5.3诱导公式 第一课时 教学设计（表格式）

课题 诱导公式（1）
教学目标
教学目标： 1.能够利用三角函数的定义及单位圆推导三角函数的诱导公式，并运用诱导公式，完成 对任意角的化简求值； 2.通过对诱导公式的探求，体会转化与化归的思想，提升对知识间内在联系的把握； 3.在诱导公式的推导应用过程中发展数学运算和数学推理的素养. 教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式二、三、四；运用诱导公式二、三、四进行简 单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. 教学难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 （一）情景 导入 各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师明昱， 很高兴今天与大家一起研究、学习“诱导公式（1）”. 前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系. 我们 知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重 要性质. 由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性. 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求[0, ) 间的角的三角函数值问题. 诱导公式的推导过程，体现了“数形结合 ”和 复杂到简单的“转化 ”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维 形式. 我们先来回顾前面学习的公式一： 公式一： sin( α + k 2π) = sin α , cos( α + k 2π) = cos α , tan( α + k 2π) = tan α , 其中 k ∈ Z .
13 分 钟 （二）新知 探究 探究 1：公式一研究的是终边相同的角的同一三角函数的值相等，我们利 用公式一，可以将任意范围内的角的三角函数值转化到[0,2π) 内的角的三 角函数值，那么如何继续将[0,2π) 间的角的三角函数值转化到我们熟悉的 [0, ) 间的角的三角函数值呢？ 我们发现，有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴 对称、关于原点对称等. 那么它们的三角函数值有何关系呢？ 请同学们探究完成：终边关于原点中心对称的角的三角函数值之间有 什么关系？ 师生活动：学生自由发言，教师引导学生进一步观察、研探. 设计意图：师生共同回顾，为新课做准备. 学生分组讨论，教师引导学生发现规律：利用函数的重要性质——对 称性，并借助单位圆及三角函数的定义来进行推导. 如图，在直角坐标系内，设任意角 α 的 终边与单位圆交于点 P1，设 P1 (x,y).将角 α 的 终边按逆时针方向旋转角 π , 终边与单位圆 交于点 P2 ，则 P2 是点 P1 关于原点的对称点， 所以 P2 (-x,-y). 根据三角函数的定义，得 sin α = y ， cosα = x ， tan α = . sin(π + α) = -y ， cos(π + α) = -x ， tan( π + α) = = . 从而得 公式二：终边关于原点中心对称的角. sin( π+a）= - sina ， cos ( π+a）= - cosa ， tan( π+a）=tana . 提问：你能用文字语言表述公式二吗？ 回答：π + α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号. 提问：公式二解决了什么样角的求值化简问题？ 回答：公式二解决了形如π + α 的三角函数值求值化简问题.
5 分 钟 例 一 典 举 三 反 （ 分 探究 2：你能类比公式二，证明下面的公式吗？ 公式三：终边关于 x 轴对称的角. sin(-a）= -sina ， cos(-a）= cosa ， tan(-a）= -tana . 公式四：终边关于y 轴对称的角. sin(p - a）= sina ， cos(p - a）= -cosa ， tan(p - a）= -tana . 学生分两组讨论后，选派一名代表进行证明. 教师指出：
①公式中的“指任意角.例如化简sin(1 + π) ， cos(2β - π) 这样的式子 时，角 1， 2β 都是任意角； ②诱导公式二、三、四的结构特征：左右两端三角函数名称不变，a 角不变，只是前面放一个符号；符号的判断方法：把 α 看成锐角时原函数 值的符号. 设计意图： 由两个角的终边相同到终边关于原点中心对称、关于 x 轴对称 以及关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间， 让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式二、公式三和公式四，并 将问题 2 研究方法一般化. 例 1 利用公式求下列三角函数值： （1） cos 225° ; （2） sin ； （3） sin(- ); （4） tan(- 2040°) . 解：（1） cos 225° = cos(180° + 45°) = - cos 45° = - ； （2） sin = sin(2π + ) = sin = sin(π - ) = sin = ； sin(- 16π ) = -sin 16π = - sin(5π + π ) = （ sin π ) = （3） 3 3 3 3 2 ；
tan(-2040°) = -tan2040° = - tan(6 × 360° - 120°) = -（- tan120 °) （4） = tan120° = tan(180° - 60°) = -tan60° = - . 设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中， 如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问 题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会 数学方法的多样性. 思考： 由例 1 ，你对公式一至公式四的作用有什么进一步的认识？你能自 己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？ 师生共同小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数， 其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0,2π]内的三角函数； ③化为锐角的三角函数. 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了 ”（有时也直接化到锐角求 值） 设计意图：阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使 用.将上述研究过程进行梳理，得出“角的数量关系→终边及圆的对称关系 →交点的坐标关系→三角函数值间关系 ”的研究路线图. cos(180° + α) sin( α + 360°) 例 2 化简 ( α 为第三象限角）. tan(-α - 180°)cos(- 180° + α) 提问： cos(180° + α) 是否可以用公式二、三、四进行化简？
2 分 钟 堂 置 课 布 业 作 （ 小 事实上，公式中的角 α 指的是任意角，由一般到特殊，即便没有“α 为 第三象限角 ”这个条件，我们也可以用公式进行化简. 解： cos(180° + α) = -cosα , sin( α + 360°) = sin α , tan(-α - 180°) = tan[-( α + 180°)] = -tan(α + 180°) = -tanα , cos(- 180° + α ) = cos[-（180° - α )] = cos(180° - α ) = -cosα , 所以 原式 = (-() -sci) = - = - cos α . cos α 师生共同小结： 用诱导公式化简求值的方法：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循 诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行 切化弦， 以保证三角函数名最少. 设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中， 如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问 题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会 数学方法的多样性. 教师活动：请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会： 知识、方法、思想、收获、喜悦…… 学生活动：知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现 了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称 关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思 想. 设计意图：开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问 题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验 的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆. 布置作业：课本 P191 练习 1,2,3,4.