5.3诱导公式 第二课时 教学设计（表格式）

课题 诱导公式（2）
教学目标
教学目标： 1. 能够类比诱导公式二、三、四的研究方法，推导其它诱导公式；并能够运用诱导公 式解决三角函数的求值问题； 2. 在诱导公式的推导过程中，感受数形结合，转化与化归思想的应用； 3. 通过对诱导公式的推导与应用，发展数学运算和数学推理的素养. 教学重点：诱导公式的探究与应用. 教学难点：各组诱导公式间的整合与应用.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
1 分 钟 2 分 钟 (
（一）情景
导入
)习 入 预 引 课 新 （ 课 各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许雯， 今天我们学习的内容是 “诱导公式二 ”. 通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函数的定义，推导 出诱导公式二、三、四，并且利用这些诱导公式将任意范围内的角的三角 函数值转化到0，间的角的三角函数值求解，而这三个诱导公式也是今 后我们解决三角函数问题的重要手段. 回顾这三个诱导公式的推导过程，都 是借助单位圆以及角的终边关于坐标轴，原点的特殊对称而得到的.那么在 单位圆中是否还有其他特殊的对称关系呢？它们所对应的角的三角函数是 否也存在某些特殊的关系？今天我们来继续对诱导公式进行探究. 回顾：上节课，我们是通过什么方法推导出诱导公式二、三、四的？ 生：从单位圆上的点关于原点、坐标轴的对称性出发探究得到的. 师：我们对对称前后的角都建立了那些联系？ 生：对称前后角的关系，它们的终边与单位圆交点的坐标关系， 以及 三角函数的关系. 师：今天我们将对称轴变为直线y=x 看看能否得到新的诱导公式.
10 分 钟 （三）新知 探究 (
θ
) (
θ
) (
θ
θ
) (
P
1
P
5
) (
P
1
) (
P
5
)设计意图：师生共同回顾，为新课做准备. 问题 1：作 P1 关于直线y=x 的对称点 P5，以 OP5 为终边的角g 与角a 有什么关系？ 师生活动：学生画图独立思考尝试说出角的关系，学生可能只画一种 情况（如图一），提醒学生可以画终边不同象限（或坐标轴上） 的角a ， 确定终边关于直线y=x 对称的角g 始终有g= - a 的关系 (
（图一）
)（图二） (
P
5
P
1
) (
（图三）
)（图四） 事实上，不管角a 的终边 OP1 在什么位置，化成一圈内终边在 OP1 与 OP5 的角都可以表示为 -q与 +q （见图二） . 另 a = +q ，则 g= -q= - a . 问题 2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线 y=x 对称的两 个点的坐标之间有什么关系吗？ 学生活动：学生分小组讨论， 由图一可以猜想点 P1（x1 ，y1 ）与点 P5（x5，y5 ）关于y=x 对称，那么有 x5= y1 ，y5= x1. 引导学生利用全等知识 对图一进行证明.
5 分 钟 例 一 典 举 三 反 （ 分 (
2
) (
P
（
y
1
, x
1
)
) 作 P1 关于 y 轴的垂线，P5 关于 x 轴的垂线， 由于 P1 与 P5 关于y=x 对称，我们可以证明图中的两个三角形 全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就 有 x5= y1，y5= x1. 对于a 终边的其他的不同位置，你们课后可以去证明 它们的坐标依然有这种等量关系. 问题 3：最后我们要探究角g 与角a 的三角函数值有什么关系？ 学生活动：学生独立思考写出诱导公式五的关系. 师：根据三角函数的定义，得sin - a = y5 , cos - a = x5 . 从而得 公式五：终边关于y=x 对称的角. (
sin

è
2
-
a

÷
=
cos
a
，
) p (

è
2
-
a

÷
=
a
.
)cos p sin 探究：你能合理利用对称关系推导出下面的公式吗？ 公式六： (
sin

è
2
+
a

÷
=
cos
a
，
cos
+
a
= -
sin
a
.
p
) p 画图并思考角 + a 的终边与角a 的终边具有怎样的对称性？我们 2 怎么利用你发现的对称关系证明公式六. 学生活动：学生思考，老师引导学生可以利用二次对称得到终边关系. (
（-
y
1
, x
1
)
P
6
π
5
+α
α
P
1
（
x
1
,
y
1
)
) 我们可以角a 的终边 OP1 首先关于直线y=x 对称得到 OP5，再关于y
5 分 钟 （五）例题 轴对称得到的 OP6 就是角 p 2 + a 的终边. 因此得到 P1（x1，y1 ）与
P6（x6，y6 ）的横纵坐标具有 x6 = ﹣y1，y6= x1 的数量关系，从而利用三角 函数的定义就可以得到诱导公式六. 当然你还可以利用别的方法推导这个公式，这个留给你们下课去探 索. 问题 4：（教师总结性提问）这两组公式的与众不同之处是什么？ 学生：公式左右的函数名称改变. 教师：因此这组公式的特点是：等号左右的函数名发生改变，即等号 右侧变为a 角的余名三角函数值；公式右侧的符号是把a 当成锐角时，所 求三角函数值的符号. 设计意图：由两个角的终边关于y=x 对称、到需要二次对称或者旋转 变化的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经 历公式的研究过程，从而得出公式五和公式六，培养学生的化归思想. 例 1 证明： （1） sin - a= - cosa ； （2） cos + a= sin a . 证明：（1） sin - a=sin p + - a= - sin - a= - cosa （2） cos + a=cos p + + a= - cos + a= sin a 设计意图：通过证明题巩固诱导公式的应用，同时体现了转化的数学思想 方法.初步熟悉诱导公式的使用，补充了六组诱导公式.
例 2.化简求值 ，其中 化简过程略. 思想：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0,2π]内的三角函数；
2 分 钟 堂 置 课 布 业 作 （ 小 ③化为锐角的三角函数. 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了 ”（有时也直接化到锐角求 值），将诱导公式学有所用，合理利用. 教师活动：1.请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会： 知识、方法、思想、收获、喜悦…… 2.公式五和六的作用是什么？ 学生活动：知识上，又学会了两组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体 现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对 称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学 思想. 公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化 布置作业：课本 P194 练习 2,3