4.5数学建模活动 第二课时 教学设计（表格式）

课题 数学建模活动（2）
教学目标
教学目标： 1.通过选题，开题，做题，结题的环节完成数学建模活动，经历数学建模的全过程； 2.体会收集数据与整理数据的方法； 3.感受用数学的眼光发现和提出问题，提升数学建模的核心素养. 教学重点： 1.数据的收集和整理 ; 2.函数模型的选择和建立. 教学难点： 1.数据的分析； 2.函数模型的选择.
教学过程
时 间 教学环 节 主要师生活动
5 分 钟 回顾旧 知 教师：在进行数学建模活动之前让我们来回顾一下都有哪些知识储备. 从小学开始，大家进行了九年系统的数学学习，这些知识都是我们今天进 行数学建模活动的知识储备，同时大家有十五年的生活经验，这些生活经验对 于数学建模活动也是非常重要的.同时我们有比较丰富的一次函数，二次函数， 幂函数，指数函数与对数函数的学习经验，并且我们了解研究函数的一般方法. 那么，我们怎么把以前的学习经验和生活经验应用到数学建模活动中呢？ 首先要从身边的问题入手，选择研究难度较小，贴近生活，同时还能引导 大家合理使用资源的“小问题 ”.待具备了一定的知识储备和研究能力以后再 对较困难的问题进行研究. 先学习建立函数模型进行数学建模活动，是因为我们有比较多的函数模型 的学习经验，实际问题往往比较便于建立函数模型 ;同时，函数模型能够涵盖 众多生活中的问题,能够比较好的反映生活中问题的变化规律. 在通过建立函数模型解决生活中问题时，由于中学阶段函数概念主要用于 描述两个变量之间的关系，所以在选择问题时，尽量选择只包含两个变量关系 的问题，对于多变量问题可以采用限制变量等方法或者留待以后再进行研究.
3 分 钟 介绍数 学建模 活动的 流程 进行数学建模活动时要进行比较充分的准备，一般要经过选题、开题、做 题、结题，四个环节. 选题时应选择那些有能力收集数据，能够用有效的数学方法整理数据建立 模型的问题.
开题时要向导师与同学阐述自己的研究目的，研究方法，以及要达到的目 标和对研究方案的设想等.同时在开题时要撰写开题报告，并召开开题报告会. 做题是指从实际问题中抽象出数学问题，经历收集数据、整理数据、分析 数据的过程对数学问题进行分析，进而得出相应的数学结论，再从数学结论中 得出实际问题的解决办法. 结题时向老师和同学展示自己的研究过程和研究方法，接受各方面的意见 和建议，对研究中存在的问题进行修改，并进一步完善结论.同时要有结题报 告或结题论文，并召开结题报告会.
2 分 钟 提出问 题 教师：许多家庭使用电热水壶烧水饮用，用一台电热水壶烧水需要多长时 间呢？怎样烧水最省电？是少量多次烧水好，还是每次烧水越多越好？这些都 可以作为研究的方向. 根据我的生活习惯，休息的时候会喝点茶，我用电水壶烧水沏茶，水壶容 积大约为 1100 毫升，茶壶容积约为 330 毫升，我每次沏茶喜欢喝两次，因为 从第三次开始茶叶味道就会衰减. 那么我是一次烧水 660 毫升省电呢，还是烧水两次，每次 330 毫升省电呢？ 设计意图：当换一种眼光来观察周围的世界，可能会有不同的收获，用数 学的眼光，从数学的角度来研究电热水壶烧水问题.既是学生身边的小问题， 又能够通过建立函数模型解决.能够锻炼学生发现身边的问题，使用数学方法 解决身边问题. 同时本问题可以渗透节约用电、低碳生活的理念，培养学生的环保意识.
3 分 钟 问题转 化 教师：怎样把生活中的实际问题转化为数学问题？ 由于一般家用电表测量精度只能达到 0.01 度，同时在烧水时其他家用电 器也在工作，不方便直接记录烧水量和用电量之间的关系，根据初中物理公式 W=Pt ，再根据水壶铭牌上的标注，水壶的功率恒定为 1800 瓦，通过收集烧水 时间与烧水量的数据，即可计算烧水量和用电量之间的关系，从而将生活中的 问题数量化；通过建立坐标系将数学问题形象化；通过拟合函数将生活中的问 题数学化.进而通过研究函数问题解决生活问题. 注意：一般来说，通过建立函数模型解决实际问题，需要经历如下几个步 骤.观察实际情景、发现和提出问题、收集数据、选择函数模型、求解函数模 型、检验，如果符合实际情况就可以用该模型得出结论；如果不符合实际情况 就要回溯检查，是函数模型出了问题，还是实验数据记录错误. 学生：阐述看法，在教师引导下总结出数学观察生活的主要手段就是用数 据和图形描述客观世界的变化规律，以此为基础建立函数模型，解决实际问题. 设计意图：数学建模问题难点往往在于如何建立数学模型，这里结合物理 公式 W=Pt ，将不好测量的用电量转化为容易测量的时间，只要知道了烧水量 对应的烧水时间就能计算出电量的消耗.既体现了数学学科与物理学科的融 合，又比较巧妙的解决了收集数据的问题.
5 分 钟 问题具 体化 对于烧水时间和烧水量的关系，如何建立拟合函数？ 分析：先用电热水壶烧一定量的水并记录时间数据，选择合适的拟合函数， 表达烧水量和把水烧开的时间之间的函数关系，再做一组对比试验检查用函数 关系求解的烧水时间，如果能够基本吻合，就可以得出烧水量与烧水时间的函 数关系；如果不符合，或者误差较大，就要检查是数据的问题还是选择拟合函 数的问题. 设计意图：学生感受建立函数模型解决实际问题的过程，将烧水问题具体
解决步骤讨论出来.
5 分 钟 收集数 据 通过测量等实验步骤，获得实验数据，当烧水量为 220 毫升时，把水烧开 用时 65 秒；当烧水量为 330 毫升时，把水烧开用时 72 秒；当烧水量为 440 毫 升时，把水烧开用时 89 秒；当烧水量为 550 毫升时，把水烧开用时 110 秒. 水量（mL ）烧水时间（s ）220653307244089550110
5 分 钟 描述和 分析数 据 可以采用 Excle 制表，能够非常方便的得出各种类型的拟合函数曲线，这 个试验我们可以选择指数型的拟合函数y = 47.05e0.0014x 我们还可以选取其他类型的拟合函数，例如这个问题还可以选取线性拟合 函数y = 0.1382x + 30.8 ，下面我们来对比两种拟合函数哪个更能接近真实情 况. 通过烧开 1100 毫升水（已达水壶最大水位线）并记录时间，跟两种拟合 函数预测的时间作对比来进行检验. 应用指数型拟合函数 = 47.05e0.0014 计算，预测用时 219 秒，真实测量 用时 211 秒，误差+8 秒；运用线性拟合 = 0.1382 + 8.03 计算，预测用时 182 秒，误差-29 秒.分析误差原因，很可能来自于指数型函数值随 的增长速
度逐渐变快，一次函数增长速度不变.所以会出现指数型拟合函数计算值超过 真实值，线性拟合函数预测值低于真实值的情况，由于水壶最大水位线为 1100 毫升，此时指数型拟合更接近真实值，同时水量也不会再多于这个最大值了， 决定本问题使用指数型拟合更符合实际情况. 也可以应用Excle 软件自带的功 能，选择显示2 值功能，2 更接近 1 的拟合函数能够更好的描述数据的规律. 这部分知识在高二我们会学习，所以这里不做赘述. 根据拟合函数 = 47.05e0.0014 , 烧水 660 毫升用时约为 118.5353 秒，可 计算出用电 0.05926 度，烧水 330 毫升用时 72 秒用电 0.036 度；因为要烧两 次所以用电 0.072 度，所以一次烧水 660 毫升更为省电. 注意：应用 Excle 绘图功能，将数据用函数关系拟合并进行分析，是函数 类建模的常用方法.重点分析拟合函数的选择，要经过实践的检验，选择更符 合检测结果的函数关系对数据进行拟合.通过对比拟合函数，选择更好的拟合 函数，在这个过程中还可以复习相关函数的性质.
5 分 钟 获得结 论撰写 实验报 告 数学建模的实验报告写作要求包括： 1、课题名称； 2、课题组成员及分工； 3、课题的意义； 4、研究计划； 5、研究过程； 6、研究成果； 7、收获与体会； 8、对此研究的评价. 其中课题名称要能够准确描述所研究的问题，课题组分工要写清小组中每 位成员的具体工作，课题的意义要讲明为什么要研究本课题.研究计划要在研 究前撰写，写明研究的步骤，以及每步的具体操作.研究过程要严格遵循事实， 尽可能详实的记录研究中遇到的问题和解决问题的具体办法.研究成果要有一 定价值.收获与体会可以和小组同学共同研讨，写出自己在研究过程中的真实 体会.
3 分 钟 数学建 模活动 的评价 数学建模活动的评价可以通过考试的方式，但不应仅通过考试的方式来进 行， 由于数学建模活动更重视在活动过程中的收获.所以可以通过下面多个角 度进行： 1、从选题的角度评价：精彩程度，创新程度， …… ; 2、从做题的角度评价：数学模型建立的合理程度，创新程度， …… ; 3、从建模活动的参与程度上评价：是否认真积极地参加建模活动，在小 组中起到了怎样的作用； 4、从实验报告和论文的质量上评价：实验报告或论文是否科学严谨，是 否具有较强的实际意义. 这些都是可以作为数学建模活动的评价方式，但不局限于以上几种，需要 学生和老师一起探讨，研究更好、更适合自身的评价方式.
1 分 钟 数学建 模活动 选题建 议 同学们可以根据自己的兴趣爱好，选择一些有意义的课题建立函数模型开 展一次数学建模活动，下面给出大家一些建议： 1、 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2、 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重. 3、估计一本书的阅读时间.
2 分 钟 总结提 升 1、对实际问题中的变化过程进行分析，分析其中常量、变量及相互关系； 2、明确运动变化基本特征，确定运动变化类型； 3、选择适当的函数类型建立数学模型，将实际问题转化为数学问题； 4、通过运算、推理、求解函数模型，利用函数模型的解描述实际问题的 变化规律，达到解决问题的目的.