函 数. 解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 2 、图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，图象法也常常用于生产和 生活中，优点是直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值变化的趋势，有利于我 们研究函数的某些性质.
3 、列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，我们在生活中也经常 遇到使用列表法的实例，如银行中利率表、列车时刻表等。列表法的优点是不需要计算 就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 从上面我们可以看到这三种表示法有各自的优点，我们以后学习的重点是要在面对 实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
2 分钟 技巧方法 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动， 琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中， 把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为 “简谐 运动” ． 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 = + , ∈ [0, + ∞) 表示，其中 A＞0 , ω >0 . 描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等 都与这个解析式中的常数有关： A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是 = , 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时 间； 这个简谐运动的频率由公式 = = 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内 往 复运动的次数； + 称为相位；x = 0时的相位φ称为初相. 可以看到我们在物理学中把三角函数中的 A, , 三个参数都赋予了物理意义.
5 分钟 基本应用 我们可以看下面这个例子复习上面学习的内容. 练习：如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （2）写出这个简谐运动的函数解析式. 解：(1) 根据图象所示，简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。所以这个题目中的 振幅 A=3(cm),观察得到振子从 B 到 C 应该是半个周期，所以半周期是 2 ，T=4（ s ）,频 率f=(Hz). (2)由（1）可得 y = 3 sin + . 由点（1.2,0）在图象上代入，也就是当 x ，0 = 3 sin × + = 3 sin + , 即sin + = 0 ， 可得 + = + 2 , φ = + 2 ∈ .取φ = , 则函数解析式为 y = 3 sin + 52 .
1 分钟 综合应用 问题 2 如图 5.7-2(1)所示的是某次实验测得的交变电流 i（单位：A) 随时间 t（单 位： s ) 变化的图象．将测得的图象放大，得到图 5.7-2(2) . (1) 求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式； (2) 当 = 0, , , , 时，求电流 i .
2 分钟 技巧方法 教师：根据我们物理中的知识，交变电流的产生原理也是一个典型的具有周期变化规律 的物理现象．将实际测得的图象放大，我们得到图（2）. 追问 1：我们为什么要放大图象？ 追问 2：观察这个函数图象以及根据物理知识，我们知道电流随时间变化应该满足三角 函数关系，那么要确定这个函数解析式，我们需要哪些特征值？ 教师：根据前面例一的学习，我们知道要想确定三角函数关系，需要确定通过图象可以 直观形象地看出随着自变量的变化，相应函数值变化的趋势，以及函数的最高和最低点 和函数的周期． 因为这里是个实际问题，所以我们都是取近似值. 追问 3：这里是个实际问题，所以取近似值。 由交变电流的产生原理可知， 电流 i 随时 间 t 的变化规律可用 = ( + )来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ表示初 相．根据前面例一的学习我们可以知道，我们可以从图象的几何特征来对函数作出代数 解释. 由图 5.7-2(2)可知，电流最大值为 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 频率 为 50Hz， 即 = 50 ，解得ω = 100π; 再由初始状态(t ＝0)的电流约为 4.33A ，可得 = 0.866， 因此φ约为 ．所以电流 i 随时间 t 变化的函数解析式是 = 5 sin 100 + , ∈ 0, + ∞ . 追问 4：解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过 解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。所以我们当 = 0 ， ， ，， 时，我们可以求出相应的电流．于是得到 当 = 0 时， = .
当 = 时， = 5 . 当 = 时， = 0 . 当 = 时， = 5 . 当 = 时， = 0 . 我们可以看到当时间分别为上述值时，可以得到相应的电流值.
1 分钟 画龙点睛 例 2 我们分别从图象到解析式，从应用解析式求出了任意一个自变量的值所对应的 函数值，最后我们从数学和物理的角度分别来看数据的意义。经过本节课的学习，我们 认识到三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中 参数的物理意义；同时在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系， 增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信 息技术处理数据的优势， 提升了我们的数学建模素养.